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-1-等腰三角形训练重点：三角形的有关概念、特殊三角形的有关性质和判定方法．难点：等腰三角形的判定和性质，以及三角形和四边形的综合问题．等腰三角形（1）等腰三角形的性质：两底角相等；顶角的角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合；等边三角形的各角都相等，并且都等于60°．（2）判定等腰三角形的条件：等角对等边；三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形．直角三角形（1）直角三角形的性质：直角三角形两个锐角互余；直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；典例例1.已知：如图所示，延长△ABC的各边，使BF＝AC，AE＝CD＝AB，顺次连接D、E、F，得到△DEF为等边三角形．求证：（1）△AEF≌△CDE；（2）△ABC为等边三角形．ABCDEF证明：（1）∵BF＝AC，AB＝AE，∴FA＝EC．∵△DEF是等边三角形，∴EF＝DE．又∵AE＝CD，∴△AEF≌△CDE．（2）由（1）知△AEF≌△CDE，∴∠FEA＝∠EDC．∵∠BCA＝∠EDC＋∠DEC＝∠FEA＋∠DEC＝∠DEF，△DEF是等边三角形，∴∠DEF＝60°，∴∠BCA＝60°．同理可证∠BAC＝60°．∴△ABC是等边三角形．评析：解答此类题目一定要结合图形认真分析题意，选择适当的方法进行证明．例2.如图所示，一根长2a的木棍（AB）斜靠在与地面（OM）垂直的墙（ON）上，设木棍的中点为P，若木棍A端沿墙下滑，且B端沿地面向右滑行．（1）请判断木棍滑动的过程中，点P到点O的距离是否变化，并简述理由；（2）在木棍滑动的过程中，当滑动到什么位置时，△AOB的面积最大？简述理由，并求出面积的最大值．-2-ABOMNP解：（1）不变化．理由：∵∠AOB＝90°，P为AB的中点，∴OP＝12AB．（2）设OA＝x，OB＝y，∵x2＋y2＝（2a）2＝4a2，又∵S△AOB＝12xy，且x2＋y2≥2xy，即xy≤x2＋y22，∴12xy≤a2，∴x＝y＝2a时△AOB的面积最大为a2．评析：本题考查直角三角形斜边上的中线与面积两个知识点，能够熟练掌握直角三角形的性质并构建直角三角形模型是解题的关键；问题（1）考虑不到斜边上的中线为斜边的一半，易认为变化．问题（2）容易想到当OA＝OB时面积最大，但说理时易错，不知道运用当（x－y）2≥0时，可以看作x2＋y2≥2xy，即xy≤x2＋y22来说明理由．例3.已知：在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，D为BC的中点，（1）如图所示，E、F分别是AB、AC上的点，且BE＝AF，求证：△DEF为等腰直角三角形．（2）若E、F分别为AB、AC延长线上的点，仍有BE＝AF，其他条件不变，那么，△DEF是否仍为等腰直角三角形？证明你的结论．分析：要证明△DEF为等腰直角三角形，需要证DE＝DF，连接AD，利用全等可得这一结论．至于在延长线上，可利用同样的方法．ABCDEF证明：（1）如图所示，连接AD．∵AB＝AC，∠BAC＝90°，D为BC的中点，∴AD⊥BC，BD＝AD．∴∠B＝∠DAC＝45°．又BE＝AF，∴△BDE≌△ADF（SAS）．∴ED＝FD，∠BDE＝∠ADF，∴∠EDF＝∠EDA＋∠ADF＝∠EDA＋∠BDE＝∠BDA＝90°．∴△DEF为等腰直角三角形．ABCDEF(1)ABCDEF(2)（2）若E、F分别是AB、CA延长线上的点，如图所示，连接AD．∵AB＝AC，∠BAC＝90°，D为BC的中点，∴AD＝BD，AD⊥BC．-3-∴∠DAC＝∠ABD＝45°．∴∠DAF＝∠DBE＝135°．又AF＝BE，∴△DAF≌△DBE（SAS）．∴FD＝ED，∠FDA＝∠EDB，∴∠EDF＝∠EDB＋∠FDB＝∠FDA＋∠FDB＝∠ADB＝90°．∴△DEF仍为等腰直角三角形．评析：构造全等三角形证明线段相等，是本题的突破口，而AD则是本题的生命线．大家可以观察图形具有的特点和辅助线，理解之所以这样做的原因才能提高解题能力．例4.某小区现有一块等腰直角三角形形状的绿地，腰长为100米，直角顶点为A．小区物业管委会准备把它分割成面积相等的两块，有如下的分割方法：方法一：在底边BC上找一点D，连接AD作为分割线；方法二：在腰AC上找一点D，连接BD作为分割线；方法三：在腰AB上找一点D，作DE∥BC，交AC于点E，DE作为分割线；方法四：以顶点A为圆心，AD为半径作弧，交AB于点D，交AC于点E，弧DE作为分割线．这些分割方法中分割线最短的是哪一个？ABCABCABCABCDDDEDE方法一方法二方法三方法四解：方法一中的分割线AD＝1002＝502（米）；方法二中，要想将原三角形分成面积相等的两部分，D应为AC的中点，则分割线BD＝1002＋502＝505（米）；方法三中，如果所分得的三角形与等腰梯形的面积相等，则所分割的小等腰直角三角形与原等腰直角三角形的面积之比为1∶2，两三角形的相似比是1∶2，故DE＝BC2＝10022＝100（米）；方法四中，当扇形的面积等于原直角三角形的面积的一半时，14π·AD2＝12AB2，求得半径AD＝1002π，故弧DE的长为14·2π·AD＝502π（米）．分割线最短的是方法一．评析：在求图中分割线的长度时，主要的已知条件就是分割成的两部分的面积相等，也就是得到的一个规则图形的面积是原等腰直角三角形的面积的一半，求解分割线的长度时，应结合图形用较简便的方法求值．综合训练1.如图所示，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，点M为BC的中点，MN⊥AC于点N，则MN等于（）ABCMNA.65B.95C.125D.165解.C【连接AM，由等腰三角形三线合一知AM⊥BC．MC＝12BC＝3．在Rt△AMC中，AC＝5，∴AM＝4，S△AMC＝12AM·MC＝12AC·MN，∴MN＝4×35＝125】2.如图所示，在等边△ABC中，AC＝9，点O在AC上，且AO＝3，点P是AB上一动点，连接OP，将线段OP绕点O逆时针旋转60°得到线段OD．要使点D恰好落在BC上，则AP的长是（）-4-ABCOPDA.4B.5C.6D.8解.C【此题属探索性问题，难度较大．当点D恰好落在BC上时，OP＝OD．∠A＝∠C＝60°，因为∠POD＝60°，所以∠AOP＝∠CDO，故△AOP≌△CDO，所以AP＝CO＝6，选C．】3.如图所示，△DAC和△EBC均是等边三角形，AE、BD分别与CD、CE交于点M、N，有如下结论：①△ACE≌△DCB；②CM＝CN；③AC＝DN．其中，结论正确的有（）ABCDEMNA.3个B.2个C.1个D.0个解.B【∵DC＝AC，∠ACE＝∠DCB，EC＝BC，∴△ACE≌△DCB，则∠AEC＝∠DBC，又∵EC＝BC，∠ECB＝∠DCE，∴△MCE≌△NCB，则MC＝NC，而由已知不能得出AC＝ND，故选B】4.如图所示，在△ABC中，D、E分别是AC、AB上的点，BD与CE交于点O，给出下列三个条件：①∠EBO＝∠DCO；②∠BEO＝∠CDO；③BE＝CD．（1）上述三个条件中，哪两个条件可判定△ABC是等腰三角形（用序号写出所有情况）；（2）选择第（1）小题中的一种情况，证明△ABC是等腰三角形．ABCDEO解：（1）①③；②③．（1）①③．证明：∵∠EBO＝∠DCO，∠EOB＝∠DOC，BE＝CD，∴△BEO≌△CDO．∴OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB．∴∠EBO＋∠OBC＝∠DCO＋∠OCB，即∠ABC＝∠ACB．∴AB＝AC．∴△ABC为等边三角形．5.已知：如图所示，在△ABC中，∠ABC＝45°，CD⊥AB于D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，与CD相交于点F．H是BC边的中点，连接DH与BE相交于点G．（1）求证：BF＝AC；（2）求证：CE＝12BF；（3）CE与BG的大小关系如何？试证明你的结论．ABCHDEFG（1）证明：∵CD⊥AB，∠ABC＝45°，∴△BCD是等腰直角三角形．∴BD＝CD．在Rt△DFB和Rt△DAC中，∵∠DBF＝90°－∠BFD，∠DCA＝90°－∠EFC，且∠BDF＝∠CDA＝90°，BD＝CD，∴Rt△DFB≌Rt△DAC，∴BF＝AC．（2）证明：在Rt△BEA和Rt△BEC中，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE-5-＝∠CBE，又∵BE＝BE，∠BEA＝∠BEC＝90，∴Rt△BEA≌Rt△BEC．∴CE＝AE＝12AC．又由（1）知BF＝AC，∴CE＝12AC＝12BF．（3）CE＜BG．证明：连接CG．∵△BCD是等腰直角三角形，∴BD＝CD．又H是BC边的中点，∴DH垂直平分BC，∴BG＝CG．在Rt△CEG中，∵CG是斜边，CE是直角边，∴CE＜CG．∴CE＜BG．6．已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D为BC的中点，CE⊥AD于点E，交AB于点F，连接DF.求证：∠ADC=∠BDF.解析：法一：作CH⊥AB于H交CD于G，证△BDF≌△CDG←CG=BF←△ACG≌△CBF法二：过B作BK⊥CB于B交CF延长线于K→△ACD≌△CBK→△DFB≌△KFB法三：考虑设数计算出∠ADC与∠FDM的正切值，设DE=1,则→CE=2，AE=4，AC=，CD=，过F作FM⊥BD于M，过B作BH⊥AD延长线于H→(BH=2，)，.