全国初中数学竞赛试题及答案数学周报杯

中国教育学会中学数学教学专业委员会“《数学周报》杯”2009年全国初中数学竞赛试题参考答案一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分.以下每道小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的.请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）1．已知非零实数a，b满足2242(3)42ababa，则ab等于（）．（A）－1（B）0（C）1（D）2【答】C．解：由题设知a≥3，所以，题设的等式为22(3)0bab，于是32ab，，从而ab＝1．2．如图，菱形ABCD的边长为a，点O是对角线AC上的一点，且OA＝a，OB＝OC＝OD＝1，则a等于（）．（A）512（B）512（C）1（D）2【答】A．解：因为△BOC∽△ABC，所以BOBCABAC，即11aaa，所以，210aa．由0a，解得152a．3．将一枚六个面编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先后投掷两次，记第一次掷出的点数为a，第二次掷出的点数为b，则使关于x，y的方程组322axbyxy，只有正数解的概率为（）．（A）121（B）92（C）185（D）3613【答】D．解：当20ab时，方程组无解．当02ba时，方程组的解为62,223.2bxabayab由已知，得,0232,0226baabab即,3,23,02baba或.3,23,02baba由a，b的实际意义为1，2，3，4，5，6，可得2345612ab，，，，，，，共有5×2＝10种情况；或1456ab，，，，共3种情况．又掷两次骰子出现的基本事件共6×6＝36种情况，故所求的概率为3613．4．如图1所示，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，90B.动点P从点B出发，沿梯形的边由B→C→D→A运动.设点P运动的路程为x，△ABP的面积为y.把y看作x的函数，函数的图像如图2所示，则△ABC的面积为（）．（A）10（B）16（C）18（D）32【答】B．解：根据图像可得BC＝4，CD＝5，DA＝5，进而求得AB＝8，故S△ABC＝12×8×4＝16.5．关于x，y的方程22229xxyy的整数解（x，y）的组数为（）．（第4题）（第2题）图1图2（A）2组（B）3组（C）4组（D）无穷多组【答】C．解：可将原方程视为关于x的二次方程，将其变形为22(229)0xyxy．由于该方程有整数根，则判别式≥0，且是完全平方数．由2224(229)7116yyy≥0，解得2y≤11616.577．于是2y01491611610988534显然，只有216y时，4是完全平方数，符合要求．当4y时，原方程为2430xx，此时121,3xx；当y＝－4时，原方程为2430xx，此时341,3xx．所以，原方程的整数解为111,4;xy223,4;xy331,4;xy443,4.xy二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）6．一个自行车轮胎，若把它安装在前轮，则自行车行驶5000km后报废；若把它安装在后轮，则自行车行驶3000km后报废，行驶一定路程后可以交换前、后轮胎．如果交换前、后轮胎，要使一辆自行车的一对新轮胎同时报废，那么这辆车将能行驶km．【答】3750．解：设每个新轮胎报废时的总磨损量为k,则安装在前轮的轮胎每行驶1km磨损量为5000k,安装在后轮的轮胎每行驶1km的磨损量为3000k.又设一对新轮胎交换位置前走了xkm，交换位置后走了ykm.分别以一个轮胎的总磨损量为等量关系列方程,有,50003000,50003000kxkykkykxk两式相加，得()()250003000kxykxyk，则237501150003000xy．7．已知线段AB的中点为C，以点A为圆心，AB的长为半径作圆，在线段AB的延长线上取点D，使得BD＝AC；再以点D为圆心，DA的长为半径作圆，与⊙A分别相交于F，G两点，连接FG交AB于点H，则AHAB的值为．解：如图，延长AD与⊙D交于点E，连接AF，EF．由题设知13ACAD，13ABAE，在△FHA和△EFA中，90EFAFHA，FAHEAF所以Rt△FHA∽Rt△EFA，AHAFAFAE.而AFAB，所以AHAB13.8．已知12345aaaaa，，，，是满足条件123459aaaaa的五个不同的整数，若b是关于x的方程123452009xaxaxaxaxa的整数根，则b的值为．【答】10．解：因为123452009bababababa，且12345aaaaa，，，，是五个不同的整数，所有12345bababababa，，，，也是五个不同的整数．（第7题）又因为2009117741，所以1234541bababababa．由123459aaaaa，可得10b．9．如图，在△ABC中，CD是高，CE为ACB的平分线．若AC＝15，BC＝20，CD＝12，则CE的长等于．【答】6027．解：如图，由勾股定理知AD＝9，BD＝16，所以AB＝AD＋BD＝25．故由勾股定理逆定理知△ACB为直角三角形，且90ACB．作EF⊥BC，垂足为F．设EF＝x，由1452ECFACB，得CF＝x，于是BF＝20－x．由于EF∥AC，所以EFBFACBC，即201520xx，解得607x．所以60227CEx．10．10个人围成一个圆圈做游戏．游戏的规则是：每个人心里都想好一个数，并把自己想好的数如实地告诉他两旁的两个人，然后每个人将他两旁的两个人告诉他的数的平均数报出来．若报出来的数如图所示，则报3的人心里想的数是．【答】2．解：设报3的人心里想的数是x，则报5的人心里想的数应是8x．于是报7的人心里想的数是12(8)4xx，报9的人心里想的数是16(4)12xx，报1的人心里想的数是20(12)8xx，报3的人心里想的数是4(8)4xx．所以4xx，解得2x．三、解答题（共4题，每题20分，共80分）11．已知抛物线2yx与动直线cxty)12(有公共点),(11yx，),(22yx，且3222221ttxx.（1）求实数t的取值范围；（2）当t为何值时，c取到最小值，并求出c的最小值.解：（1）联立2yx与cxty)12(，消去y得二次方程2(21)0xtxc①有实数根1x，2x，则121221,xxtxxc．所以2221212121[()()]2cxxxxxx=221[(21)(23)]2ttt＝21(364)2tt．②………………5分把②式代入方程①得221(21)(364)02xtxtt．③………………10分t的取值应满足2221223ttxx≥0，④且使方程③有实数根，即22(21)2(364)ttt＝2287tt≥0，⑤解不等式④得t≤-3或t≥1，解不等式⑤得222≤t≤222.所以，t的取值范围为（第9题）（第10题）222≤t≤222.⑥………………15分(2)由②式知22131(364)(1)222cttt.由于231(1)22ct在222≤t≤222时是递增的，所以，当222t时,2min3211162(21)2224c.………………20分12．已知正整数a满足3192191a，且2009a，求满足条件的所有可能的正整数a的和．解：由3192191a可得31921a．619232，且311(1)1(1)(1)(1)aaaaaaaa．………………5分因为11aa是奇数，所以6321a等价于621a，又因为3(1)(1)aaa，所以331a等价于31a．因此有1921a，于是可得1921ak．………………15分又02009a，所以0110k，，，．因此，满足条件的所有可能的正整数a的和为11＋192（1＋2＋…＋10）＝10571．………………20分13．如图，给定锐角三角形ABC，BCCA，AD，BE是它的两条高，过点C作△ABC的外接圆的切线l，过点D，E分别作l的垂线，垂足分别为F，G．试比较线段DF和EG的大小，并证明你的结论．解法1：结论是DFEG．下面给出证明．………………5分因为FCDEAB，所以Rt△FCD∽Rt△EAB．于是可得CDDFBEAB．同理可得CEEGADAB．………………10分又因为tanADBEACBCDCE，所以有BECDADCE，于是可得DFEG．………………20分解法2：结论是DFEG．下面给出证明．………………5分连接DE，因为90ADBAEB，所以A，B，D，E四点共圆，故CEDABC．………………10分又l是⊙O的过点C的切线，所以ACGABC．………………15分所以，CEDACG，于是DE∥FG，故DF＝EG．………………20分14．n个正整数12naaa，，，满足如下条件：1212009naaa；且12naaa，，，中任意n－1个不同的数的算术平均数都是正整数．求n的最大值．解：设12naaa，，，中去掉ia后剩下的n－1个数的算术平均数为正整数ib，12in，，，．即12()1niiaaaabn．于是，对于任意的1≤ij≤n，都有1jiijaabbn，从而1()jinaa．………………5分由于11200811nnaabbnn是正整数，故（第13A题）（第13A题）312251n．………………10分由于112211nnnnnaaaaaaa≥2111(1)nnnn，所以，2(1)n≤2008，于是n≤45.结合312251n，所以，n≤9．………………15分另一方面，令123801,811,821aaa，…，8871a，982511a，则这9个数满足题设要求．综上所述，n的最大值为9.………………20分