三角恒等变换公式

—1—三角恒等变换公式及其证明一、两角和、差的三角函数公式（1）cos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ……………………………………………………①证明：利用三角函数线证明.（详见课本必修4P125）cos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβ………………………………………………………②证明：cos（α＋β）＝cos[α－（－β）]＝cosαcos（－β）＋sinαsin（－β）＝cosαcosβ－sinαsinβ.例：求cos105°.解：cos105°＝cos（60°＋45°）＝cos60°cos45°－sin60°sin45°＝12×22－32×22＝24－64＝264－.（2）sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβ……………………………………………………③证明：sin（α＋β）＝cos＝cos＝coscosβ＋sinsinβ＝sinαcosβ＋cosαsinβ.sin（α－β）＝sinαcosβ－cosαsinβ………………………………………………………④证明：sin（α－β）＝sin[α＋（－β）]＝sinαcos（－β）＋cosαsin（－β）＝sinαcosβ－cosαsinβ.（3）tan（α＋β）＝tantan1tantan＋－…………………………………………………………⑤证明：tan（α＋β）＝sin()cos()＋＋＝sincoscossincoscossinsin＋－＝tantan1tantan＋－.tan（α－β）＝tantan1tantan－＋……………………………………………………………⑥证明：tan（α－β）＝tan[α＋（－β）]＝tantan()1tantan()＋－－－＝tantan1tantan－＋.[]π2－（α＋β）[（）]π2－α－β（）π2－α（）π2－α—2—二、二倍角公式（1）cos2α＝cos2α－sin2α……………………………………………………………………⑦证明：cos2α＝cos（α＋α）＝cosαcosα－sinαsinα＝cos2α－sin2α.（2）sin2α＝2sinαcosα…………………………………………………………………………⑧证明：sin2α＝sin（α＋α）＝sinαcosα＋cosαsinα＝2sinαcosα.（3）tan2α＝22tan1tan－………………………………………………………………………⑨证明：tan2α＝tan（α＋α）＝tantan1tantan＋－＝22tan1tan－.变式：公式⑦变式：cos2α＝cos2α－sin2α＝（1－sin2α）－sin2α＝1－2sin2α……………………………⑩＝cos2α－（1－cos2α）＝2cos2α－1……………………………○11公式⑩变式：cos2α＝1－2sin2α2sin2α＝1－cos2αsin2α＝1cos22－.○12公式○11变式：cos2α＝2cos2α－12cos2α＝cos2α＋1cos2α＝cos212＋.○13公式○12和○13合称降幂公式.公式○12变式：sin2＝±1cos2－………………………………………………○14证明：sin2α＝1cos22－sin22＝1cos2－sin2＝±1cos2－.公式○13变式：cos2＝±cos12＋………………………………………………○15证明：cos2α＝cos212＋—3—cos22＝cos12＋cos2＝±cos12＋.公式○14和○15合称半角公式.三、辅助角公式asinx±bcosx＝22ab＋sin（x±），其中tan＝ba.…………………………○16证明：（如图）asinx±bcosx＝22ab＋22aab＋sinx±22bab＋cosx＝22ab＋（sinxcos±cosxsin）＝22ab＋sin（x±）.（）Oxy（a，b）ab22ab＋