2019-2020学年新人教A版必修一-----5.3-诱导公式(二)---课件(52张)

5.3诱导公式(二)1.诱导公式五【思考】(1)角-α与角α的终边有什么样的位置关系?2提示:如图,角-α与角α的终边关于y=x对称.2(2)点P1(a,b)关于y=x对称的对称点坐标是什么?提示:点P1(a,b)关于y=x对称的对称点坐标是P2(b,a).2.诱导公式六【思考】如何由公式四及公式五推导公式六?提示:sin()sin(())sin()cos222＋－－－，cos()cos(())cos()sin.222＋＝－－＝－－3.公式五和公式六的理解(1)函数名称:±α的正弦(余弦)函数值,分别转化为α的余弦(正弦)函数值.(2)符号:函数值前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号.2(3)作用:利用诱导公式五或六,可以实现正弦函数与余弦函数的相互转化.(4)简记:“函数名改变,符号看象限”.【素养小测】1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)(1)sin(+α)=-cosα.()(2)在△ABC中,sin=cos.()(3)sin=±cosα.()2AB2＋C2k()2－提示:(1)×.由公式六知sin(+α)=cosα.(2)√.因为由公式五可知sin=cos.(3)×.当k=2时,sin=sin(π-α)=sinα.2k()2－ABC,222＋AB2＋C22.下列与的值相等的式子为()sin()2A.sin()B.cos()2233C.cos()D.sin()22【解析】选D.sin()sin()cos22，3sin()sin()sin()cos.2223.sin95°+cos175°的值为()A.sin5°B.1C.0D.2sin5°【解析】选C.sin95°=sin(90°+5°)=cos5°,cos175°=cos(180°-5°)=-cos5°,故sin95°+cos175°=cos5°-cos5°=0.4.若cos(π+α)=,则=________.【解析】cos(π+α)=-cosα=,所以cosα=,sin=cosα=.答案:13sin()2＋131313()2＋13类型一利用诱导公式求值【典例】1.已知cos31°=m,则sin239°tan149°的值是()22221mAB1mm1mC.D.1mm－．．－－－－－2.已知cos(π+α)=,α为第一象限角,则cos的值为________.3.已知,则的值为________.世纪金榜导学号12()2＋1sin()32－＝cos()6＋【思维·引】1.239°=180°+59°=180°+(90°-31°),149°=180°-31°.2.利用公式二和公式六分别化简计算.3.()().362－＋【解析】1.选B.sin239°tan149°=sin(180°+59°)·tan(180°-31°)=-sin59°(-tan31°)=-sin(90°-31°)·(-tan31°)=-cos31°·(-tan31°)=sin31°221cos311m.－－2.因为cos(π+α)=-cosα=,所以cosα=,又α为第一象限角,则答案:12122213cos()sin1cos1().222＋－－323.答案:1cos()cos[()]sin().62332＋＝－－＝－＝12【内化·悟】1.怎样发现已知角与未知角之间的关系?提示:通过对已知角与未知角之间进行加减运算,寻找它们与180°,90°之间的关系.2.对于含有参变量的已知角和未知角怎样转化?提示:通常把含有参变量的两个式子进行加减运算,从而发现互补、互余关系.【类题·通】解决化简求值问题的策略(1)首先要仔细观察条件式与所求式之间的关系,发现它们的互补、互余关系.(2)可以将已知式进行变形,向所求式转化,或将所求式进行变形,向已知式转化.提醒:常见的互余关系有:等;常见的互补关系有:等.3644－与＋，＋与－233344＋与－，＋与－【习练·破】已知sin40°=a,则cos130°等于()A.aB.-a【解析】选B.cos130°=cos(90°+40°)=-sin40°=-a.22C.1aD.1a－－－【加练·固】已知sin(75°+α)=,则cos(15°-α)的值为()13122122A.B.CD.3333－－．【解析】选C.因为(75°+α)+(15°-α)=90°,所以cos(15°-α)=cos[90°-(75°+α)]=sin(75°+α)=.13类型二利用诱导公式化简、证明【典例】求证:-tanα.世纪金榜导学号tan(2)sin(2)cos(6)33sin()cos()22－－－－＋＋【思维·引】等式左边含有k·±α,k∈Z的形式的角,可以利用诱导公式直接对等式左边进行化简,从而推得等式右边.2【证明】因为左边2tan()sin()cos()sin[2()]cos[2()]22(tan)(sin)cossin[()]cos[()]22sinsin()cos()22－－－＝－－－－－－＝－－－－＝－－－=-tanα=右边.所以原等式成立.2sinsincossincos＝＝－－【内化·悟】诱导公式化简的基本原则?提示:(1)负化正、大化小、小化锐、锐求值.(2)对于k·±α,k∈Z的形式的角,奇变偶不变,符号看象限.2【类题·通】对于恒等式的证明,应遵循化繁为简的原则,从左边推导右边或从右边推导左边,也可以左右归一,变更论证的方法.常用定义法、弦化切、拆项拆角法、“1”的代换法、公式变形法等,要熟练掌握基本公式,善于从中选择巧妙简捷的方法.【习练·破】化简:2233sin()sin()tan222.cos()cos()cos()22－－－（－）－＋－【解析】原式=22sin()[sin()]tan(2)22cos()cos()cos()22－＋－－－－＋－22222cos(cos)tantan1.sin(sin)cossincos－＝＝＝－【加练·固】证明:cos()cos(2)33cos[sin()1]cos()sin()sin()22222.sin【证明】左边==右边.所以原等式成立.coscoscos(cos1)coscoscos－＋－－－＋111cos1cos1cos1cos(1cos)(1cos)－＋＋＝＋＝＋－＋－22221cossin＝＝－类型三诱导公式的综合应用【典例】已知f(α)=(1)化简f(α).(2)若α为第三象限角且求f(α)的值.(3)若α=,求f(α)的值.世纪金榜导学号3sin()cos(2)cos()2.cos()sin()2－－－＋－－－31cos()25－＝，313－【思维·引】利用诱导公式一～六对函数式进行化简,再利用平方关系等三角函数知识解题.【解析】(1)f(α)==-cosα.(2)因为cos=-sinα=,所以sinα=,又因为α为第三象限角,所以cosα==,所以f(α)=sincos(sin)sinsin－3()2－151521sin－－265－26.5(3)31315f()cos()cos(62)333－＝－－＝－－＋51coscos.332＝－＝－＝－【内化·悟】对于复杂的、综合性很强的三角函数化简、计算、求值问题,怎样解决?提示:运用诱导公式化简、求值的前提是熟记诱导公式一～六,上述诱导公式可以概括为一句口诀:“奇变偶不变,符号看象限”;即把已知角统一写成“k·+α,k∈Z”的形式,根据k的奇偶性选择函数名进行化简.再综合利用三角函数的定义、特殊角的三角函数等知识解决问题.2【类题·通】诱导公式综合应用要“三看”一看角:①化大为小;②看角与角间的联系,可通过相加、相减分析两角的关系.二看函数名称:一般是弦切互化.三看式子结构:通过分析式子,选择合适的方法,如分式可对分子分母同乘一个式子变形.【习练·破】已知f(α)=(1)化简f(α).(2)若角A是△ABC的内角,且f(A)=,求tanA-sinA的值.sin()cos()sin()2.cos()sin()－－＋＋－35【解析】(1)f(α)==cosα.(2)因为f(A)=cosA=,又A为△ABC的内角,所以由平方关系,得sinA=所以tanA=所以tanA-sinA=sincoscoscos(sin)－－35241cosA5－＝，sinA4cosA3＝，448.3515－＝【加练·固】已知sinθ,cosθ是关于x的方程x2-ax+a=0(a∈R)的两个根.(1)求的值.(2)求tan(π-θ)-的值.cos()sin()22－＋＋1tan【解析】由已知原方程判别式Δ≥0,即(-a)2-4a≥0,则a≥4或a≤0.又(sinθ+cosθ)2=1+2sinθcosθ,即a2-2a-1=0,所以a=1-或a=1+(舍去).则sinθ+cosθ=sinθcosθ=1-.sincosasincosa＋＝，＝，222(1)cos+sin=sinθ+cosθ=1-.(2)tan(π-θ)-=-tanθ-()2－()2＋21tan1tan1sincos1(tan)()tancossinsincos121.12＝－＋＝－＋＝－＝－＝＋－