策略性问题答案版

课后练习:【练习1】甲和乙玩游戏，桌上放有2010根火柴，他们轮流取火柴，规则是：每人每次最少取1根，最多取当时桌面上火柴数的一半，如果有人取到最后1根火柴，那他就输了。现在甲先开始取，那么谁一定能赢？怎么取？【分析】因为102201011111011010，所以当甲第一次取222101111101101011111111111111011011987根火柴后，无论乙以后取多少根火柴，甲都能留给乙12111n个（nZ）根火柴；所以乙必定取最后1根火柴，所以甲一定能赢。【练习2】（2002年第十一届日本小学数学奥林匹克大赛预赛第8题）有这样一个游戏：把100根火柴堆在一起，两人轮流取火柴，每人每次最少取1根，最多取10根，谁能取到最后剩下的火柴，谁是胜者。请问：先取者为战胜对手第一次应取几根火柴？【分析】本题可以用逆推分析法。如果先取者要能取到最后1根火柴，在倒数第二次取时必须留给后取者11根，这样无论后取者取1~10根，先取者都能取到最后1根，以此类推，先取者只要每次留给后取者的都是11倍数，则先取者必然取最后1根，先取者必胜。1001191，所以先取者必须先取1根，然后无论后取者每次取几根（假设乙取n根，1~10n），先取者只需取（11n）根，必然先取者取到最后1根，先取者获胜。【练习3】（2007年第七届“中环杯”小学生思维能力训练活动四年级决赛）桌上放着63根火柴，甲、乙两人轮流每次取走1根至3根。（1）规定谁取走最后一根谁就获胜。如果甲先取，是否有必胜的方法？如有，请写出简要的方法；如没有，请说出理由。（2）规定谁取走最后一根火柴谁就算输，还是甲先取，是否有必胜的方法？如有，请写出简要的方法；如没有，请说明理由。【分析】本题可以用逆推分析法。（1）如果甲要能取到最后1根火柴，在倒数第二次取时必须留给乙4根，这样无论乙取1、2或3根，甲都能取到最后1根，以此类推，甲只要每次留给乙的都是4的倍数，则甲必然取最后1根，甲必胜。634153，所以甲必须先取3根，然后无论乙每次取几根（假设乙取n根，1n或2或3），甲只需取（4n）根，必然甲取到最后1根，甲获胜。（2）如果乙要能取到最后1根火柴，在倒数第二次取时必须留给乙5根，这样无论乙取1、2或3根，乙都能取到最后1根，以此类推，甲只要每次留给乙的都是4的倍数加1，则乙必然取最后1根，甲必胜。6314152，所以甲必须先取2根，然后无论乙每次取几根（假设乙取n根，1n或2或3），甲只需取（4n）根，必然乙取到最后1根，甲获胜。【练习4】神父的诡计：一艘不大的船只在海上遇到了风暴，摆在船上25位乘客面前的路只有两条：要么全部乘客与船只同归于尽；要么牺牲一部分人的生命，把他们抛进大海，减轻船的载重量，船及其他人还有得救的可能，但是这样做至少得把一半以上的人抛进海里。大家都同意走第二条路，然而谁也不愿意自动跳进海里。乘客里有11个基督徒，其中一个是神父，于是大家就公推神父出个主意。奸诈的神父想了一下，就让大家坐成一个环形，并且从他依序报数，“1、2、3”，规定报到“3”的人就被抛进海里，下一个继续由“1”报起，同时声称这是上帝的旨意，大家的命运都由上帝来安排，不得抗拒.结果有14个人被抛进海里，而剩下的11个人全部都是基督徒。大难不死的其他10个基督徒突然醒悟过来，原来神父是用诡计救了他们。请你想想，这11个人应在什么位置，才可以避免被抛进海里去呢？【分析】神父只要让11个基督徒占领1、4、5、8、10、13、14、17、19、22、23这11个位置，就可以保证他们不被抛进海里。【练习5】如图所示是一种“红黑棋”，甲、乙两人玩棋，分别取红、黑两方。规定：下棋时，每人每次只能走任意一枚棋，每枚棋子每次可以走一格或几格。红棋从左向右走，黑棋从右向左走，但不能跳过对方棋子走，也不能重叠在对方有棋子的格中。一直到谁无法走棋时，谁就失败。甲先乙后走棋，问甲有没有必胜的策略？黑黑黑黑黑红红红红红黑红【分析】甲若想必胜，那么甲走一次棋后，“乙能走甲就能走”，观察棋盘，第二、三行都有9个空格，第四、五行都有5个空格，而第一行只有1个空格，第六行有3个空格；因此甲第1次只要将第六行也变为1个空格，那么就形成一种对称局面，“乙能走甲就能走”。因此甲有必胜的策略：甲先把第六行的红棋向右走两格，使中间只有一个空格；以后乙走第一行，甲就相应地走第六行；乙走第二行，甲就相应地走第三行；乙走第三行，甲就相应地走第二行；乙走第四行，甲就相应地走第五行；乙走第五行，甲就相应地走第四行；乙走第六行，甲就相应地走第一行；且每次甲与乙走的格数要相同，那么最后肯定是乙无法走棋失败，甲必胜。【练习6】甲、乙二人轮流报数，报出的数只能是1~7的自然数。同时把所报数一一累加起来，谁先使这个累加和达到80，谁就获胜。问怎样才能确保获胜？【分析】本题可以用逆推分析法。因为每次报1~7的自然数，所以要想报到80，应抢先报到72，给对方留下8；以此类推，每次应抢报的数为80、72、64、56、48、40、32、24、16、8；所以获胜策略：⑴让对方先报；⑵对方报n，你就报8n（1~7n）。【练习7】如图是一个46的方格棋盘，左上角有一枚棋子。甲先乙后，二人轮流走这枚棋子，每人每次只能向下、向右或向右下走一格。如图中棋子可以走入A、B、C三格之一，谁将棋子走入右下角方格中谁获胜。如果都按最佳方法走，那么谁将获胜？有什么必胜的策略？CABBAC12345664326426544466【分析】本题可以用逆推分析法。要想最后一步走到右下角的方格1中，必须让对方倒数第二步走入方格1周围的三个方格2中；倒数第三步必须走到方格3中；倒数第四步必须让对方走到方格4中；倒数第五步则必须走方格5或B中；若想对手倒数第五步则必须走方格5中，则第六步必须让对方走到方格6中；倒数第七步必须走到方格B中。所以甲第一步将棋子走到方格B中，以后每次均将棋子走到标有奇数号码的方格中，即可获胜。