简单的三角恒等变换学案

学案22简单的三角恒等变换导学目标：1.能推出二倍角的正弦、余弦、正切公式，并熟练应用.2.能运用两角和与差的三角公式进行简单的恒等变换．自主梳理1．二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)sin2α＝________________；(2)cos2α＝______________＝________________－1＝1－________________；(3)tan2α＝________________________(α≠kπ2＋π4且α≠kπ＋π2)．2．公式的逆向变换及有关变形(1)sinαcosα＝____________________⇒cosα＝sin2α2sinα；(2)降幂公式：sin2α＝________________，cos2α＝________________；升幂公式：1＋cosα＝________________，1－cosα＝_____________；变形：1±sin2α＝sin2α＋cos2α±2sinαcosα＝________________________.自我检测1．(2010·陕西)函数f(x)＝2sinxcosx是()A．最小正周期为2π的奇函数B．最小正周期为2π的偶函数C．最小正周期为π的奇函数D．最小正周期为π的偶函数2．函数f(x)＝cos2x－2sinx的最小值和最大值分别为()A．－3,1B．－2,2C．－3，32D．－2，323．函数f(x)＝sinxcosx的最小值是()A．－1B．－12C.12D．14．(2011·清远月考)已知A、B为直角三角形的两个锐角，则sinA·sinB()A．有最大值12，最小值0B．有最小值12，无最大值C．既无最大值也无最小值D．有最大值12，无最小值探究点一三角函数式的化简例1求函数y＝7－4sinxcosx＋4cos2x－4cos4x的最大值和最小值．变式迁移1(2011·泰安模拟)已知函数f(x)＝4cos4x－2cos2x－1sinπ4＋xsinπ4－x.(1)求f－11π12的值；(2)当x∈0，π4时，求g(x)＝12f(x)＋sin2x的最大值和最小值．探究点二三角函数式的求值例2已知sin(π4＋2α)·sin(π4－2α)＝14，α∈(π4，π2)，求2sin2α＋tanα－1tanα－1的值．变式迁移2(1)已知α是第一象限角，且cosα＝513，求sinα＋π4cos2α＋4π的值．(2)已知cos(α＋π4)＝35，π2≤α3π2，求cos(2α＋π4)的值．探究点三三角恒等式的证明例3(2011·苏北四市模拟)已知sin(2α＋β)＝3sinβ，设tanα＝x，tanβ＝y，记y＝f(x)．(1)求证：tan(α＋β)＝2tanα；(2)求f(x)的解析表达式；(3)若角α是一个三角形的最小内角，试求函数f(x)的值域．变式迁移3求证：sin2xsinx＋cosx－1sinx－cosx＋1＝1＋cosxsinx.转化与化归思想的应用例(12分)(2010·江西)已知函数f(x)＝1＋1tanxsin2x＋msinx＋π4sinx－π4.(1)当m＝0时，求f(x)在区间π8，3π4上的取值范围；(2)当tanα＝2时，f(α)＝35，求m的值．【答题模板】解(1)当m＝0时，f(x)＝1＋cosxsinxsin2x＝sin2x＋sinxcosx＝1－cos2x＋sin2x2＝122sin2x－π4＋1，[3分]由已知x∈π8，3π4，得2x－π4∈0，5π4，[4分]所以sin2x－π4∈－22，1，[5分]从而得f(x)的值域为0，1＋22.[6分](2)f(x)＝sin2x＋sinxcosx－m2cos2x＝1－cos2x2＋12sin2x－m2cos2x＝12[sin2x－(1＋m)cos2x]＋12，[8分]由tanα＝2，得sin2α＝2sinαcosαsin2α＋cos2α＝2tanα1＋tan2α＝45，cos2α＝cos2α－sin2αcos2α＋sin2α＝1－tan2α1＋tan2α＝－35.[10分]所以35＝1245＋351＋m＋12，[11分]解得m＝－2.[12分]【突破思维障碍】三角函数式的化简是指利用诱导公式、同角基本关系式、和与差的三角函数公式、二倍角公式等，将较复杂的三角函数式化得更简洁、更清楚地显示出式子的结果．化简三角函数式的基本要求是：(1)能求出数值的要求出数值；(2)使三角函数式的项数最少、次数最低、角与函数的种类最少；(3)分式中的分母尽量不含根式等．1．求值中主要有三类求值问题：(1)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解．(2)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．(3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，关键也是变角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角．2．三角恒等变换的常用方法、技巧和原则：(1)在化简求值和证明时常用如下方法：切割化弦法，升幂降幂法，和积互化法，辅助元素法，“1”的代换法等．(2)常用的拆角、拼角技巧如：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，α＝(α－β)＋β，α＋β2＝α－β2＋β－α2，α2是α4的二倍角等．(3)化繁为简：变复角为单角，变不同角为同角，化非同名函数为同名函数，化高次为低次，化多项式为单项式，化无理式为有理式．消除差异：消除已知与未知、条件与结论、左端与右端以及各项的次数、角、函数名称、结构等方面的差异．(满分：75分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．(2011·平顶山月考)已知0απ，3sin2α＝sinα，则cos(α－π)等于()A.13B．－13C.16D．－162．已知tan(α＋β)＝25，tanβ－π4＝14，那么tanα＋π4等于()A.1318B.1322C.322D.163．(2011·石家庄模拟)已知cos2α＝12(其中α∈－π4，0)，则sinα的值为()A.12B．－12C.32D．－324．若f(x)＝2tanx－2sin2x2－1sinx2cosx2，则fπ12的值为()A．－433B．8C．43D．－435．(2010·福建厦门外国语学校高三第二次月考)在△ABC中，若cos2B＋3cos(A＋C)＋2＝0，则sinB的值是()A.12B.22C.32D．1题号12345答案二、填空题(每小题4分，共12分)6．(2010·全国Ⅰ)已知α为第二象限的角，且sinα＝35，则tan2α＝________.7．函数y＝2cos2x＋sin2x的最小值是________．8．若cos2αsinα－π4＝－22，则cosα＋sinα的值为________．三、解答题(共38分)9．(12分)化简：(1)cos20°cos40°cos60°cos80°；(2)3－4cos2α＋cos4α3＋4cos2α＋cos4α.10．(12分)(2011·南京模拟)设函数f(x)＝3sinxcosx－cosxsinπ2＋x－12.(1)求f(x)的最小正周期；(2)当∈0，π2时，求函数f(x)的最大值和最小值．11．(14分)(2010·北京)已知函数f(x)＝2cos2x＋sin2x－4cosx.(1)求f(π3)的值；(2)求f(x)的最大值和最小值．答案自主梳理1．(1)2sinαcosα(2)cos2α－sin2α2cos2α2sin2α(3)2tanα1－tan2α2.(1)12sin2α(2)1－cos2α21＋cos2α22cos2α22sin2α2(sinα±cosα)2自我检测1．C2.C3.B4.D课堂活动区例1解题导引化简的原则是形式简单，三角函数名称尽量少，次数尽量低，最好不含分母，能求值的尽量求值．本题要充分利用倍角公式进行降幂，利用配方变为复合函数，重视复合函数中间变量的范围是关键．解y＝7－4sinxcosx＋4cos2x－4cos4x＝7－2sin2x＋4cos2x(1－cos2x)＝7－2sin2x＋4cos2xsin2x＝7－2sin2x＋sin22x＝(1－sin2x)2＋6，由于函数z＝(u－1)2＋6在[－1,1]中的最大值为zmax＝(－1－1)2＋6＝10，最小值为zmin＝(1－1)2＋6＝6，故当sin2x＝－1时，y取得最大值10，当sin2x＝1时，y取得最小值6.变式迁移1解(1)f(x)＝1＋cos2x2－2cos2x－1sinπ4＋xsinπ4－x＝cos22xsinπ4＋xcosπ4＋x＝2cos22xsinπ2＋2x＝2cos22xcos2x＝2cos2x，∴f－11π12＝2cos－11π6＝2cosπ6＝3.(2)g(x)＝cos2x＋sin2x＝2sin2x＋π4.∵x∈0，π4，∴2x＋π4∈π4，3π4，∴当x＝π8时，g(x)max＝2，当x＝0时，g(x)min＝1.例2解题导引(1)这类问题一般是先化简再求值；化简后目标更明确；(2)如果能从已知条件中求出特殊值，应转化为特殊角，可简化运算，对切函数通常化为弦函数．解由sin(π4＋2α)·sin(π4－2α)＝sin(π4＋2α)·cos(π4＋2α)＝12sin(π2＋4α)＝12cos4α＝14，∴cos4α＝12，又α∈(π4，π2)，故α＝5π12，∴2sin2α＋tanα－1tanα－1＝－cos2α＋sin2α－cos2αsinαcosα＝－cos2α＋－2cos2αsin2α＝－cos5π6－2cos5π6sin5π6＝532.变式迁移2解(1)∵α是第一象限角，cosα＝513，∴sinα＝1213.∴sinα＋π4cos2α＋4π＝22sinα＋cosαcos2α＝22sinα＋cosαcos2α－sin2α＝22cosα－sinα＝22513－1213＝－13214.(2)cos(2α＋π4)＝cos2αcosπ4－sin2αsinπ4＝22(cos2α－sin2α)，∵π2≤α32π，∴3π4≤α＋π474π.又cos(α＋π4)＝350，故可知32πα＋π474π，∴sin(α＋π4)＝－45，从而cos2α＝sin(2α＋π2)＝2sin(α＋π4)cos(α＋π4)＝2×(－45)×35＝－2425.sin2α＝－cos(2α＋π2)＝1－2cos2(α＋π4)＝1－2×(35)2＝725.∴cos(2α＋π4)＝22(cos2α－sin2α)＝22×(－2425－725)＝－31250.例3解题导引本题的关键是第(1)小题的恒等式证明，对于三角恒等式的证明，我们要注意观察、分析条件恒等式与目标恒等式的异同，特别是分析已知和要求的角之间的关系，再分析函数名之间的关系，则容易找到思路．证明三角恒等式的实质就是消除等式两边的差异，有目的地化繁为简，左右归一或变更论证．对于第(2)小题同样要从角的关系入手，利用两角和的正切公式可得关系．第(3)小题则利用基本不等式求解即可．(1)证明由sin(2α＋β)＝3sinβ，得sin[(α＋β)＋α]＝3sin[(α＋β)－α]，即sin(α＋β)cosα＋cos(α＋β)sinα＝3sin(α＋β)cosα－3cos(α＋β)sinα，∴sin(α＋β)cosα＝2cos(α＋β)sinα，∴tan(α＋β)＝2tanα.(2)解由(1)得tanα＋tanβ1－tanαta