题及解 201 高等数学XXXX年秋攻读软件工程硕士专业学位高等数学

共6页第1页电子科技大学2010年秋季软件工程硕士研究生入学考试试题考试科目：201高等数学(题及解)注：请考生务必将所有答案写在答题纸上。一.填空题（每小题3分，共15分）1．已知连续可微函数()fx满足1(0)2f，且[()]()xLefxydxfxdy与路径无关，则()fx=(()xeCx).2012.01.xtutdxxxtteduedt设是由方程所确定的函数,则25lim,.2xatxxatedtaaxa3.已知则4．设Ⅰ=22|+1|ddDxyxy，其中22(,)|4Dxyxy，则Ⅰ=（5）1235.1,2,1,1,2,0,,0,0,4,5,22,3.tt已知向量组的秩为则二.单项选择题（每小题3分，共15分）1极限102lim(1)xxyxy……………………………………………（C）.（A）1；（B）e；（C）2e；（D）不存在.2.若(,)fxy在点(0,0)的两个偏导数存在，则(,)fxy在点(0,0)是（D）（A）连续且可微；（B）连续但不一定可微；（C）可微但不一定连续；（D）不一定可微也不一定连续.3.二阶常系数线性非齐次微分方程cosyyxx的特解形式為(D).（A）cossinAxBx;（B）(cossin);xAxxBxx；（C）cossin;AxxBxx；（D）[()cos()sin];xAxBxCxDx4.圆锥体22(,,)|1xyzxyz的形心的坐为……………（A）.()A1(0,0,)2；()B2(0,0,)3；()C3(0,0,)4；()D4(0,0,)5.共6页第2页1212:,,,2:,,,,.,2.,2.,1.,1rsDArsBrsCrsDrs5.设向量组1可由向量组线性表示则当时向量组线性相关;当时向量组线性相关;当时向量组线性相关;当时向量组线性相关.三.计算（每小题4分，满分8分）1.设函数(,)zxy由方程(2,,)0zfxxzyz确定，其中f具有连续的偏导数，求d.z[解]令(,,)(2,,)Fxyzzfxxzyz，則123232,,1,xyzFffFzfFfyf31223232=,.11yxzzFFzfffzzxFfyfyFfyf31223232ddd=dd.11zfffzzzxyxyxyfyffyf2.求曲线2226:0xyzLxyz在点(1,2,1)M处的切线方程与法平面方程.[解]dd2220dddd,dddd10ddyzxyzyzxzxyxxyzxyzxyzxx在点(1,2,1)M处的切线的方向向量为(1,2,1)dd(1,,)|(1,0,1)ddyzsxx切线方程为121101xyz或111120xzy或2020xzy或260xyzxyz法平面方程为(1)(1)00xzxz四.(8分)求微分方程02)3(2xydydxyex的通.解xyyedxdyx232122333233222333333222233,',,1111(22),(22)xxxxdxdxdxxxxxxxxxxxdyedyeyyyydxxxdxxxeeyzzzPQxxxxezceeedxzcxedxxxxcczxexeeyxexeexxxx令得有共6页第3页2222222.721840.0:218402121SyaSSVaSxdydzxydzdxxzdxdySxeyaxzSxeyzaPQRxdydzxydzdxxzdxdydVxyzSxoyzoxxdydzedyd五分计算，其中为曲线绕轴旋转而成的曲面外侧解加辅助面前侧在，面上的投影为零原式2221yzaDzea120.(7)0,11201.fxDfxfxdxff六分设，，求证：，，使得12012010,10,2110,22121111,1,11,10,10FxxfxfxDFxxfxCxfxdxffxfxdxfFfffFFxCDFFFFxfxxfxff解：设由积分中值定理，，使得，，使得而,故七．（7分）求方程010422222zyxzyx所确定的隐函数),(yxzz的极值：解将函数方程两端分别对x,y求偏导得：04222,04222yzyzzyxzxzzx在上两式中令0yzxz，解得：1,1yx.把1,1yx代入原函数方程得2,621zz易知，2,621zz分别为隐函数),(yxzz的极大值和极小值。.(7)八分将函数||2)(xxf在]1,1[上展开成傅里叶级数。解对)(xf作周期延拓，则0nb，1005)2(2dxxa12,)12(42,01)1(2cos)2(2221022knkknnxdxnxann共6页第4页22154()cos(21),[1,1]2(21)kfxkxxk.(7)九分计算曲线积分Lyxxdyydx)(222，其中L为圆周2)1(22yx的正向。解P与Q在D：2)1(22yx上的是O（0，0）无意义，因此P与Q在D内无一阶连续偏导数。作全含于D内的小圆)0(:2221yxL，L1取逆时针方向，由于22222)(2yxyxyPxQ在1LL围成的双连通域D'上恒成立，故取,sin,cos:1tytxLt从20，便有1122222200'11(sincos)22LDLLQPIdxdyttdtdtxy十.7分设函数)(xf在]1,0[区间上连续，且,1)(xf证明：方程02()1xxftdt在)1,0(内只有一个根。解令0()2()1xFxxftdt由],1,0[)(Cxf知],1,0[)(CxF又1100(0)10,(1)2()11()FFftdtftdt由于,1)(xf所以1100()1ftdtdt，于是0)1(F由连续函数介值定理：),1,0(使得0)(F，即证方程02()1xxftdt在)1,0(内有一个根若方程在（0，1）内有两个不同的实数根21,，设21。在],[21上，)(xF满足洛尔定理的条件，于是),,(21使得0)(F.但是，0)(2)(xfxF，矛盾。共6页第5页222222222222222222222222222222222111,.22,2222,2222,22222222uuuuxyzxyzxyzuyzxzyxxyyzzxuuxzyxyzzyxxuuzyxxyzxzyyuuyzxyzxyxzzuuuzyxzyxyz十一.7分设计算解0.x1234123412341,0,1222xxxxxxxxxxxx十二.5分求非齐次线性方程组的通解.共6页第6页1234242412241110021111111111000112100000112222.1,21.21,00,11010,.01010ARARAxxxxxxxxxx解得同解方程组分别取和得基础解系取得非00112212120.,,120XkkkkR齐次性性方程组的一个特解故原方程组的通解为