搜索
1眼科病床安排的评价和优化摘要医院就医排队是大家都非常熟悉的现象，它以这样或那样的形式出现在我们面前，例如，患者到门诊就诊、到收费处划价、到药房取药、到注射室打针、等待住院等，往往需要排队等待接受某种服务。在有限的病床资源下，病床的合理安排成为决定医院管理效率和病人满意度的主要因素。本文以某医院眼科病床为例，来解决病床的合理安排问题。住院看病难是我国民生建设的难题，其主要原因是医院可用病床数量少与病人排队等待时间长的矛盾。本文选取病床使用率、病人平均等待住院时间等指标，从病床的利用率和公平度出发，建立了合理安排病床的评价指标。通过数据分析和拟合检验，得到了病人的到达量和从手术到出院时间的分布。以最大化综合指标为目标，建立了随机规划模型，利用MonteCarlo模拟算法、HPF调度算法进行了求解。根据等待入院时间的分布，估计出了各类病人等待时间的最短置信区间。在周末不安排手术时，通过对术前准备时间的分析和仿真实验，确定了白内障手术应安排在周二、四。最后建立了以平均逗留时间最短的组合随机模型。在缩减了搜索空间后，用仿真方法得到了较优的病床分配方案。针对问题一，选取病床使用率、病人平均等待住院时间为指标，综合病床的利用率E和公平度Y，建立了合理安排病床的评价指标FEY。针对问题二，一方面，根据题中附录提供的数据，用SPSS和EXCEL进行数据分析和处理，作出病人的到达量和从手术到出院时间分布图，利用MATLAB软件进行拟合并计算出相关参数以及检验，发现病人的到达量和从手术到出院时间分别服从泊松分布和伽马分布；另一方面，以最大化综合指标为目标，建立了随机规划模型；并且，利用病人的到达量和从手术到出院时间的分布规律来产生MATLAB仿真数据，用MonteCarlo模拟算法、HPF调度算法对随机规划模型进行仿真求解。针对问题三，根据等待入院时间的分布数据，通过分布拟合及检验，发现非急诊病人等待入院的时间服从伽马分布，利用问题二中算法的仿真模拟，算出各类病人等待时间的置信上界和置信下界。估计出了各类病人等待时间的最短置信区间[10,16]。针对问题四，在周末不进行手术的前提下，对术前准备时间进行了分析，并把它统计成表。建立使病床安排最合理的非线性约束模型。再次利用仿真实验，得到三种方案下病床有效使用率、公平的、综合指数，得出周二、周四下安排白内障手术最优的结论。针对问题五，建立组合随机模型。以病人在系统内平均逗留时间最短为目标，用仿真方法合理的缩减搜索空间提高搜索效率，得到了病床分配方案。外伤、青光眼、白内障单眼、白内障双眼的分配病床数分别为14、29、21、6和9。论文的最后，对模型的优缺点进行了评价。关键词MonteCarlo模拟算法HPF调度算法拟合检验仿真2一、问题的重述医院就医排队是大家都非常熟悉的现象，它以这样或那样的形式出现在我们面前，例如，患者到门诊就诊、到收费处划价、到药房取药、到注射室打针、等待住院等，往往需要排队等待接受某种服务。我们考虑某医院眼科病床的合理安排的数学建模问题。该医院眼科门诊每天开放，住院部共有病床79张。该医院眼科手术主要分四大类：白内障、视网膜疾病、青光眼和外伤。附录中给出了2008年7月13日至2008年9月11日这段时间里各类病人的情况。白内障手术较简单，而且没有急症。目前该院是每周一、三做白内障手术，此类病人的术前准备时间只需1、2天。做两只眼的病人比做一只眼的要多一些，大约占到60%。如果要做双眼是周一先做一只，周三再做另一只。外伤疾病通常属于急症，病床有空时立即安排住院，住院后第二天便会安排手术。其他眼科疾病比较复杂，有各种不同情况，但大致住院以后2-3天内就可以接受手术，主要是术后的观察时间较长。这类疾病手术时间可根据需要安排，一般不安排在周一、周三。由于急症数量较少，建模时这些眼科疾病可不考虑急症。该医院眼科手术条件比较充分，在考虑病床安排时可不考虑手术条件的限制，但考虑到手术医生的安排问题，通常情况下白内障手术与其他眼科手术（急症除外）不安排在同一天做。当前该住院部对全体非急症病人是按照FCFS（Firstcome,Firstserve）规则安排住院，但等待住院病人队列却越来越长，医院方面希望你们能通过数学建模来帮助解决该住院部的病床合理安排问题，以提高对医院资源的有效利用。问题一：试分析确定合理的评价指标体系，用以评价该问题的病床安排模型的优劣。问题二：试就该住院部当前的情况，建立合理的病床安排模型，以根据已知的第二天拟出院病人数来确定第二天应该安排哪些病人住院。并对你们的模型利用问题一中的指标体系作出评价。问题三：作为病人，自然希望尽早知道自己大约何时能住院。能否根据当时住院病人及等待住院病人的统计情况，在病人门诊时即告知其大致入住时间区间。问题四：若该住院部周六、周日不安排手术，请你们重新回答问题二，医院的手术时间安排是否应作出相应调整。问题五：有人从便于管理的角度提出建议，在一般情形下，医院病床安排可采取使各类病人占用病床的比例大致固定的方案，试就此方案，建立使得所有病人在系统内的平均逗留时间（含等待入院及住院时间）最短的病床比例分配模型。二、问题的分析问题一中针对医院病床的管理问题，提出对病床合理安排模型的评测，我们经过对病床合理安排众多指标的分析筛选，对某一特定时间段利用病床的有效利用率和合理程度进行度量，算出一个公平度F，通过建立序数M和它的逆序数T(M)求得总指标Y，对现在医院病床安排模型作出合理性的评价。问题二权衡公平度和有效利用率，建立合理的病床安排模型尽量使有效利用率最大，以及病床浪费率最小，充分利用有限资源。问题三尽量减少排队等待时间，缩短排队队长。3问题四利用统计学原理对周六，周日不安排手术的情况，在FCFS调度方法下进行仿真模拟，得到病床的比例方案，如图7.考虑随机影响，使达到最接近最优解。问题五通过建立组合随机模型，采用缩减搜索空间的方法，限制分配比率上下浮动的范围，在FCFS调度方法下进行仿真模拟，得到病床的比率方案。三、模型的假设（1）所有病人都不会在入院后转院，非急诊病人都要服从医院的安排，愿意等待。（2）只考虑题目中的五类病人，不考虑其他病人。（3）不考虑医疗水平的提高和其他突发事件的影响。三、符号说明E病床的有效利用率F公平度Y总指标RP优先值F(x)伽玛分布函数S0k各种病人按比例分配的病床数四、模型的建立和求解4.1问题一模型的建立及求解对于病床安排系统的评价，常见的指标有很多。经过分析、归纳、筛选，病床的有效使用率和公平度来度量病床安排的合理程度。病床有效使用率：即使病床的使用中，但实际上仍可能处于浪费状态。因为对各类病人来说，术前的准备时间是一定的，但术前的准备时间往往过大，其差值就是浪费病床的天数，在一定时间段内，定义病床的有效使用率E为总人数入院病人住院总天数数入院病人浪费病床总天1E公平度：对于非急诊病人来说，绝对的公平就意味着先来先服务（FCFS）,也就是遵从“先来后到的原则”，插队是不公平的表现，因此可以用“插队人数”和“插队强度”来共同体现公平度。因此，引入线性代数中的逆序数来体现这一目标。考虑考察期t1到t2时段内的非急诊病人，将他们的住院时间按照门诊的先后时间排列，将得到的序列几位M，然后求出M的逆序数Т（M）。逆序数可以作为不公平度的量度，比如病人A1、A2、A3先后门诊，若他们的住院次序仍为A1、A2、A3，则逆序数为0，此时完全公平，若次序为A3、A2、A1，则逆序数为6，此时最不公平。显然逆序数越大，对病人越不公平。因此，公平度F定义为)'M(max)M(1F其中)'M(max为最不公平情况下的逆序数，可以认为是任意排列M中的元素（包括重复值），所能达到的最大逆序数。显然E、F的值都介于0-1之间。综4上定义考察期t1到t2时段内总指标为FEY其中α，β≥0，且α+β=1，α和β应根据E、F的范围和实际情况灵活确定。本文中α，β皆取0.5。4.2问题二模型的建立及求解既有的病床安排模型“对全体非急症病人是按照FCFS的规则，对急诊病人实行绝对优先的原则”安排病床。这是一种仅仅考虑了公平度而忽视了病床有效使用率的方法。从而造成了病床的浪费。另外一种极端是不考虑公平度，仅仅追求病床的有效使用率最大化。这会导致部分病人长时间处于系统之外而无法就医。实际上应该权衡这两个指标，建立更合理的病床安排模型，在保证一定公平度的同时降低病床浪费率。4.2.1到达量、从手术到出院时间的分布拟合根据历史数据，可以拟合出每一类病人的到达量、从手术到出院时间的概率分布，然后可以在手术安排、术前准备和排队规则等约束的基础上进行相关的仿真模拟。先后利用排队论中的常见分布函数对各类病人每天到达量、从手术到出院时间进行拟合，并通过相关的统计方法检验后，发现各类病人每天到达量、从手术到出院时间分别服从泊松分布、伽马分布，见表1。参数卡方分布K-S检验Fisher检验病类גּP值D-统计量P值P值白内障（单眼）1.0490.04810.04910.892白内障（双眼）1.0330.04310.0820.9870.986青光眼2.7870.0260.9990.9990.9990.852视网膜1.6390.17010.0660.9990.656外伤2.1800.0360.9980.0980.9300.8634.2.2病人到达量的概率分布各类病人到达量的实际值和理论分布如图1，通过图1可以发现各类病人到达数量和泊松分布比较吻合，其参数λ如表1所示。50.000.100.200.30XP(X)012345实际值理论分布白内障0.000.100.20XP(X)01234567实际值理论分布白内障双眼0.00.10.20.3XP(X)0124实际值理论分布青光眼0.000.100.20XP(X)01234567实际值理论分布视网膜0.00.10.20.3XP(X)0123实际值理论分布外伤疾病分别对样本进行卡方检验、Kolmogorov-Smirnov拟合优度检验，考虑到样本量较小，卡方检验、Kolmogorov-Smirnov拟合优度检验的准确度可能受到影响，故同时采用Fisher精确检验方法。从具体检验结果（如表1）可以发现，三种检验结果对应的p值都很大，说明了各类病人的到达量的确是服从泊松分布的。4.2.3病人从手术到出院时间的概率分布病人从手术到出院时间的计算，是根据题中附录中的数据，用出院时间减去第一次手术的时间的差值。将计算出的数据按疾病类型分类，作出的在同一坐标系上的折线图如下。6通过分析各类病人从手术到出院的时间折线图，发现样本数据的经验分布和伽马分布较为接近，伽马分布密度函数如下：10()()00xxexfxx其中，为尺度参数，为形状参数。伽马分布是常见的连续分布，在排队论中有广泛的应用。并且伽马分布也可用来很好的近似一些离散分布，只需如下定义：,3,2,1,)(1);;(/15.05.0kdxexkfxkk这样一来，就可以利用经典的伽马分布来描述病人从手术到出院时间。针对各类病人从手术到出院时间数据，用矩估计方法得到伽马分布的参数后，画出实际图与理论分布图，见图2，通过图2可以发现实际数据和理论分布是非常吻合的。伽马分布的具体参数、拟合优度检验结果如表2所示，通过检验，说明了各类病人从手术到出院时间的确是服从伽马分布。7分布参数卡方检验K-S检验Fisher检验病类ɑθP值D-统计量P值P值白内障（单眼）0.16717.4320.0310.0860.9990.841白内障（双眼）0.07269.0710.00910.1250.7811青光眼0.30926.1580.36410.1320.8410.931视网膜0.55318.3930.09410.0760.9910.98外伤0.55810.8160.12610.120.8450.91824681012140.00.20.40.6XP(X)实际值理论分布白内障246810121