简明线性代数课后答案1-2

1习题1.21．求行列式304503221中元素2和2的代数余子式.解:元素2的代数余子式为3104(1)003,而元素2的代数余子式为3234(1)2953.2．计算下列行列式:（1）abacaebdcddebfcfef;解:111111111abacaebdcddeabcdefbfcfef111002020abcdef1110204002abcdefabcdef.（2）xyxyyxyxxyxy.解:222222xyxyxyyxyyxyxxyxyxxyxyxyxy2200xyyxyxyxyx(22)xyxyxyx2233(22)()22xyxxyyxy.3．已知四阶行列式D中第三列元素依次为1,2,0,1,它们的余子式依次分别为5,3,7,4,求D的值.解:(1)52(3)0(7)1(4)15D.24．已知100120143A,求T|(4)(4)|IAIA.解:300|4|1206141IA,TT|(4)(4)||(4)||(4)|IAIAIAIA2|(4)|36IA.5．已知三阶矩阵A的行列式||2A,123211110B,求||ABA.解:|||()|||||ABAABIABI023220111102323222322423100.6．设1111222233334444xabcxabcxabcxabcA,1111222233334444yabcyabcyabcyabcB,且已知||4,||1AB,试求||AB.解:11111222223333344444222222||222222xyabcxyabcxyabcxyabcAB111112222233333444448xyabcxyabcxyabcxyabc8(||||)40AB7．计算下列行列式:（1）1111123413610141020;3解:111111111234012313610013614102001410111101230013001411110123100130001.（2）1234234134124123;解:123423413412412312340127028100710131234012700440043612340127160004400040.（3）2240413531232051;解:2240413531232051602104135701220516210712251806712330986339(72198)270.（4）2112401412104212.4解:2112401412104212211240143034001241433401241233201042232.8．解下列方程:（1）1104300102xxx;解:11011430(2)43102xxxxxx(2)[(1)(3)4]xxx2(2)(1)xx,原方程的解为1232,1xxx.（2）1111110111111xxxx.解:1111111111111111111111111xxxxxxxxxxx1111012202120001xxxx122(1)212001xxxx212(1)21xxx3(1)(3)xx,原方程的解为12343,1xxxx.59．计算下列行列式:（1）1231103112011230123(1)0nnnnnnnn;解:将第一行加于其余各行,得原式12310262(1)20032(1)2!000120000nnnnnnnnnn.（2）11223000000000000011111nnaaaaaaa;解:将前n列都加于最后一列,得原式112230000000000000011111naaaaaan11223110000000000(1)0000000nnnaaaaanaaa1(1)(1)nnnaa.6（3）12211000010000000001nnnxxxxaaaaxa.解一:按第1列展开12211000010000000001nnnnxxxDxaaaaxa1111000010000100(1)000100001nnnnxxxDax1nnxDa23221321nnnnnnnxDaxaxDxaaxa12121nnnnnxaxaxaxa.解二:作变换2112131,,,nncxccxccxc,得122101000010000000001()nnnxxDxPxaaaxa,其中12121()nnnnnPxxaxaxaxa.再按第1列展开,得111000100()(1)000001nnnxDPxxx12121()nnnnnPxxaxaxaxa.710．证明:（1）121211111111(1)111nniinaaaaaaa,其中120naaa;证明:左边行列式nD的第i列提取ia(1,2,,)in,得nD1211212111111111111nnnnaaaaaaaaaaa121121211111111111111niinnininniinaaaaaaaaaaa1211111010001niinnaaaaa111(1)nniiaaa.（2）cos100012cos100012cos000002cos100012cosnDcosn;8证明:将nD按最后一列展开,得11cos100012cos100012cos002cos0002cos100001nnnDD122cosnnDD,1cosD,222cos1cos2D.假设nk时,成立cosnDn,则当nk时,有122coskkkDDD2coscos(1)cos(2)kkcosk.由归纳原理即得所证.（3）222244441111abcdabcdabcd()()()()()()()abacadbcbdcdabcd.证明:作变换243rar,32rar,21rar,得222244441111abcdabcdabcd2224224224221111000bacadabbaccaddabbaccadda323232111()()()bacadabcdbabcacdad33223322()()()cbdbbacadacbacabdbadab2222()()()()()11bacadacbdbcbcbacabdbdbadab()()()()()()()bacadacbdbdcdcba()()()()()()()abacadbcbdcdabcd.