简谐振动的特点和定义

简谐振动的特点和定义【摘要】简谐振动是振动的墓础本文讨论了简谐振动的特点,简谐报动的定义以及普通物理力学中振动与理论力学中的微振动之间的关系。【关键词】简谐振动；单自由度线性振动；微振动【Abstract】Simpleharmonicoscillatorisconsideredthegraveofvibrationisdiscussedinthispaper,thecharacteristicsofsimpleharmonicoscillator,theharmonicsubmittedtomoveandthecommondefinitionofphysicalandmechanicalvibrationandtheoreticalmechanicsofmicrovibrationrelations.【Keywords】Simpleharmonicoscillator,Single-freedom-linear;Microvibration简谐振动是最简单也是最基本的振动形式,但它包含了振动的基本特征。一切复杂的振动根据傅里叶分析都可看成是由许多不同频率的简谐振动所组成。因此,简谐振动是振动的基础,学好简谐振动具有非常重要的意义。在普通物理学（力学）教材中,一般都是把振动系统看成‘完全弹性体”和项点”这两个模型所组成的弹簧振子,运用胡克定律和质点力学的知识来寻求物体的振动规律。当弹簧形变量为零时,振子处于稳定平衡位置,当振子对这一平衡位置有一足够小的位移二时,振子受到迫使它回到平衡位置的线性回复力：其运动微分方程为：式中,称为圆颇率。方程是一个二阶常系数线性齐次微分方程,其通解为：这就是简谐振动的运动方程,式中A为振幅,为初相位。以上的讨论清楚地表明了简谐振动具有以下几个特征:①物体在运动过程中存在着一个稳定平衡位置②物体偏离平衡位置时,它受到一个指向平衡位置的线性回复力作用③物体的加速度与位移成正比而反向④物体的位移是时间t的正弦或余弦函数。这四个特征是密切联系的,具有稳定平衡位置是物体作简谐振动的前提,一旦偏离稳定平衡位置物体立即受到一个线性回复力的作用,回复力与惯性的交互作用是产生简谐振动的条件,物体的加速度与位移成正比而反向,则是线性回复力的必然结果,物体的位移表达式既是简谐振动微分方程的解,又是简谐振动的运动学方程。单自由度机械振动系统绝不是只有弹簧振子一种,可以有多种形式的振动系统,如单摆、复摆、扭摆等等振动系统的回复力也不一定是弹簧的弹性力,如单摆中的回复力是重力的切向分力。还可以有比弹赞振子复杂得多的单自由度振动系统。但是,我们会清楚看到,所有单自由度机械振动系统的线性振动的运动方程,都可化成公式一的形式因此,我们对弹簧振子的讨论,实际上可适用于一般的单自由度机械振动系统。在常见的普通物理教科书中,简谐振动通常有3种不同的定义:A.是用物体所受的弹性力来定义。即凡物体在与位移大小成正比,方向与位移方向相反的力的作用下,在平衡位置附近的往复运动,称为简谐振动。B.用运用微分方程来定义,即凡是遵从微分程的运动称为简谐振动,是由系统性质决定的常数。C.用运动学方程来定义,即物体离开平衡位置的位移x随时间作余弦或正弦变化的运动称为简谐振动。前两种定义在机械振动范围内是完全等价的,它们确切地定义了“简谐振动”这种独特的运动当我们把“简谐振动”这一运动模型推广到力学以外的其它领域时,定义就显示出了它的优点,例如,由电感和电容组成的电路,根据电磁规律,电量口满足的微分方程是:因此,电量Q随时间作简谐振动对于这类运动,因为不属于力学范畴,也就不好用1式的弹性回复力来定义简谐振动,因此,从动力学来说,用3式徽分方程来定义简谐振动,十分确切便于推广,适用于更大范围。第3种定义,着眼于运动特征。但是,在随时间作余弦变化的强迫力作用下的稳定受迫振动规律,也同样是“位移力x随时间作余弦变化”,然而它不属于简谐振动,如果采用这种定义,为了避免混淆,应该联系简谐振动的三个特征量----的确定方式,连同4式一起作为简谐振动的完整定义。在研究非重复性的运动时,我们常常关心的是运动物体在某一时刻的速度、位移和加速度而在研究振动时,我们所关心的不只是某一时刻的运动状态,还特别注意一些能描绘运动重复性的特征,如重复一次所豁要的时间,振动物体所能达到的最大偏离等等。简谐振动表达式中是描述这些特征的个物理量。1.圆频率.从运动学看,振动系统的特征是运动具有周期性,当振动经过一周期T后,振动状态（由x和v表示）重复出现,即显然式中v是振动频率,w是v的倍,故称w为圆频率。w\v\T都是描述周期运动的物理量。从动力学看,弹黄振子的w为,力常数k和m都是反映振动系统的动力学性质的物理量,由振动系统所决定,故称w为振动系统的固有圆频率,其单位是rad·s-1.v\w\T3个量中只有1个量是独立的,它们都直接或间接地在时间上反映了振动的周期性。2．振幅A从可以看出,余弦函数的绝对值不能大于1,所以,物体的振动被限制在的范围内。从运动学看,振幅A表示振动的最大位移。从动力学看,对于一定的振动系统,系统的能量与振幅的平方成正比。弹性力是保守力。弹性力所作的功可以用弹性势能的变化来表示,我们取平衡点的弹性势能为零,则任意位置弹赞振子的弹性势能为,物体的动能,根据机械能守恒定律(忽略摩擦的作用),弹簧振子的总体械能守恒。当物体相对于平衡位置的距离为最大值时,其速度是零,即动能等于零,此时的势能就是它的总机械能,而其势能为,所以,,由此可以看出：振幅A与任一时刻的位移x和速度v的关系为:初始时刻(t=0)的位移x。和速度v。称为初始条件或运动的初值,振幅由振动的初值决定：如果已经知道振动系统的总机械能E,则可以直接由E来确定A,因此,不必过于强调振幅A必须由初始条件决定。3．位相(wt+a)和初位相a位相是描述振动状态的物理量,简谐振动的援动状态位置和速度,由表达式中的余弦函数的宗量(wt+a)决定,称为位相。初始时刻（t=0）的位相a称为初位相。初相决定振动的初始值,其关系式为从上两式消去t可得:如已知运动的初始值x。和v。,一般应从以上3式中选择2式才能确定初相a位相(wt+a)是一个和角度相当的量,单位用弧度表示,对于完整的周期,它的变化是由,用它来描述一个周期内不同时刻的振动状态,要比用连续变化的时间t方便得多,位相给出的物理图象也要清楚得多。在研究简谐振动时,知道了圆频率、振幅和初位相,就可以完全确定位移和时间的关系以及振动的速度。因此,圆频率w,振幅A和初位相a是描述简谐振动的个特征量,缺少其中任何一个就不能确定简谐振动的全貌。普通物理力学中的振动与理论力学中的微振劝之向有什么关系呢了两者之间有一些共同点即普物学力和理论学力中所研究的振动都是小振动,所建立起的运动微分方程都是线性微分方程,它们在建立性线微分方程时都有一个使方程线性化的过程。例如,在普物力学中研究单摆的运动时,可建立如下方程:为使方程线性化,将函数展开后代人原方程得由于是研究小振动,因此可略去以上的高次项,最后有这就是二个线性化了的运动微分方程。它们之间也有一些不同点普物力学中通常仅仅研究一维振动,而理论力学中却主要研究多维体系的振动间题。普物中是从力的观点出发去研究小振动,通过建立牛顿运动微分方程,然后把力或力矩所属这项函数展开,略去高次项后,使运动微分方程线性化的而理论力学是从能量观点出发研究小振动通过建立拉格朗口方程,然后把动能函数,和势能函数展开略去高次项使运动微分方程线性化的。简谐振动是理想的、心益的,但又是最基牢的振动、所以要重视掌握简谐振动的规律,要从受力分析人手,突出简谐振动的特点,拿握科学的定义、理解描述简谐振动的几个物理量和几种描述方法,就能透彻理解渝谐振动的规律。【参考文献】〔1〕桂禅英编，力学基础北京人民教育出版社1989〔2〕赵景元、王淑贤编，力学北京人民教育出版社,1980（3〕蔡泊派编大学物理力学教学研究北京北京大学出版社〔4〕缪钟英、罗启篡编力学向题讨论北京人民教育出版社