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场论（为什么要引入场论？）从科学、技术角度来考察地面沉降的在空间地分布和变化规律,为了揭示和探索这些规律，在我们的研究中就引入了场的概念。一、场1.场的概念数量场、矢量场稳定场、不稳定场2.数量场的等值面u（x,y,z）=c(c为常数)几何上表示一个曲面，称为数量场的等值面。3.矢量场的矢量线矢量线是一条曲线，在它上面的每一点处，场的矢量都位于该点处的切线上。已知矢量场A=A(x,y,z),怎样求出矢量线的方程？矢量线所满足的微分方程dxAx=dyAy=dzAz，解之，可得到矢量线族；再利用过M点这个条件，即可求出过M点的矢量线。二、数量场的方向导数和梯度1.方向导数在数量场中,数量u=u(M)的分布状况,可以借助等值面(线)来进行了解,但是这只能了解到数量u在场中的总的分布情况,是一种整体性的了解,而研究数量场的另外一个重要方面,就是还要对它作局部性的了解,即还要考察数量u在场中各个点处的领域内沿每一个方向得变化情况,为此引进方向导数的概念。(1)定义函数u（M）在点M0处沿ℓ方向的方向导数，记作∂u∂ℓ|M0∂u∂ℓ|M0=limM→M0u(M)−u(M0)M0M̅̅̅̅̅̅方向导数是函数u(M)在某一点处沿某一方向对距离的变化率。(2)方向导数的计算公式∂u∂ℓ=∂u∂xcosα+∂u∂ycosβ+∂u∂zcosγ2．梯度方向导数给我们解决了函数u（M）在给定点处某个方向的变化率问题。然而从场中的给定点出发，有无穷多个方向，函数u（M）沿其中的哪个方向其变化率最大呢，最大的变化率又是多少呢？这是在实际问题中常常要探讨的问题，为了解决这个问题引入了梯度概念。(1)梯度的定义。grad𝓊=G=∂u∂xi+∂u∂yj+∂u∂zk(2)梯度性质1）方向导数等于梯度在该方向上的投影。∂u∂ℓ=gradℓ𝓊2）数量场中每一点M处的梯度，垂直于过该点的等值面，且指向函数u（M）增大的方向。把数量场中每一点的梯度与场中之点一一对应起来，就得到一个矢量场，称为由此数量场产生的梯度场。（3）哈米尔顿（Hamilton）算子，矢性微分算子。∇≡i∂∂x+j∂∂y+k∂∂z(4)梯度运算的一些基本公式三、矢量场的通量和散度1.通量（1）通量的定义设有矢量场A(M),沿其中某一有向曲面S的曲面积分，Φ=∬AndS=∬A∙dSSS叫做矢量场A(M)向正侧穿过曲面S的通量。通量是可以叠加的。在直接坐标系中，设A=P(x,y,z)i+Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k又dS=dScos(n,x)i+dScos(n,y)j+dScos(n,z)k通量可写成Φ=∬A∙dSS=∬PdydzS+Qdxdz+Rdxdy(2)通量为正，为负，为零时的物理意义。2.散度在矢量场A（M）中，对于穿出闭曲面S的通量Φ，我们可以视其为正或为负得知S内有正源或负源。但仅此还不能了解源在S内的分布情况以及源的强弱程度等问题，为了研究此问题，我们引入矢量场的散度概念。（1）散度的定义divA=limΩ→MΔΦΔV=limΩ→M∯A∙dSSΔV散度divA为一数量，表示场中某一点处的通量对体积的变化率，也就是在该点处对于一个单位体积来说所穿出的通量，称为该点处源的强度。divA≡0表示无源场。（2）散度在直角坐标系中的表达式。散度的定义是与坐标系无关的。在直角坐标系中，矢量场A=P(x,y,z)i+Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k在任意一点M（x,y,z）处的散度为divA=∂P∂x+∂Q∂y+∂R∂zdivA=∇∙A(3)散度运算的基本公式。四、矢量场的环度和旋度1.环度（1）环量的定义设有矢量场A（M），则沿场中某一封闭的有向曲线l的曲线积分Γ=∮A∙dℓℓ叫做此矢量按所取方向沿曲线l的环量。在直角坐标系中环量可以写成Γ=∮A∙dℓℓ=∮pdxℓ+Qdy+Rdz(2)环量面密度2.旋度（1）旋度的定义rotA=(Ry−Qz)i+(Pz−Rx)j+(Qx−Py)k或rotA=||ijk∂∂x∂∂y∂∂zPQR||rotA=∇×A斯托克斯公式可写成如下的矢量形式：∮A∙dℓℓ=∬(rotA)∙dSs