矢量场的数学

11矢量场的数学§1矢量场的微分运算一、矢量代数和函数微分运算矢量有大小和方向，且满足矢量运算的法则。矢量代数运算的几个结果①BA标量②kBABAjBABAiBABABBBAAAkjixyyxxzxzyzzyzyxzyxˆ)(ˆ)(ˆ)(ˆˆˆBA③0AA④0)BA(A⑤）（）BA)(CB(ACACB⑥）（）（）BACCABCB(A多元函数微分运算的两个公式z)y,f(x,-z)zy,yx,f(xz)y,f(x,，⑦0)zy,,x(z,zfyyfxxfz)y,f(x,偏导数含义：看作常数将为变量仅以zydxdfxfx,,x,。⑧xyfyxf22，ABCCB22二、标量场和矢量场什么是场指在空间连续分布的某种客体。标量场z)y,T(x,：指每一点由一个标量给定的那种空间分布的客体。等值面(线)矢量场z)y,(x,f：指每一点由一个矢量给定的那种空间分布的客体。如电场、磁场、电流场、速度矢量场),,(zyxv等。矢量场的场线标量场和矢量场随时间的变化t)z,y,T(x,t)z,y,(x,f（tT，tf）或（22tT，22tf）标量场和矢量场随空间的变化某点的场与相邻点的场之间的关系三、标量场对空间的一阶微商——梯度标量场),,(zyxT对空间的微商zT,yT,xT，标量场T在场点P随空间的变化与方向有关，沿不同方向T对空间距离的微商不相同。证明T的三个分量微商构成一个矢量两个无限靠近的场点P1和P2，P1坐标为)z,y,x(，P2坐标为)zz,yy,xx(，ZXYP2),,(zzyyxxP1),,(zyxZXYT2T1P33连接P1P2的矢量为kˆzjˆyiˆxr，标量场T在P1P2两点的函数差)T(P-)T(PT12，是一个标量。zzTyyTxxT)T(P-)T(PT12，（1.1）根据两矢量点积为一标量可知zT,yT,xT构成一个矢量。梯度的定义zT,yT,xT称为T的梯度，记作gradT或T。kˆzTjˆyTiˆxTTgradT（1.2）哈密顿算符kˆzjˆyiˆx（1.3）是一个矢量微分算符，是表示场对空间微商的算符。算符本身也可以看作是一个矢量，在直角坐标系下：xx，yy，zz，（1.4）标量场T的梯度T是一个矢量场，代表T对空间的一阶微商，反映标量场T的空间分布状况。梯度的大小和方向xTT)(x，yTT)(y，zTT)(z，（1.5）44cosTTT)(，（是ˆ与T的夹角）上式的含意是T沿某方向ˆ对空间的变化率，就等于T的梯度T沿该方向的分量。对标量场任一点P，都有一个特定的方向ˆ（对应1cos），沿着此方向ˆ的变化率T是最大的，此最大值就是该P点梯度T的大小；此特定方向ˆ就是梯度T矢量的方向。梯度T给出某点的场与其相邻点的场之间的关系rTzzTyyTxxTT（1.6）四、矢量场对空间的一阶微商矢量场对空间的微商两种基本方式：f标量场，f矢量场f的散度：f是一个标量场。记作的散度fffdiv。zfyfxfffffzyxzzyyxx（1.7）散度的意义：一般来说是指矢量场在该点的“发散程度”，也就是从该点发出或会聚的场线条数的多少。散度是一个标量，正值代表从场点发散，负值代表汇聚。f的旋度：f是一个矢量场。lˆTT2T1P等值线差值T2-T1趋于零55记作的旋度fffrot。yzzyxff)f(zxxzyff)f(（1.8）xyyxzff)f(旋度的意义：一般来说是指矢量场在该点处的“涡旋程度”，就是环绕该点的闭合场线条数密度的大小。标量场和矢量场对空间求微商小结哈密顿算符，kˆzjˆyiˆxTTgradT的梯度（矢量）的散度fffdiv（标量）的旋度fffrot（矢量）麦克斯韦方程组：cD，0B，tBE，cjtDH，五、对空间的二阶微商求二阶微商分为五种情况：1）)T(，2）)T(，3）)f(，4）)f(，5）)f(。1）)T()kˆTjˆTiˆT()kˆjˆiˆ()T(zyxzyx66)TT(T)(zzyyxx（）zTyTxT222222标量TT)(TT)(2zTyTxT222222标量拉普拉斯算符：zyx2222222。2）)T(=0(重要恒等式)0T)(TT)(0xTyyTxT)(T)(T)]([xyyxz数学定理1.1如果一个矢量场A，它的旋度恒为零，0A，则始终存在某一个标量场，或者说就有一个标量场，使得A。3）)f(=0(重要恒等式)数学定理1.2如果一个矢量场B，它的散度恒为零，0B，则始终存在某一个矢量场，或者说就有一个矢量场A，使得AB。4）)f(=矢量5）)f(=矢量77§2矢量场的积分运算一、梯度T的线积分线积分的定义：函数G从P1到P2沿着路径L的线积分为，ii0PPGlimd)z,y,x(Gi21（2.1）梯度的线积分：任取一条路径L连接P1和P2，将L分割成无穷多线元。对于任一线元，TT，TlimTlim00ll)()(Tlim12021PTPTdTPP21Tlim0PPldT数学定理2.1梯度的线积分等于场在过程起点和终点的数值之差。21PP12dT)T(P-)T(P（2.2）0LldT（等价的表达）二、矢量场的通量矢量场通量的定义矢量的法向分量在曲面上的面积分。SnSdSfSdf（2.3）P1),,(zyxGiiP2iL88任取一体积V，其表面积为S。V1的表面积为S1=S1a+S1ab，V2的表面积为S2=S2b+S2ab。11ab1aSSSSdfSdfSdf22ab2bSSSSdfSdfSdf2ab1abSSSdfSdf21SSSSdfSdfSdf（2.4）数学定理2.2通过体积V外表面S的通量，等于S内包含的所有各个部分小体积dV外表面的通量之和。如V分割成许多小立方体0V。SdfVSS0V表面的通量小立方体内三、对小立方体表面的通量计算对六个正方形面元的通量之和对1、2面的通量：zyxxfzy(1)]f-(2)[fzyiˆ)2(fzy)iˆ()1(fxxx同理对3、4和5、6面的通量：zyxyfy，zyxzfz，对小立方体表面的通量：ZXY21)2(fX)1(f3456iˆiˆ-xyzV1V2S1aS2bS1abS2abV，S99Vfzyx)zfyfxf(zyx（2.5）对小立方体表面的通量等于该点的散度与小立方体体积的乘积。dVfSlimV0小立方体的通量内V（2.6）一般矢量场的高斯定理对任一闭合曲面S的通量，等于在V内该矢量的散度的体积分。dVfSdfVS（2.7）散度的定义式V)(SdflimfdivS0V小立方体的通量f（2.8）散度的含义：P点散度等于该点单位体积小立方体表面的通量。四、矢量场的环流（环量）矢量场环流（环量）定义：矢量f切向分量沿闭合曲线L的线积分。LLdfdf环量（2.9）任取一闭合回路L，现以曲线段Lab将L分割为L1和L2两个回路，其中L1=L1a+L1ab，L2=L2b+L2ab.11ab1aLLLdfdfdf22ab2bLLLdfdfdfL1L2L1aL2bL1abL2abL，S10102ab1abLLdfdf前两式相加可得：12LLLdfdfdf（2.10）数学定理2.3矢量场对回路L的环量，等于对该回路L内包含的所有无穷小正方形回路的环量之和。小正方形的环量内0SLLdf(2.11)五、对小正方形的环流（环量）计算小正方形回路的环量取小正方形的绕向与Z轴构成右手螺旋关系，Z轴正方向也就是小正方形面元法线的正方向。y)jˆ()4(fx)iˆ()3(fyjˆ(2)fxiˆ)1(fy)]4(f)2(f[x(3)]f)1(f[yyxxyx)yf-xf(yxxfyxyfxyyxS)f(z小正方形回路的环量S)f(nS)f(（2.12）Sd)f(LlimS0小正方形的环量内S（2.13）一般矢量场的斯托克斯定理矢量场对任一闭合回路L的环量，等于以回路L为边界的任一曲面S上矢量场旋度的通量。Sd)f(dfSL（2.15）ZXY21)3(fX)1(f34iˆiˆ-xyP1111旋度的定义式S)ˆ(dflim)()f(rotL0Sn的小正方形的环量垂直于nfn旋度的含义：P点的旋度沿某方向的分量，等于P点附近垂直该方向的单位面积小正方形的环量。旋度的大小和方向（和梯度对比）在矢量场某一点上，计算单位面积小正方形的环量，当此环量取最大值时，小正方形面元法线方向就是该点旋度的方向，此环量的最大值就是该点旋度的大小。1212总结1.矢量微分算符（哈密顿算符）kˆzjˆyiˆxxx，yy，zz2.标量场梯度的线积分21PP12dT)T(P-)T(P引申：0d)T(L→0Sd)]T([S→0)T(（矢量恒等式）旋度为零的矢量场，可表述为一标量场（即标量势函数）的梯度。3.矢量场的高斯定理dVfSdfVS4.矢量场的斯托克斯定理Sd)f(dfSL引申：0Sd)f(S→0dV)f(V1313→0)f(（矢量恒等式）散度为零的矢量场，可表述为一矢量场（即矢量势函数）的旋度。