算术平均数与几何平均数--2008年河南省高中数学优质课课件及教案6

《算术平均数与几何平均数》焦作市第十一中学郭振东【教学目标】（1）知识目标使学生能准确表达两个重要不等式；理解它们成立的条件和意义；能正确运用算术平均数与几何平均数定理求最值.（2）能力目标通过对实例的分析和提炼培养学生的观察、分析和抽象、概括能力；通过师生间的合作交流提高学生的数学表达和逻辑思维能力.（3）情感目标让学生经历知识的发生、发展、应用的全过程，鼓励学生在学习中勤于思考，积极探索；通过去伪存真的学习过程培养学生批判质疑的理性思维和锲而不舍追求真理的精神.【教学重点】两个正数的算术平均数与几何平均数定理及应用定理求最值.【教学难点】在求最值时如何正确运用定理.【教学过程】Ⅰ.引言：某人中秋节到超市买两斤糖果，不巧超市的电子秤坏了，但超市还有一个不等臂的坏天平，于是售货员先把糖果放在天平的左侧称出“一斤”，再拿出一些糖果放在天平的右侧称出“一斤”，然后把两次称出的糖果合在一起给了他，并且解释:“一边多一边少，加在一起就正好.”这种称法准确么？如果不准确，那么是称多了还是称少了？【分析】设天平左右两侧力臂长分别为1l、2l，两次称得的糖果实际重量为x、y则：12xll，12lyl，∴2112llxyll这个数比2大还是小呢？有没有好的解决方法？请同学们阅读课本第9，10页算术平均数与几何平均数一节的正文及例1，看看能否在课本中找到答案。同时思考以下问题：问题1.糖果给多了还是少了？你用什么知识解决了这个问题？如何解决的？问题2.除定理外还有一个重要不等式，内容是什么？它与定理有哪些相同点和不同点？问题3.认真分析例1及其证明过程，你能得到什么启示？Ⅱ.阅读课文，找寻答案学生阅读课本后回答问题1和问题2，引出本节知识一．两重要不等式如果,abR那么222abab≥（当且仅当ab时取“=”号）.定理如果,ab是正数，那么2abab≥（当且仅当ab时取“=”号）.想一想：“当且仅当”的含义是什么？介绍2ab叫做a、b的算术平均数，ab叫做a、b的几何平均数.数列解释：两个正数的等差中项不小于它们的正项等比中项.Ⅲ.例题精析,去伪存真二．定理应用例1．已知,xy都是正数，求证：（1）如果积xy是定值P，那么当xy时，和xy有最小值2P；（2）如果和xy是定值S，那么当xy时，积xy有最大值214S.回答问题3，得出：1.利用定理可以求解最值问题；2.利用定理可以求解：和一定求积的最值；积一定求和的最值.3.利用定理求最值应满足：一正二定三相等.指出“一正”即满足定理成立的条件；“二定”即求和的最小值则积应为定值，求积的最大值则和应为定值；“三相等”即要保证求出的最值可以取到.三个条件在利用定理求最值时缺一不可.练习1.(1)已知0x，当x取什么值时,2281xx的值最小，最小值是多少？(2)已知02x，当x取什么值时,(2)xx的值最大，最大值是多少？投影学生的解题过程，让其他学生分析是否完整，并思考这两个问题是否还有其他解法（第一个小题还可以套用第一个重要不等式；第二小题可以利用一元二次函数的最值求法）.练习2.下列问题的解法是否正确，如果错误请指出错误原因.（1）求函数1yxx(0)x的值域.解：1122yxxxx≥12.yxx函数的值域为，（2）求函数3(32),02yxxx，的最大值.解：302x320x32yxx≤22323()(),22xxx函数没有最大值.（3）求函数22144yxx的最小值.解：22140,04xx22144yxx≥221242,4xx函数的最小值为2.带领学生分析：练习1错误原因:忽略了自变量取负值的情况；练习2错误原因:不满足和(32)xx为定值；练习3错误原因:22144xx不可能成立.并且给出第（1）（2）小题的正确解法.再次强调“一正”即满足定理成立的条件；“二定”即求和的最小值则积应为定值，求积的最大值则和应为定值；“三相等”即要保证求出的最值可以取到。三个条件在利用定理求最值时要同时满足，缺一不可.Ⅳ.归纳小结,课堂延伸要求学生回顾本节课的内容，谈谈有哪些收获，然后教师总结1.两个重要不等式的内容及成立条件是什么？2.利用定理求最值应满足的条件有哪些？含义是什么？作业：书面作业：课本12页第5、6、7题.拓展作业：借助互联网了解算术平均数与几何平均数的实际应用；了解股市大盘指数的含义.