机械振动学复习试题

K2IK1K3Kt1Kt2I1Kt3I2I3I1Kt4（一）一、填空题（本题15分，每空1分）1、不同情况进行分类，振动(系统)大致可分成，（）和非线性振动；确定振动和（）；（）和强迫振动；周期振动和（）；（）和离散系统。2、在离散系统中，弹性元件储存()，惯性元件储存（），()元件耗散能量。3、周期运动的最简单形式是（），它是时间的单一（）或（）函数。4、叠加原理是分析（）的振动性质的基础。5、系统的固有频率是系统（）的频率，它只与系统的（）和（）有关，与系统受到的激励无关。二、简答题（本题40分，每小题10分）1、简述机械振动的定义和系统发生振动的原因。（10分）2、简述振动系统的实际阻尼、临界阻尼、阻尼比的联系与区别。（10分）3、共振具体指的是振动系统在什么状态下振动？简述其能量集聚过程？（10分）4、多自由系统振动的振型指的是什么？（10分）三、计算题（本题30分）1、求图1系统固有频率。（10分）2、图2所示为3自由度无阻尼振动系统。(1)列写系统自由振动微分方程式（含质量矩阵、刚度矩阵）（10分）；(2)设1234ttttkkkkk，123/5IIII，求系统固有频率（10分）。解：1)以静平衡位置为原点，设123,,III的位移123,,为广义坐标，画出123,,III隔离体，根据牛顿第二定律得到运动微分方程：1111212222213233333243()0()()0()0ttttttIkkIkkIkk图1图2所以：12312222333340010000050;0000102101210012ttttttttttIMIIIkkkKkkkkkkkk系统运动微分方程可写为：1122330MK…………(a)或者采用能量法：系统的动能和势能分别为222112233111222TEIII222211212323431111()()2222ttttUkkkk222121232343212323111()()()222ttttttttkkkkkkkk求偏导也可以得到,MK。2)设系统固有振动的解为：112233cosuutu，代入（a）可得：1223()0uKMuu…………(b)得到频率方程：222220()25002kIkkkIkkkI即：222422()(2)(5122)0kIIkIk解得：2626()5kI和22kI所以：123626626()2()55kkkImI…………(c)将（c）代入（b）可得：10-1-0.22111.82111236262()056262()50562602()5kkIkIukkkIkuIukkkII和1232202250022kkIkIukkkIkuIukkkII解得：112131::1:1.82:1uuu；122232::1:0:1uuu；132333::1:0.22:1uuu；令31u，得到系统的三阶振型如图：四、证明题（本题15分）对振动系统的任一位移{}x，证明Rayleigh商{}[]{}(){}[]{}TTxKxRxxMx满足221()nRx。这里，[]K和[]M分别是系统的刚度矩阵和质量矩阵，1和n分别是系统的最低和最高固有频率。(提示：用展开定理1122{}{}{}......{}nnxyuyuyu)‘证明：对系统的任一位移{x}，Rayleigh商}]{[}{}]{[}{)(xMxxKxxRTT满足221)(nxR这里，[K]和[M]分别是系统的刚度矩阵和质量矩阵，1和n分别为系统的最低和最高固有频率。证明：对振动系统的任意位移{x},由展开定理，{x}可按n个彼此正交的正规化固有振型展开：()1{}{}[]{}niiixyuuy其中：[u]为振型矩阵，{c}为展开系数构成的列向量：12{}{,,...,}Tnyyyy所以：{}[]{}{}[][][]{}(){}[]{}{}[][][]{}TTTTTTxKxyuKuyRxxMxyuMuy由于：212100[][][]0000100[][][]0000TTnuMuuKu因此：21200{}00{}00{}[][][]{}(){}[][][]{}100{}00{}001TTTnTTTyyyuKuyRxyuMuyyy222222112222212......nnnyyyyyy由于：22212...n所以：22221112211()nniniiinniiiiyyRxyy即：221)(nxR证毕。（二）一、填空题（本题15分，1空1分）1、机械振动是指机械或结构在（静平衡）附近的（弹性往复）运动。2、按不同情况进行分类，振动系统大致可分成，线性振动和（非线性振动）；确定性振动和随机振动；自由振动和和（强迫振动）；周期振动和（非周期振动）；（连续系统）和离散系统。3、(惯性)元件、(弹性)元件、(阻尼)元件是离散振动系统的三个最基本元素。4、叠加原理是分析(线性振动系统)的振动性质的基础。5、研究随机振动的方法是（统计方法），工程上常见的随机过程的数字特征有：（均值），（方差），（自相关）和互相关函数。6、系统的无阻尼固有频率只与系统的（质量）和（刚度）有关，与系统受到的激励无关。二、简答题（本题40分，每小题5分）1、简述确定性振动和随机振动的区别，并举例说明。答：确定性振动的物理描述量可以预测；随机振动的物理描述量不能预测。比如：单摆振动是确定性振动，汽车在路面行驶时的上下振动是随机振动。2、简述简谐振动周期、频率和角频率（圆频率）之间的关系。答：21Tf，其中T是周期、是角频率（圆频率），f是频率。3、简述无阻尼固有频率和阻尼固有频率的联系，最好用关系式说明。答：21dn，其中d是阻尼固有频率，n是无阻尼固有频率，是阻尼比。4、简述非周期强迫振动的处理方法。答：1)先求系统的脉冲响应函数，然后采用卷积积分方法，求得系统在外加激励下的响应；2)如果系统的激励满足傅里叶变换条件，且初始条件为0，可以采用傅里叶变换的方法，求得系统的频响函数，求得系统在频域的响应，然后再做傅里叶逆变换，求得系统的时域响应；3)如果系统的激励满足拉普拉斯变换条件，且初始条件不为0，可以采用拉普拉斯变换的方法，求得系统的频响函数，求得系统在频域的响应，然后再做拉普拉斯逆变换，求得系统的时域响应；5、什么是共振，并从能量角度简述共振的形成过程。答：当系统的外加激励与系统的固有频率接近时候，系统发生共振；共振过程中，外加激励的能量被系统吸收，系统的振幅逐渐加大。6、简述刚度矩阵[K]的元素,ijk的意义。答：如果系统的第j个自由度沿其坐标正方向有一个单位位移，其余各个自由度的位移保持为零，为保持系统这种变形状态需要在各个自由度施加外力，其中在第i个自由度上施加的外力就是kij。7、简述线性变换[U]矩阵的意义，并说明振型和[U]的关系。答：线性变换[U]矩阵是系统解藕的变换矩阵；[U]矩阵的每列是对应阶的振型。8、简述线性系统在振动过程中动能和势能之间的关系。答：线性系统在振动过程中动能和势能相互转换，如果没有阻尼，系统的动能和势能之和为常数。三、计算题（本题45分）1、设有两个刚度分别为1k，2k的线性弹簧如图1，计算它们并联时和串联时的总刚度eqk。(5分)图1图2图32、一质量为m、转动惯量为I的圆柱体作自由纯滚动，圆心受到一弹簧k约束，如图2所示，求系统的固有频率。(15分)3、求如图3所示的三自由度弹簧质量系统的固有频率和振型。(25分)（设13;mmm22;mm14;kkk232;kkk563;kkk）1.解：1)对系统施加力P，则两个弹簧的变形相同为x，但受力不同，分别为：1122PkxPkx由力的平衡有：1212()PPPkkx故等效刚度为：12eqPkkkx2)对系统施加力P，则两个弹簧的变形为：1122PxkPxk，弹簧的总变形为：121211()xxxPkk故等效刚度为：12211211eqkkPkxkkkk2.解：取圆柱体的转角为坐标，逆时针为正，静平衡位置时0，则当m有转角时，系统有：2222111()()222TEImrImr21()2Ukr由()0TdEU可知：22()0Imrkr即：22/()nkrImr（rad/s）3．解：以静平衡位置为原点，设123,,mmm的位移123,,xxx为广义坐标，系统的动能和势能分别为222112233111222TEmxmxmx22222112123234356211111()()()22222Ukxkxxkxxkxkkx22212123562343212323111()()()222Ukkxkkkkxkkxkxxkxx求偏导得到：1231222235633340010000020;00001032021020023mMmmmkkkKkkkkkkkkkk得到系统的广义特征值问题方程：1223()0uKMuu和频率方程：2222320()210220023kmkkkmkkkm即：222422()(3)(21622)0kmmkmk解得：2(45)km和23km所以：123(45)3(45)kkkmmm将频率代入广义特征值问题方程解得：112131::1:0.618:1uuu；122232::1:0:1uuu；132333::0.618:1:0.618uuu；（三）一、填空题（本题15分，每空1分）1、机械振动大致可分成为：（）和非线性振动；确定性振动和（）；（）和强迫振动。2、在离散系统中，弹性元件储存()，惯性元件储存（），（）元件耗散能量。3、周期运动的最简单形式是（），它是时间的单一（）或（）函数。4、叠加原理是分析（）系统的基础。5、系统固有频率主要与系统的（）和（）有关，与系统受到的激励无关。6、系统的脉冲响应函数和（）函数是一对傅里叶变换对，和（）函数是一对拉普拉斯变换对。7、机械振动是指机械或结构在平衡位置附近的（）运动。答案：1、线性振动；随机振动；自由振动；2、势能；动能；阻尼3、简谐运动；正弦；余弦4、线性5、刚度；质量6、频响函数；传递函数7、往复弹性二、简答题（本题40分，每小题10分）1、简述振动系统的实际阻尼、临界阻尼、阻尼比的联系与区别。（10分）答：实际阻尼是度量系统消耗能量的能力的物理量，阻尼系数c是度量阻尼的量；临界阻尼是c2enm；阻尼比是/ecc2、共振具体指的是振动系统在什么状态下振动？简述其能量集聚过程？（10分）答：共振是指系统的外加激励与系统的固有频率接近时发生的振动；共振过程中，外加激励的能量被系统吸收，系统的振幅