海南大学2014-2015概率期末练习题

期末练习题一、选择题（选择正确答案的编号，填在各题的括号内）1、设当事件A，B同时发生时，事件C必定发生，则（）成立.A、)()(ABPCPB、)()(CPABPC、)()(ABPCPD、()()PCPAB2、设随机变量)3,1(~2NX，则52XY服从下列哪种分布（）.A、)36,7(~NYB、)6,7(~NYC、)9,1(~NYD、)36,2(~NY3、每次试验的成功率为)10(pp，则在3次独立重复试验中至少成功一次概率为（）.A、2)1(pB、21pC、)1(3pD、3)1(1p4、设X，Y相互独立，()1,()9DXDY则)23(YXD为（）.A、45B、21C、15D、185、已知22~(1),~(6)XY,且X与Y相互独立，则YX服从（）分布.A、)3(2B、)4(2C、)7(2D、)1(26、设随机变量与Y独立同分布，且X的分布函数为()Fx，则max{,}ZXY的分布函数为（）.A、2()FxB、()()FxFyC、21[1()]FxD、[1()][1()]FxFy二、填空题：在以下各小题中画有_______处填上答案.1、设()0.4,()0.7PAPAB，（1）若事件BA,互不相容，则()PB,（2）若事件BA,相互独立，则()PB.2、设X表示某班（40人）上概率课时认真听课的人数，假设每个人认真听课的概率为0.8，，2()EX.3、随机变量X的概率密度为2(3)41()e()2xfxx，则Y~(0,1)N.4、设()25DX，()36DY，0.4XY，则()DXY.5、设总体)1,0(~NX，)3(,,,21nXXXn为来自总体X的样本，则12221nnXXX服从分布.6、设随机变量X的数学期望()EX，方差2()DX，则由切比雪夫不等式有估计概率(3)PX.7、设1216,,,XXX是来自总体2(2,)XN的样本，其样本均值为161116iiXX，则48X服从分布.8、2~()Xn，则()EX=，()DX=.9、设12,,,nXXX独立同分布，且2(),(),1,2,,iiEXDXin，则对任意,abR，当n充分大，由独立同分布下的中心极限定理，有1{}niiPaXb.10、设测量的随机误差X在[2，5]上服从均匀分布，现对X进行三次独立测量，则至少有两次测量误差大于3的概率为.三、计算题1、甲、乙、丙三个工厂生产了一批同样规格的零件，把甲、乙、丙三个工厂生产的零件都混和放在一个仓库中，它们的产量分别占总产量的20%，40%，40%，已知甲产生产的零件中次品率为5%，乙产生产的零件中次品率为4%，丙产生产的零件中次品率为3%.现从该仓库中任取一个零件。问（1）该零件是次品的概率是多少？得分阅卷教师（2）若取得的这个零件是次品的条件下，求这个次品是属于甲厂生产的概率是多少？2、已知随机向量),(YX的联合概率密度为e,0(,)0,yxyfxy其它，（1）求随机变量YX,的概率密度)(),(yfxfYX（2）判定随机变量XY和是否独立？3、已知,23,21),4,0(~),3,1(~22YXZNYNXXY求（1）(),();EZDZ（2）XZ.4、设随机变量X和Y相互独立，且X在区间(0,1)上服从均匀分布，Y服从参数为1的指数分布，求YXZ的密度函数.5、设总体X的概率密度函数为(1),01(,)0,xxfx其他，1是未知参数，求的矩估计量和最大似然估计量.6、设随机变量X的概率密度为2,01()0,Axxfx其他，试求（1）系数A；(2)若lnYx，求()Yfy.7、设总体X的分布律为X123kp22(1)2(1)其中(01)是未知参数，已知取得样本1231,2,3XXX，求的矩估计值和最大似然估计值.8、二维随机变量(,)XY在矩形域{(x,y)02,01}Dxy上服从均匀分布，记0,0,2,1,1,2XYXYUVXYXY.（1）求U和V的联合分布律；（2）U和V的联合分布函数.期末练习题参考答案一、选择题（选择正确答案的编号，填在各题的括号内）1、设当事件A，B同时发生时，事件C必定发生，则（B）成立.A、)()(ABPCPB、)()(CPABPC、)()(ABPCPD、()()PCPAB2、设随机变量)3,1(~2NX，则52XY服从下列哪种分布（A）.A、)36,7(~NYB、)6,7(~NYC、)9,1(~NYD、)36,2(~NY3、每次试验的成功率为)10(pp，则在3次独立重复试验中至少成功一次概率为（D）.A、2)1(pB、21pC、)1(3pD、3)1(1p4、设X，Y相互独立，()1,()9DXDY则)23(YXD为（A）.A、45B、21C、15D、185、已知22~(1),~(6)XY,且X与Y相互独立，则YX服从（C）分布.A、)3(2B、)4(2C、)7(2D、)1(26、设随机变量与Y独立同分布，且X的分布函数为()Fx，则max{,}ZXY的分布函数为（A）.A、2()FxB、()()FxFyC、21[1()]FxD、[1()][1()]FxFy二、填空题：在以下各小题中画有_______处填上答案.1、设()0.4,()0.7PAPAB，（1）若事件BA,互不相容，则()PB0.3,（2）若事件BA,相互独立，则()PB0.5.2、设X表示某班（40人）上概率课时认真听课的人数，假设每个人认真听课的概率为0.8，，2()EX.1030.43、随机变量X的概率密度为2(3)41()e()2xfxx，则Y2(3)2X~(0,1)N.4、设()25DX，()36DY，0.4XY，则()DXY37。5、设总体)1,0(~NX，)3(,,,21nXXXn为来自总体X的样本，则12221nnXXX服从分布.(1)tn6、设随机变量X的数学期望()EX，方差2()DX，则由切比雪夫不等式有估计概率(3)PX.197、设1216,,,XXX是来自总体2(2,)XN的样本，其样本均值为161116iiXX，则48X服从分布.(0,1)N8、2~()Xn，则()EX=，()DX=.,2nn9、设12,,,nXXX独立同分布，且2(),(),1,2,,iiEXDXin，则对任意,abR，当n充分大，由独立同分布下的中心极限定理，有1{}niiPaXb.()()bnannn10、设测量的随机误差X在[2，5]上服从均匀分布，现对X进行三次独立测量，则至少有两次测量误差大于3的概率为.2027三、计算题（每小题10分，共70分）1、甲、乙、丙三个工厂生产了一批同样规格的零件，把甲、乙、丙三个工厂生产的零件都混和放在一个仓库中，它们的产量分别占总产量的20%，40%，40%，得分阅卷教师已知甲产生产的零件中次品率为5%，乙产生产的零件中次品率为4%，丙产生产的零件中次品率为3%.现从该仓库中任取一个零件。问（1）该零件是次品的概率是多少？（2）若取得的这个零件是次品的条件下，求这个次品是属于甲厂生产的概率是多少？解：以A，B，C分别表示甲、乙、丙厂生产的零件，D表示取得的零件是次品.（1）由全概率公式038.003.04.004.04.005.02.0)()()()()()()(CDPCPBDPBPADPAPDP（2）由贝叶斯公式125.0038.005.02.0)()()()()()(DPADPAPDPADPDAP2、已知随机向量),(YX的联合概率密度为e,0(,)0,yxyfxy其它，（1）求随机变量YX,的概率密度)(),(yfxfYX（2）判定随机变量XY和是否独立？解：ede,0()(,)d0,0yxxXyxfxfxyyx0ede,0()(,)d0,0yyyYxyyfyfxyxyee,0,00,()()xyXYyxyfxfy其他,(,)()()XYfxyfxfy不独立。YX,3、已知,23,21),4,0(~),3,1(~22YXZNYNXXY求（1）(),();EZDZ（2）XZ.解：由已知分布知道，()1,()9,()0,()16EXDXEYDY111()()()(),32323111111()()()2cov(,)14()433943232XYEZEEXEYDZDXDYXY11cov(,)cov(,)cov(,)cov(,)3232111()()3403220XZXYXZXXXXYDX4、设随机变量X和Y相互独立，且X在区间(0,1)上服从均匀分布，Y服从参数为1的指数分布，求YXZ的密度函数.解：1,01()0,Xxfx其他，e,0()0,yYyfy其他10()()()()dZXYYfzfxfzxdxfzxx令zxt1()()dzZYzfzftt01100ed1e01edee1zyzzyzzzzyztz5、设总体X的概率密度函数为(1),01(,)0,xxfx其他，1是未知参数，求的矩估计量和最大似然估计量.解（1）总体X的数学期望为1101()()(1)2EXxfxdxxdx令12X，得参数的矩估计量为21ˆ1XX.（2）设12,,nxxx是相应于样本12,,nXXX的一组观测值，则似然函数为1()(1),01(1,2,)nniiiLxxin且1lnln(1)lnniiLnx令1lnln01niidLnxd，得的极大似然估计值为1ˆ1lnniinx.从而的极大似然估计量为1ˆ1lnniinX.6、设随机变量X的概率密度为2,01()0,Axxfx其他，试求（1）系数A；(2)若lnYx，求()Yfy.解：由题意，有（1）101()d2dfxxAxxA所以随机变量X的概率密度为2,01()0,xxfx其他.（2）（公式法）①由lnYX，有()ln,ygxx1()0,01ygxxx②由()ln,ygxx有()e,yxhy且(0),(1)0gg③由公式2[()]()2ee2e,0()00yyyXYfhyhyyfyy，（分布函数法）①{}{ln}YFyPYyPXy（）ee2000e=()d2de,01,1yyyyXPXfxxxxyy②22e,000yYYyfyFyy（）（）=，7、设总体X的分布律为X123kp22(1)2(1)其中(01)是未知参数，已知取得样本1231,2,3XXX，求的矩估计值和最大似然估计值。解1231()23xxxx（1）221()122(1)3(1)23EX所以132故的矩估计量3ˆ2X，的矩估计值31ˆ22x.（2）似然函数32233i1(){}=2(1)(1)2(1)iLPXx对数似然函数ln()ln2+3ln3ln(1)L令dln()3