算法初步统计与概率》试题别解与感悟

1《算法初步、统计与概率》试题别解与感悟1．（广东，理6，文7）图1是某县参加2007年高考的学生身高条形统计图，从左到右的各条形表示的学生人数依次记为1210AAA，，，（如2A表示身高（单位：cm）在150155，内的学生人数）．图2是统计图1中身高在一定范围内学生人数的一个算法流程图．现要统计身高在160～180cm（含160cm，不含180cm）的学生人数，那么在流程图中的判断框内应填写的条件是（）Ａ．6iＢ．7iＣ．8iＤ．9i解答途径：身高在160～180cm的学生人数4567SAAAA，判断框内需填写循环的终止条件，下标i为循环变量，4为i的初始值，7为i的终止值，执行4次循环即可得到所需结果，因此终止条件为8i．故选C．解题感悟：本题主要考查条形统计图和算法的程序框图．由条形统计图确定算式是基础，弄清算法流程图的逻辑结构是解题关键，本题用当型循环结构来描述算法．图1图2开始输入1210AAA，，，04siissAs输出结束1ii否是50100150200250300350400450500550600145150155160165170175180185190195人数/人身高/cm22．（山东，理10，文10）阅读右边的程序框图，若输入的n是100，则输出的变量S和T的值依次是（）A．2500，2500B．2550，2550C．2500，2550D．2550，2500解答途径：第1次循环后100,99ST；第2次循环后，10098,9997ST；……，第50次循环后，1009822550S，999712500T．故选D．解题感悟：本题主要考查得算法流程图、等差数列求和等基础知识，以及数据处理能力、语言转换能力和算法思想．本题采用直到型循环结构描述算法．解题关键在于弄清循环体的特征，特别是明确循环一次后n的值就减少了2．本题算法的实质是等差数列求和．顺便指出，2007年海南、宁夏卷理5（文5）采用当型循环结构描述算法，与本题同源,都是课本例题的变式题（参见人教A版数学3第14页例6）.算法初步是新课程高考新增内容，算法思想是新课程强调的基本数学思想之一．3．（海南、宁夏，理11，文12）甲、乙、丙三名射箭运动员在某次测试中各射箭20次，三人的测试成绩如下表123sss，，分别表示甲、乙、丙三名运动员这次测试成绩的标准差，则有（）Ａ．312sssＢ．213sssＣ．123sssＤ．231sss解答途径：先计算甲、乙、丙20次测试成绩的平均数：8.5xxx甲乙丙；又2222215(1.50.50.51.5)S20＝,222222161.540.540.561.520S,222223141.560.560.541.520S.由于221.50.5，所以222213SSS，213SSS．故选B．甲的成绩环数78910频数5555乙的成绩环数78910频数6446丙的成绩环数78910频数4664开始输入n2?x1nnTTn1nn结束输出ST，ssn否00ST，是3解题感悟：本题主要考查平均数、标准差等基础知识及运算求解能力．上述解答，利用221.50.5进行估算，简化了运算，节省了时间．4．（安徽，理10）以()x表示标准正态总体在区间()x，内取值的概率，若随机变量服从正态分布2()N，，则概率()P等于（）A．()()B．(1)(1)C．1D．2()解答途径：||()PP()()PP()()(1)(1)，故选B．解题感悟：本题主要考查正态分布的基础知识．解题思路是将一般正态分布化为标准正态分布．解题依据是：对任一正态总体2(,)N来说，取值小于x的概率()()xPxFx，其中()x表示标准正态总体(0,1)N在区间(,)x内取值的概率．上述公式将一般正态总体化为标准正态总体，蕴涵着化归与变换的思想方法．顺便指出，本题是课本例题的变式题（详见高中数学第三册（选修Ⅱ）第34页例1）．正态分布试题是近两年出现的高考题型（2006年湖北卷理19；2007年湖南卷，理5；2007年安徽卷，理10；2007年全国卷Ⅱ，理14；2007年浙江卷，理5），三种题型都有，应引起高度关注！5．（福建，理12）如图，三行三列的方阵中有9个数(123123)ijaij，，；，，，从中任取三个数，则至少有两个数位于同行或同列的概率是（）111213212223313233aaaaaaaaaA．37B．47C．114D．1314解答途径：（1）设“3个数位于同一行”为事件A，“2个数位于同一行，第3个数位于4另一行，但这3个数不位于同一列”为事件B，“2个数位于同一行，第3个数位于另一行，且与前2个数中的1个位于同一列”为事件C．则1339C1C28PA，223339AC3C14PB，22133239ACC3C7PC，故所求概率为132214PAPBPC．故选D．（2）设“至少有两个数位于同行或同列”为事件D，则D表示“每行或每列只有一个数”，即11132139CCC1C14PD，故13114PDPD．故选D．解题感悟：本题主要考查排列、组合与概率的有关知识．解答途径（1）根据分类讨论的思想，将问题分为两类：第一类“3个数位于同一行（或列）”，第二类“2个数位于同一行（或列），第3个数位于另一行（或列）”，但第二类中又有两种情形，即“2个数位于同一行（或列），第3个数位于另一行（或列），但这3个数不位于同一列（或行）”和“2个数位于同一行，第3个数位于另一行，但与前2个数中1个位于同一列”，这种分类思想需要有慎密的逻辑思维能力，否则极易出错；解答途径（2）根据题中出现了“至少”的词语，因此利用间接法，从问题的反面思考，显得简洁．6．（湖北，理9）连掷两次骰子得到的点数分别为m和n，记向量()mn，a=与向量(11)，b的夹角为，则0，的概率是（）A．512B．12C．712D．56解答途径：（1）由cos0abab，得0mn，当1m时，1n，当2m时，1,2n，当3m时，1,2,3n，…，当6m时，1,2,3,4,5,6n，故所求概率为12345673612．（2）由cos0abab，得0mn，显然当0mn时有6种可能，根据对称性0mn与0mn的可能性相同，即各有15种可能，故所求概率为61573612．解题感悟：本题主要考查古典概型，由于把投骰子问题与平面向量知识融为一体，使问题显得新颖．解答途径（1）采用列举的方法求解，思路自然;解答途径（2）采用对称的方法求解，思路别致．57．（浙江，理15）随机变量的分布列如下：101Pabc其中abc，，成等差数列，若13E，则D的值是．解答途径：（1）由abc，，成等差数列，13E，得1,2,1.3abcacbac解得16a，13b，12c．则22211111151013633329D．（2）求,,abc同（1），则2222221111510163239DEE．（3）由abc，，成等差数列，得1,2.abcacb解得23ac，则2222221510139DEEabc．解题感悟：本题主要考查随机变量期望与方差的计算．解答途径（1）、（2）根据条件求出abc，，后，分别利用方差的定义与性质求解，解答途径（3）则利用方差的性质与整体思想求解，显示出解题的简捷性．8．（山东，理18）设b和c分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，用随机变量表示方程20xbxc实根的个数（重根按一个计）．（Ⅰ）求方程20xbxc有实根的概率；（Ⅱ）求的分布列和数学期望；（Ⅲ）求在先后两次出现的点数中有5的条件下，方程20xbxc有实根的概率．别解途径：（Ⅰ）,bc的所有可能取值有（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（3，5），（3，6），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），（4，5），（4，6），（5，1），6（5，2），（5，3），（5，4），（5，5），（5，6），（6，1），（6，2），（6，3），（6，4），（6，5），（6，6），共36种．要使方程20xbxc有实根，必须满足240bc，符合条件的有（2，1），（3，1），（3，2），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，5），（5，6），（6，1），（6，2），（6，3），（6，4），（6，5），（6，6），共19种．因此方程20xbxc有实根的概率为1936．（Ⅱ）的取值为0，1，2．由（Ⅰ）知1917013636P．当1时，符合条件的有（2，1），（4，4），共2种，即1118P，进而191172361836P．故的分布列为012P17361181736的数学期望171170121.361836E（Ⅲ）先后两次出现的点数中有5的可能结果有（1，5），（2，5），（3，5），（4，5），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，5），（5，6），（6，5），共11种，其中使方程20xbxc有实根的结果有（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，5），（5，6），（6，5），共7种．故在先后两次出现的点数中有5的条件下，方程20xbxc有实根的概率为711．解题感悟：本题主要考查离散型随机变量的概率分布与期望，考查条件概率的计算．本题第（Ⅲ）问中关于条件概率的计算,标准答案中采用定义，别解途径根据古典概型计算公式，采用列举法直接求解．9．（天津，理18）已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的2个红球和4个黑球．现从甲、乙两个盒内各任取2个球．（Ⅰ）求取出的4个球均为黑球的概率；（Ⅱ）求取出的4个球中恰有1个红球的概率；（Ⅲ）设为取出的4个球中红球的个数，求的分布列和数学期望．别解途径：第（Ⅰ）小题:（1）记甲盒内红球为①号，3个黑球依次为②，③，④号，乙盒内红球为⑤，⑥号，黑球依次为⑦，⑧，⑨，⑩号，则从甲盒内取出2个球的所有结果为①②，①③，①④，②③，②④，③④，其中所取2个球均为黑球的概率为3162；从乙盒内取出2个球的所有结果为⑤⑥，⑤⑦，⑤⑧，⑤⑨，⑤⑩，⑥⑦，⑥⑧，⑥⑨，⑥⑩，7⑦⑧，⑦⑨，⑦⑩，⑧⑨，⑧⑩，⑨⑩，其中所取2个球均为黑球的概率为62155．故取出的4个球均为黑球的概率为121255．（2）记“从甲、乙两个盒内各任取2个球，至少有1个一球”为事件M，“从甲盒内取2个球，1个黑球”为事件1A，“从甲盒内取2个球，均为黑球”为事件2A，“从乙盒内取2个球，1个红球，1个黑球”为事件1B，“从乙盒内取2个球，均为红球”为事件2B，“从乙盒内取2个球，均为黑球”为事件3B，则11131241()2CCPAC，232241()2CPAC，11241268()15CCPBC，222261()15CPBC，24