矩阵位移法_结构力学_学习资料.

1郑州大学土木工程学院樊友景编制基本要求：熟练掌握两种坐标系中的单元刚度矩阵、结构的整体刚度矩阵、等效结点荷载的形成，已知结点位移求单元杆端力的计算方法，整体刚度矩阵和结构结点荷载的集成过程。理解单元刚度矩阵中和整体刚度矩阵中的元素的物理意义。了解不计轴向变形时矩形刚架的整体分析.MATRIXDISPLACEMENTMETHOD基本概念单元刚度矩阵整体刚度矩阵等效结点荷载计算步骤和算例忽略轴向变形时的整体分析上机作业2郑州大学土木工程学院樊友景编制§13-1概述矩阵位移法以传统的结构力学作为理论基础，以矩阵作为数学表达形式，以电子计算机作为计算手段，三位一体的方法。手算与电算的不同：手算：怕繁，讨厌重复性的大量运算，追求机灵的计算技巧，运算次数较少的方法。电算：怕乱，讨厌头绪太多，零敲碎打的算法，追求计算过程程序化，通用性强的方法。矩阵位移法（有限单元法finiteelementmethod）的基本思路是：先将结构离散成有限个单元，然后再将这些单元按一定条件集合成整体。这样，就使一个复杂结构的计算问题转化为有限个简单单元的分析与集成问题。有限单元法的两个基本环节：1）单元分析：建立单元刚度方程，形成单元刚度矩阵(物理关系)2）整体分析：由单元刚度矩阵形成整体刚度矩阵，建立结构的位移法基本方程(几何关系、平衡条件)3郑州大学土木工程学院樊友景编制单元刚度矩阵是用来表示杆端力与杆端位移之间的物理关系的，不是新东西，但有几点新考虑：重新规定正负规则，以矩阵的形式表示，讨论杆件单元的一般情况。杆端局部编码与局部坐标系eE，A，Il局部坐标系中的杆端位移分量1u2u1v2v2q1q2M2Y2X1X1M1Y局部坐标系中的杆端力分量{}=F222111MYXMYXee222111qqvuvue={}De12yx§13-2单元刚度矩阵（局部坐标系）(elementstiffnessmatrix)4郑州大学土木工程学院樊友景编制单元刚度方程FD方程1q1u1v2v2q2u1X1Y1M2X2Y2M)(,,1221uulNXNX-=D=-=llEAND=)(),(212211uulEAXuulEAX--=-=由虎克定律：由转角位移方程，并考虑：2QYBA=1,QYAB-=12,vv-=D()212212212)(6vvlEIlEIY--+-=qq()212212112)(6vvlEIlEIY-++=qq()212212642vvlEIlEIlEIM-++=qq()212211624vvlEIlEIlEIM-++=qq5郑州大学土木工程学院樊友景编制222111MYXMYXe222111qqvuvue--------lEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEAlEAlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEAlEA460260612061200000260460612061200000222323222323=kee（13—5）单元刚度方程（13—6）单元刚度矩阵单元刚度矩阵的性质1）单元刚度矩阵是杆端力用杆端位移来表达的联系矩阵。2）其中每个元素称为单元刚度系数，表示由于单位杆端位移引起的杆端力。63k如第个杆端位移分量=1时引起的第个杆端力2M1q三六ijkjijDjiijkk=?反力互等定理@21@22211211@21}{}{][][][][}{}{DD=kkkkFF@@@}{][}{D=kF6郑州大学土木工程学院樊友景编制3）单元刚度矩阵是对称矩阵。4）第k列元素分别表示当第k个杆端位移=1时引起的六个杆端力分量。5）一般单元的单元刚度矩阵是奇异矩阵。不存在逆矩阵0][@=k{}De{}Fe正问题力学模型将单元视为“两端有六个人工控制的附加约束的杆件”{}De控制附加约束加以指定。解的性质为任何值时，{}De{}Fe都有唯一的解答。且总是一个平衡力系，不可能是不平衡力系。{}De{}Fe反问题将单元视为“两端自由的杆件”。{}Fe直接加在自由端作为指定的杆端力{}Fe为不平衡力系时没有静力解。{}De{}Fe为平衡力系时有无穷多组解。{}De1X1Y1M2X2Y2M1X1Y1M2X2Y2M@@@}{][}{D=kF8郑州大学土木工程学院樊友景编制特殊单元单元的某个或某些杆端位移的值已知为零。如梁单元、柱单元。特殊单元的单元刚度矩阵，可由一般单元的单元刚度矩阵删除与零杆端位移对应的行和列得到。02211====vuvu--------lEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEAlEAlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEAlEA460260612061200000260460612061200000222323222323=lEIlEIlEIlEIk4224为了使计算过程程序化、标准化、自动化，只采用一般单元的刚度矩阵作为标准形式。各种特殊单元的刚度矩阵有计算机程序去自动形成。某些特殊单元的刚度矩阵是可逆的。121q2q122M1M9郑州大学土木工程学院樊友景编制•选局部坐标系推导单元刚度矩阵方便且单元刚度矩阵的形式简单。•选整体坐标系是为进行整体分析。按一个统一的坐标系来建立各单元的刚度矩阵单元坐标转换矩阵1X1Y1M2X2Y2Myxαyxα11111111cossinsincosMMYXYYXX=+-=+=§13-3单元刚度矩阵（整体坐标系）22222222cossinsincosMMYXYYXX=+-=+=局部坐标系中的杆端力整体坐标系中的杆端力10郑州大学土木工程学院樊友景编制=@222111MYXMYX@222111MYXMYX--1000000cossin0000sincos0000001000000cossin0000sincos单元坐标转换矩阵[T]是一正交矩阵。TTT][][1=-同理：整体坐标系中的单元刚度矩阵@@@}{][}{D=kF设：将（a）、（b）代入（a）（b）@@@}]{[][}]{[D=TkFT@@@}]{[][][}]{[][D=TkTFTTTT@@}]{[}{FTF=@@}{][}{FTFT=@@}]{[}{D=DT@@}{][}{D=DTT@@@}{][}{D=kF=T11郑州大学土木工程学院樊友景编制1）ijk表示在整体坐标系第j个杆端位移分量=1时引起的第i个杆端力分量。2）[k]@是对称矩阵。3）一般单元的[k]@是奇异矩阵。例13-1求图示刚架中各单元在整体标系中的单元刚度矩阵。设各杆的几何尺寸相同。l=5m，A=0.5m2,I=1/24m4E=3×107kN/m2441025,10300==lEIlEA21与比较@@@}{][}{D=kF@@@}]{[][][}]{[][D=TkTFTTTT[I]][][][][@@TkTkT=[k]@，[k]@同阶,性质类似：=][]0[]0[][][][][][][]0[]0[][][][][][2211@222112112211@22211211TTkkkkTTkkkkTT12郑州大学土木工程学院樊友景编制解：（1）求kek1k2==503003012000300---1003003012000300503003012000300---1003003012000300--×104（2）求kekkIT==,11单元α=90°21单元α=0--=100000001000010000000100000001000010Tk2=500300300030012---1000300300030012--500300300030012---100030030003012×104--=1000010101003003012000300100001010]][[][][11111111TkTkT13郑州大学土木工程学院樊友景编制结点力、结点位移、形成总刚度矩阵(传统位移法)Δ1Δ2Δ3F1F2F3Δ1Δ2Δ3F1F2F3Δ1=1Δ1×K11K21K31K12K22K32Δ2=1Δ2×K13K23K33Δ3=1Δ3×333232131332322212123132121111D+D+D=D+D+D=D+D+D=KKKFKKKFKKKFDDD=321333231232221131211321KKKKKKKKKFFFF=KΔK为整体刚度矩阵，简称总刚。=333231232221131211KKKKKKKKKK§13-4连续梁的整体分析assemblyanalysisofcontinuousbeam14郑州大学土木工程学院樊友景编制整体刚度矩阵(assembledstiffnissmatrix)的性质1）总刚是结点力用结点位移来表达的联系矩阵。2）[K]中的元素Kij表示第j个结点位移分量Δj=1（其它结点位移分量=0）时所产生的第i个结点力。3）[K]是对称矩阵。4）如果引入支承条件，[K]是可逆矩阵。形成整体刚度矩阵Δ2=1K12K22K32112=D112k121k221211=D2k112k212结点发生单位位移杆端发生单位位移变形协调条件产生附加约束中约束力(总刚元素)产生杆端力(单刚元素)平衡条件总刚元素是由单刚元素集合而成K22k221k112k212K32综上所述，直接刚度法是根据单元的结点位移分量的局部码和总码之间的对应关系，由单元刚度矩阵集成结构整体刚度矩阵。15郑州大学土木工程学院樊友景编制直接刚度法形成总刚(刚度集成法)首先要注意同一个结点位移在整体中与在各单元中两种编码不同。单元结点位移总码按局部码顺序排列而成的向量称为“单元定位向量”{λ}(elementlocalizationvector)。e单元对应关系：局部码→总码单元定位向量{λ}e12θA（1）→1θB（2）→2{λ}=112θB（1）→2θC（2）→3{λ}=223将各单元的单刚的行列局部码（i）、（j）换成对应的结点位移总码λi、λj，按此行列总码将单刚元素送入总刚。即:k(i)(j)→jiK2112213ABC(1)(2)(1)(2)整体分析用总码，单元分析用局部码16郑州大学土木工程学院樊友景编制例13-2试求图示连续梁的整体刚度矩阵[K]。i1i2i31230123解：1）编码凡给定为零的结点位移分量,其总码均编为零。{λ}=112{λ}=2232）单元定位向量{λ}=3303）求单刚并集成总刚(1)(2)12=K123123在给节点位移编码时已经考虑了支承条件。(先处理法)k=①4i12i12i14i14i12i12i14i1k=②4i22i22i24i2(1)(2)234i22i22i24i2+k=③4i32i32i34i3(1)(2)304i3+17郑州大学土木工程学院樊友景编制1n2312n+1对于n跨连续梁，有n+1个节点，不难导出整体刚度矩阵如下：4i12i12i14(i1+i2)02i24(i1+i2)02i22i3002in-14(In-1+in)2in2in4in000[K]=[K]n+1，n+1是稀疏矩阵和带状矩阵。)1,,3,2(2),,3,2(44,4,411111,1111+====+===----++njiKKnjiiKiKiKjjjj