第章节一些可有理化函数的不定积分

3第4节可有理化函数的不定积分4.1三角函数有理式的不定积分设(sin,cos)Rxx是sin,cosxx的有理分式，要做积分(sin,cos)Rxxdx。作变换tan2xt。2222222112111tan,cos,1cos,cos122111cos2xxtxxxttt221cos1txt2221sin2sincos2tancos(1cos)122221xxxxtxtxtt22sin1txt221dxdtt2222212(sin,cos),111ttRxxdxRdtttt变成了有理函数的积分。以上这些公式，可以背下来，也可以练熟推导过程需要时推出来。tan2xt总可以把三角函数有理式的不定积分变为有理函数的积分。因此称它为万能变换。从上面可以看出，虽然用万能变换总可以把积分做出来，但是它非常麻烦。因此万能变换只能是最后一招。离散数学4【例4.1】求不定积分d2sincos5xxx-+ò．解、用万能变换tan2xt。22sin1txt，221cos1txt，221dxdtt。22222222112412sincos51511111111313223355311515333tan113112arctanarctan5555dxdtttxxttttdtdtdttttxtCC【例4.2】求不定积分3sind1cosxxx+ò．解、322sinsin1coscoscos1cos1cos1cosxxxdxdxdxxxx21cos1coscoscos2xdxxxC（注意：我们这里没有用万能变换。如果用万能变换麻烦就大了。）【例4.3】求不定积分22sind1cosxxx+ò.解、2222222sin1cos2(1cos)121cos1cos1cos1cosxxxdxdxdxdxxxxxx222211cos22tan12tan21cos1tantan22arctan22tan12xdxxxdxxxxxxdxCx第1章集合54.2简单无理函数的不定积分积分,nAxBRxdxCxD的困难点在nAxBCxD。作变换nAxBtCxD，解出12,nnnnnADBCtDtBxdxdtACtACt。12,,nnnnnnADBCtAxBDtBRxdxRtdtCxDACtACt变成了有理函数的积分。【例4.4】求不定积分2d3xxx++ò.解、作变换22,2,2txxtdxtdt。222122131122arctan222arctan2xtdxtdtdtxttttCxxC【例4.5】求不定积分12d2xxxx+-ò.解、作变换222222(1)8,,211xtttxdxdtxtt。22222222222212184221111111144arctan2111111112arctan2arctanln11121222arctanln2212xtttdxtdtdtxxttttdttdttttttttdttCtttxxxCxxx离散数学6【例4.6】求不定积分354d(2)(1)xxx-+ò.解、342354111(1)2(2)(1)xxxxx。作变换43424412112,,211xtttxdxdtxtt。363228354444421112129(2)(1)12111414423331ttdxtdtdttxxtttxdtCCttx第1章集合7习题讲解P2103.求下列不定积分：(5)22arctand(1)xxxx+ò(6)arctanedexxxò(9)arctan(1)dxx+ò(14)()11dxxx+--ò解、（5）222222arctan1arctan111arctan22111xxxdxdxxdxxx2222222222222222222111arctan11arctan2122111arctan11arctan22211arctan11arctan124211arctan111arctan24121arctan1221xxxxdxdxxxxxxxxdxxxxxxdxxxxxxdxxxx2221arctanarctan41arctan11arctan44121xxxCxxxxCxx（6）22arctanarctan11arctanarctan1xxxxxxxxxxxxeeedxdeededxeeeeee222221111arctanarctan1111arctanln(1)2xxxxxxxxxxxxxeeexdexdeeeeeeexxeCe（9）离散数学82222arctan1arctan(1)arctan(1)11xttxdxtdtttdtt2222222222222arctan(1)arctan(1)2222arctan(1)ln22arctan(1)ln22ttttttdttttdttttttttttCxxxxxC（14）2,1112,112,1xxxxxx。12232,111,112,1xCxxxdxxCxxCx由连续性，213211,1CCCCC。22,1111,112,1xCxxxdxxCxxCx思考题：1.三角函数有理式不定积分一般解题思路是怎样的？2.简单无理函数不定积分的积分方法有哪些？习题4－4A类1.求下列三角有理式的不定积分:(1)1d1sinxx+ò*(2)1dsincosxxx+ò(3)21dsincosxxxò*(4)21d2sinxx+ò(5)d1tanxx+ò*(6)d54sin2xx+ò2.求下列无理函数的不定积分:第1章集合9*(1)1d21xxx+-+ò*(2)11d11xxx+-++ò(3)31dxxx+ò(4)1d11xxx+++òB类1.求下列三角有理式的不定积分:(1)221dtansinxxx+ò*(2)1d(2sin)(3sin)xxx--ò*(3)21d(1cos)xx+ò(4)32sind1cosxxx+ò2.求下列无理函数的不定积分:*(1)2431d(1)(1)xxx+-ò*(2)236d1xxxx---ò(3)21d143xxx---ò总习题四1.选择题(1)已知()1xfex¢=+,则()fx=．A.1lnxC++B.212xxC++C.21lnln2xxC++D.lnxxC+(2)若2()dfxxxC=+ò,则2(1)dxfxx-=ò．A.222(1)xC-+B.2412xxC-+C.22(1)xC--+D.21(1)2xC-+*(3)11sindxx=+ò．A.tansecxxC++B.tansecxxC-+C.ln1sinxC++D.cotcscxxC-+(4)设()1lnfxx¢=,则()fx=．A.1lnCx+B.exC-+C.lnlnxC+D.xeC--+*(5)设()d()fxxFxC=+ò，且xatb=+，则()dfxt=ò．离散数学10A.(FxC+B.()FxC+C.()FatbC++D.1()FatbCa++*(6)已知函数()yyx=在任意点x处的增量21yxyxaDD=++,且当0xD?时,a是xD的高阶无穷小,(0)yp=,则(1)y=．A.2pB.pC.4epD.4epp(7)在下列等式中,正确的结果是．A.()d()fxxfx¢=òB.d()()fxfx=òC.d()d()dfxxfxx=òD.d()d()fxxfx=ò(8)设函数()fx在(,)-??上连续，则d[()d]fxx=ò．A.()fxB.()dfxxC.()fxC+D.()dfxx¢(9)若()fx的导数是sinx，则()fx有一个原函数为．A.1sinx+B.1sinx-C.1cosx+D.1cosx-(10)设22(cos)sinfxx¢=,且(0)0f=,则()fx=．A.21cos2cosxx+B.241coscos2xx-C.212xx+D.212xx-2.填空题*(1)(2e1)dxxx+=ò．(2)1d(1)xxx=+ò．*(3)21d1xxx=-ò．*(4)22cos2dsincosxxxx=ò．(5)设()fx是连续函数，则d()dfxx=ò；d()fx=ò；d()ddfxxx=ò；()dfxx¢=ò．（其中()fx¢存在)*(6)若()fx的导函数是sinx，则()fx的所有原函数为．*(7)通过点(,1)6p的积分曲线sindyxx=ò的方程是．*(8)设函数f(x)与g(x)可导，且有()()fxgx¢=，()()gxfx¢=，(0)0f=，()0gx¹，则函数()()()fxFxgx==．第1章集合113.求下列不定积分：(1)2100d(2)xxx-ò(2)2d11xxx++ò(3)1sind1cosxxx++ò(4)21d(2)(3)xxx-+ò(5)22arctand(1)xxxx+ò(6)arctanedexxxò(7)21lnd(ln)xxxx--ò(8)221d221xxxx-+ò(9)arctan(1)dxx+ò(10)1d(1e)xxxxx++ò(11)2361d1eeexxxx+++ò(12)(1ln)dxxxx+ò(13)32ln1lndxxxx?ò(14)()11dxxx+--ò4.导出下列不定积分的递推公式:ednxnIxx-=ò．*5.试证明:(1)()(1)(2)()1(1)d(1)(1)dnnnnnnnnuvxuvuvuvuvuvx+--++ⅱ?=-+-+-+-蝌L.按此公式计算积分8dxxexò．6.证明:11sincosdlnsincossincosaxbxxAxBaxbxCaxbx+=++++ò，其中,,ABC是常数.并利用这个公式计算sincosdsin2cosxxxxx-+ò．