矩阵分析与计算2013解答及评分标准

一、（10分）设矩阵121021110A，计算||A||1，max{||Ax||：||x||2}、cond1(A)。解：||A||1=5（3分）；max{||Ax||：||x||2}=2||A||8}（6分）1110111212A（8分）cond1(A)=||A||1||A1||1=20（10分）二、（12分）已知矩阵308212205A，试求A不变因子、初等因子，并写出A的Jordan标准形。解：不变因子d1=d2=1；d3=(+1)3；……6分；初等因子为(+1)3(9分)A的Jordan标准形为110011001AJ(12分)三、（8分）利用盖尔圆定理证明25822131114A有三个互异实特征值。解：取D=diag(2,1,1),则A与B=D1AD特征值相同，而B的三个行盖尔圆彼此孤立，故每个盖尔圆内有且仅有1个特征值，而B是是矩阵，而各盖尔圆均关于实轴对称，因而其中特征值均是实的。……………8分四、（10分）用LU分解求解方程组102311001111x解:系数矩阵A的LU分解如下102100102110110012111111001（5分）求解得到(1,1,1)Tx（１0分）五、（10）利用幂法计算矩阵210131114A按模最大的特征值及特征向量的近似值：设初始向量v0=[111]T，迭代2次，保留4位小数。解:max5.3333,特征向量[0.34380.75001.0000](10分)六、（20分）已知1011202,11100Ab，（1）求A的满秩分解；（2）求A；（3）用广义逆矩阵方法判断线性方程组Axb是否有解；（4）求Axb的极小范数解或极小范数最小二乘解，并指出所求的是哪种解．解：(1)101012001-111A(6分)(2)1251121015245A(12分)(3)0.61.20TAbbA,方程组无解；(16分)（4）极小范数最小二乘解为011125TxAb(20分)七、（15分）对于如下线性方程组，201101011021x（1）试证明其Jacobi迭代收敛；（2）并用Jacobi迭代法计算其近似解，设初始向量为x(0)=[000]T,迭代四次，结果用分数或小数（保留到小数点后第四位）表示。解：(1)迭代矩阵BJ谱半径(BJ)=0.51，故Jacobi迭代收敛。(7分)（2）四次迭代值依次为(1)(2)(3)(4)11113355(,1,);(,1,);(,1,);(,1,)2244881616TTTTxxxx(15分)八、(15分)已知010001,111A（1）求Ate；（2）求()dxtAxdt满足1(0)11x的解。解：(1)令()det(IA)(+1)(1)2,令etq(,t)()+a2(t)2+a1(t)+a0(t),则有eAta2(t)A2+a1(t)A+a0(t)I；(4分)而21021210;2;;ttteaaateaaeaaa120111(),(2),(23)244ttttttttaeeateeeateeeeAta2A2+a1A+a0I其中a2,a1,a0上式给定。(9分)（2）()(0)Atxtex[a2A2+a1A+a0I]x(0)a2x(0)a1x(0)+a0x(0)=[a2a1+a0]x(0)=et[1,1,1]T(15分)