矩阵分析样题

一、选择题（20分）1.下列哪些方阵一定可以酉相似于对角矩阵：______A.正规矩阵B.2AAC.严格对角占优矩阵D.HouseholderE.非奇异矩阵2.对于m阶方阵序列，nAA成立的充分条件为：________A.0,nAA其中为广义矩阵范数B.对任何m维向量x，数列()0,HnxAAxC.对任何m维向量x，数列0,nAxAx其中为向量范数D.(),HHnnAAAA其中HA为矩阵A的共轭转置E.数列()0,nAAx其中()A表示方阵A的谱半径3.下列陈述肯定正确的有：_________A.任意实对称矩阵都存在LU分解B.坐标原点不属于可逆矩阵的任何一个Gerschgorn圆C.任何一个Householder矩阵都可以化为一系列Givens矩阵的乘积D.任何一个Givens矩阵都可以化为一系列Householder矩阵的乘积E.对两个任意n阶实对称正定矩阵,AB，则存在可逆矩阵Q，使得,TTQAQQBQ同时对角化4.下列陈述肯定正确的有：_________A.设,,nmrFGC则矩阵HFG和HFG的秩都为rB.若n阶矩阵A的n个Gerschgorn圆互不相交，则A可以对角化C.若矩阵,AB都可以正交相似于对角矩阵，则AB也可以正交相似对角矩阵D.()ABBAE.两个正交投影算子相等的充分条件为它们的值域相同二、填空题（53=15分）1.设2,,nnACAI则exp()___________At，其中t，为复数，I为n阶单位阵2.设A为2阶矩阵，使得330,Aeeeee则A的谱半径()=________.A3.设101001010A，则A的QR分解可以写为A=________________.三、计算题（35分）1.（10分）已知矩阵111-101010A，计算矩阵A的从属范数p，其中1,2,p2.（10分）设mnZR，已知矩阵的数量函数()fZ关于Z的导数为,ijmndfdfdZdz若,TZAXB计算dfdX,其中，mpAR,qpXR，qnBR，,AB为和X无关的常数矩阵。3.设1001110001100011A，（1）求A的Hermite标准形；（5分）（2）利用（1）的结果求出A的满秩分解；（5分）（3）利用（2）的结果求出+A.（5分）四、（共20分）已知实矩阵23AR的全体按照普通的矩阵加法和数乘构成实数域R上的线性空间，定义集合231221{:0,},SAaaAR验证S为23R的子空间（5分）。定义23R的线性变换T为111213222123212223121113,aaaaaaTaaaaaa验证S为T的不变子空间（5分），从而T可以看作S的一个线性变换，给出S的一组基（5分），求出T在给出的这组基下的矩阵表示（5分）。（共20分）五、（10分）设矩阵,,mnmnnPCXC定义,HQIPXP其中I为m阶单位矩阵。证明Q为酉矩阵的充要条件为()HHXXXXPPXX（提示：利用矩阵的奇异值分解）