“数形结合”在小学中低年级数学教学中的渗透

“数形结合”在小学中低年级数学教学中的渗透“数”和“形”是小学数学教学的研究对象，也是贯穿小学数学教材的两条主线。“数形结合”可以借助简单的图形、符号和文字所表示的示意图,促进学生形象思维和抽象思维的协调发展,沟通数学知识之间的联系,从复杂的数量关系中凸显最本质的特征。特别是对于中低年级的学生，他们年龄小，阅历浅，解决问题能力有限，对教材中的插图、人物、颜色较感兴趣，低年级学生思维主要以具体形象思维为主，中年级学生由具体形象思维向抽象逻辑思维过渡，为此，“数形结合”是小学中低年级数学教学中一种重要的教学方法。教师在教学中要有渗透数形结合思想的意识，引导学生主动有效地利用课本中的图形，从图中读懂重要信息并整理信息，提出问题、分析问题、解决问题，即让学生通过“形”找出“数”。在小学“数与代数”、“空间与图形”、“统计与概率”、“实践与综合应用”这四个学习领域中，都能应用数形结合思想进行教学，我们通过对教材的分析，初步整理了小学数形结合思想方法在各教学领域的渗透点：（1）“数与代数”：数的认识及计算，都能借助小棒图、计数图来理解算理、法则和方法；（2）“空间与图形”：可以借助数的知识及数量关系进行各平面图形的周长和面积的计算；（3）“实践与综合应用”：从所给问题的情境中辨认出数与形的一种特定关系或结构，运用画线段图、画分析图、画示意图等方法分析理解；（4）“统计与概率”：通过图形演示移多补少来理解平均数的含义。下面，结合自身实际谈谈在数学教学中如何渗透“数形结合”思想。一、“数形结合”在中低年级《基本概念》教学中的渗透数形结合帮助学生建立起数学基本概念，形成整个数学知识体系。数学是思维的阶梯。纵观整个小学数学教材，无不充分体现数与形的有机结合，帮助学生从直观到抽象，逐步建立起整个数学知识体系，培养学生的思维能力。在一年级上册中，学生刚学习数学知识时，教材首先就是通过数与物（形）的对应关系，初步建立起数的基本概念，认识数，学习数的加减法；通过具体的物（形）帮助学生建立起初步的比较长短、多少、高矮等较为抽象的数学概念；通过图形的认识与组拼，在培养学生初步的空间观念的同时，也初步培养学生的数形结合的思想，帮助学生把数与形联系起来，数形有机结合。在以后年级的学习中，随着学生年龄的增长，思维能力的不断提高，数与形的结合就更加广泛与深入。在二年级上册学习《乘法与除法的意义》时，通过数与物（形的）对应结合，帮助学生理解掌握乘法与除法的意义，并抽象地运用于整个数学学习中。在三年级上册《分数的初步认识》中，通过具体的形的操作与实践，让学生充分理解“平均分”，几分之一，几分之几等数学概念，掌握运用分数大小的比较，分数的意义，分数的加减等，使数形紧密地结合在一起，把抽象的数学概念直观地呈现在学生面前，帮助学生理解掌握分数的知识。在四年级下册小数的意义的学习中，小数是一个十分抽象的概念，它与分数相比更加抽象。我们同样是通过数与形的结合，帮助学生理解掌握小数的意义、小数的大小、小数的性质。通过1米=10分米，让学生理解1分米=0.1米，并类推出1厘米=0.01米，1毫米=0.001米；通过数与形完美的结合——数轴，让学生理解小数的组成、小数大小的比较、小数与整数的关系等。总之，一句话，数形结合贯穿着整个数学领域，在帮助学生建立初步的数学概念，培养学生基本数学思维能力中起着十分重要，而且不可替代的作用。二、“数形结合”在中低年级《计算》教学中的渗透1.低年级计算我们都知道，计算是在数数的基础上进行的，如：1+1=2，怎么想的？“一个苹果，再拿来一个苹果，就是2个苹果。”或“一根小棒，再拿来一根小棒就是2根小棒”。当我们把1+1用实物摆出来时，问题就解决了。于是9+1，就是“9根小棒，再拿来一根，就是10根小棒。”所以，9+1=10，10根又得捆起来表示1个十。接着就是20以内的进位加。9+2=？学生回答“11”，说说想法吧。这是，孩子们开始带给我们惊喜了，因为牵扯到算法多样化了，如“9根小棒，加1根是10根，再加1根，就是11根。”看还是把数字、算式和实物结合，“因为9+1=10，我先把2分成1和1，那其中一根和9凑成10，10再加1就是11。”凑十法又出来了，还是“数形”结合。当然，低年级的孩子表达能力还有待提高，很多不用小棒也能说，但显然，用小棒边摆边说的方法，讲的孩子清楚，听的孩子也明白。再学8+5，7+6，5+6时，孩子们还是，拿出小棒，再摆，再想，再说。而且，当我们老师在辅导孩子计算时，用小棒演示算理、算法，也是最有效率的方法。再说20以内的退位减，如13-8=？那我们再抛出问题后，孩子们就的想了，1捆小棒零3根，要去掉8根。一种方法，先去掉零着的3根，再破捆，再去掉5根，剩5根。还有一种办法，10-8=2，那我们从成捆的里面拿走剩2根就是8根，剩的2根加零的3根就是5，所以13-8=5。就这样，抽象的“破十法”，又通过摆小棒、拆小棒解决了。看着实物，理解算理，掌握方法，不正是我们教学的目的吗？再说多位数的加减法，在低年级教学时，我们还也是通过摆小棒，让学生明白，根加根，就是个位上的数字相加，满十要进一，也就是满十根小棒要捆一捆，而且要放到成捆的里面去。捆加捆，就是十位上的数字相加。所以我们再用竖式计算时，相同数位要对齐，既是相同计数单位对齐，也是实物中的根和根相加，捆和捆相加。我想在这里用摆小棒的“数形”结合法，也能很容易得让学生明白算理，掌握计算方法吧！最后说表内乘、除法。3×2=6，怎样教学此题的算理，算法？相信大家都知道我们引入此题时，情景一般是这样的：3组，每组2个圆（或其他事物），看图列算式，明确既可以2+2+2=6，还能用乘法算式来表示3×2=6，或2×3=6。再如12÷4=3，表示什么意思，就是把12个苹果平均分给4个小朋友，每人分的3个。当然还有另一种含义，我再次就不再赘述了。细想来，我们的小朋友们，运用具体的“形象”去理解抽象的“数字、算式”是不是渗透在我们教学的很多环节呢！2.中年级计算如教学《两位数乘一位数的乘法》时，依据主题图学生不仅能独立口算,而且算法多样。(1)20×3=20+20+20=60(2)2个十乘3得6个十,就是60(3)因为2×3=6,所以20×3=60在教学14×2的笔算时,根据上面的主题图学生也能独立探究算法:先算2个十是20,再算2个4得8,最后把它们合并起来一共是28。然而,如何帮助学生把算理与算法结合起来,将算理内化成算法,把思考的步骤与过程用竖式的形式呈现?用竖式计算14×2的结果是一个抽象过程,离开直观的图形支撑,直接要求学生独立建立竖式模型,对于低年级学生来说是有一定难度的。所以此时教师仍然可以借助直观图形帮助学生经过从直观到抽象的过程。如,根据计算的先后顺序分步展示课件:2×4计算的是图中的哪个部分?1×2呢?,这样把图式结合起来,通过竖式与图形的对应关系,帮助学生发现算理与算法之间的关系,让学生在明确算理的基础上掌握算法。三、“数形结合”在中低年级《空间与图形》教学中的渗透在空间与图形领域渗透数形结合思想,借助形的具体直观性和数的精确性阐明形的某些属性.在认识图形的教学中有些图形太过于简单，直接观察却看不出什么规律来，这时就需要给图形赋值，如边长、角度等等，通过研究数据理解图形特征，也就是数形结合中“以数解形”的应用。数形结合帮助小学生建立起初步的几何知识体系，发展空间观念，为今后的数学学习打下坚实的基础。在一年级下册图形的组拼中，通过数图形，如，让学生不断地把玩方积木，用多少不等或相等的积木不断堆砌不同的形状，体验数与形的结合，感知空间图形，进而抽象出一排有几个，有几排，有几层等空间观念，为长方形的面积公式推导、长方体的体积公式推导等奠定基础。在三年级下册长方形面积公式推导中，通过让学生用1平方厘米的小正方形摆放长方形面积，摆出长有几厘米就能摆几个，宽有几厘米就能摆几排，抽象出长方形的面积就是长与宽的乘积。四年级《三角形内角和》时．既用图形演示三个内角拼成一个平角．又用量角器量出三个角的度数计算出三个内角的和为l8O。注重学生用数来表示形．用数来具体量化形．从而解决形的问题。又比如《三角形分类》：出示书24页找一找，填一填，学生根据要求完成分类。教师：“刚才同学们根据角的特征将这些图形进行了分类，那么你能不能根据边的特征将它们重新分类呢：”教师：“你打算怎样去研究它们边的特征？”生1：“测量各边长度，然后观察比较”生2：“我看到有些是一样长的，可以把两条边长度相等的分成一类，都不相等的分成一类。”教师：“看起来相等，要验证的话怎么做？”生3：“测量”生4：“测量会有误差，不如对折后看是否重合。”教师：“如果两条边能重合说明了什么？”学生动手实验，将图形按照边的特征分类。反思：我们常常说在教学过程中要对学生“授之与渔”，就是要帮助学生整理清楚解决问题的思路，从而掌握解决问题的方法。本来三角形边的特征是很抽象的，但是理解清楚就是根据边长来分析，把形的问题转化成数的问题就很清晰了。但学生又想到了测量是有误差的，那么可以利用操作，利用“形”的比较来验证，实现了用“形”的优势弥补“数”的不足。四、“数形结合”在中低年级《实践与综合运用》教学中的渗透在教学中，如果不采用数形结合，把抽象的数学概念形象直观化，学生根本不能理解掌握运用。在一年级下册刚接触比多比少应用题教学时，通过数与物（形）的对应关系，帮助学习建立起同样多、多的部分、少的部分、大的数、小的数等较抽象的数学概念，从而理解掌握比多比少用大的数减去小的数，求大的数用小的数加上多的部分（或少的部分），求小的数用大的数减去少的部分（或多的部分）。有的学生在刚学习比多比少应用题时，未能很好的建立起数与形的有机结合，未充分理解掌握比多比少的基本数量关系，而是机械地记忆“多”字用加法，“少”字用减法。这样的学生我们在教学中发现的还不在少数。在二年级上册进行倍数应用题的学习时，教材首先是通过数与物（形）的结合，帮助学习初步建立起倍数的意义，即求一个数的几倍，就是求几个这样的数是多少。在学生初步建立起倍数的概念（意义）的基础上，逐步过渡到数与形结合，即画线段图，帮助学习理解掌握倍数的意义。在这里，教材从最初的最直观的数物（形）结合，逐步过渡到由图形代替物体——数形结合，初步建立起数学语言——数与形，使学生逐步从最直接的感知发展到较为抽象的数学知识，初步建立起今后数学学习的基本途径与方法，与数学思想——数形结合。在解决问题过程中，经常要用到“数”与“形”互译的数形结合思想，即把问题中的数量关系转译成图形，把抽象的数量关系形象化，再根据对图形的观察、分析、联想，逐步译成算式，以达到问题的解决。三年级下册重叠问题（P108例1：三（1）班参加语文、数学课外小组学生名单。语文组：杨明、李芳、刘红、陈东、王爱华、张伟、丁旭、赵军；数学组：杨明、李芳、刘红、王志明、于丽、周晓、陶伟、卢强、朱小东。参加课外小组的学生有多少人），教学中，引导学生数出参加语文组的有8人，参加数学组有有9人，但这两个小组没有8+9=17人，这是为什么呢？引导学生通过画出韦恩集合图，让学生充分明白：有3个重复的，8+9多计算了一次，需要减去，两个小组实际只有8+9－3=14（人）。四年级下册在植树问题中（P117例1：同学们在全长100米的小路一边植树，每隔5米栽一棵（两端要栽）。一共需要多少棵树苗？），只有通过画图，让学生充分理解植树棵数与间隔数的关系，才能帮助学生理解两端要植：棵数=间隔数+1，两端不植：棵数=间隔数－1，一端植：棵数=间隔数。二年级上册（P99例1）与三年级上册（P112例1、P113例2、P114例3）排列组合中，如果用高中数学中什么是排列、什么是组合来教学生，学生只能是“坐飞机”，云里雾里，不知所云，而采用数形结合——连线的方法，既做到不重不漏，又不把排列组合的知识强加给学生，还让学生运用起来得心应手。在策略问题中，运用数形结合，画图形操作，让繁琐的语言叙述直观化，简单明了，化难为易。在找规律教学中，通过画图操作，逐步发现规律，并运用规律解决问题。以