矩阵求逆20151011

一、矩阵的概念与基本运算1、矩阵的概念在数学中，矩阵（Matrix）是一个按照长方阵列排列的复数或实数集合。例如，n元一次方程组mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111的系数排成的一个矩形数表mnmmnnaaaaaaaaa212222111211这种由m×n个数按一定的次序排成的m行n列的矩形数表称为m×n阶矩阵，简称矩阵，记作A∈Cm×n。横的各排称为矩阵的行，竖的各排称为矩阵的列。aij称为矩阵第i行第j列的元素。矩阵通常用大写字母表示，矩阵的元素用带有角标的小写字母表示，例如mnmmnnaaaaaaaaaA212222111211可以简记为A=(aij)m×n。只有一行的矩阵称为行矩阵，只有一列的矩阵称为列矩阵。当m=n时，即矩阵的行数与列数相同时，称为（n阶）方阵，方阵第k行第k列的全部元素称为主对角线。2、几种特殊的矩阵（1）零矩阵：所有元素均为0的矩阵，用Om×n表示；（2）对角阵：除了主对角线外，其余元素均为0的方阵，用Λ表示，也可表示为diag(a11,a22,…,ann)；（3）单位矩阵：主对角线元素均为1、其余元素均为0的方阵，用En表示；（4）上三角矩阵：主对角线下方元素均为0的方阵；（5）下三角矩阵：主对角线上方元素均为0的方阵。3、矩阵的基本运算（1）相等：两个矩阵相等是指这两个同类型的矩阵（行数与列数均相同）对应位置元素相等；（2）加减法：同类型矩阵对应位置元素的加减运算，设A=(aij)m×n，B=(bij)m×n，则nmijijbaBA（3）数乘：数与矩阵的乘法，mnmmnnkakakakakakakakakakA212222111211（4）乘法：设A=(aij)m×s，B=(bij)s×n，C=AB，则C∈Cm×n且skkjikijbac1两个矩阵能进行乘法运算的前提是左矩阵的列数等于右矩阵的行数。矩阵的乘法不满足交换律与消去律，但满足结合律和分配律。两个非零矩阵的乘积可能是零矩阵（存在非零的零因子）。（5）方阵的幂：个kkAAAAAEA0lklkAAA（6）转置：设A=(aij)m×n，则A的转置AT=(aji)n×m。矩阵转置的运算满足AATTTTTBABATTkAkATTTABAB满足AT=A的方阵称为对称阵，满足AT=-A的方阵称为反对称阵，任一方阵都可以分解成对称阵与反对称阵的和22TTAAAAA（7）共轭转置：设A=(aij)m×n，则A的共轭转置为AH=(āji)n×m。二、非奇异方阵求逆1、行列式在数学中，行列式是一个函数，其定义域为方阵，取值为一个标量，写作det(A)或|A|。二阶行列式的计算法则为cbdadcba高阶行列式的运算法则为njijijniijijnnnnnnAaAaaaaaaaaaaA11212222111211其中Aij表示aij的代数余子式。设Mij为方阵A划去元素aij所在行和列之后的方阵，则ijjiijMA12、奇异方阵与非奇异方阵对应行列式的值为零的方阵称为奇异方阵，对应行列式的值非零的方阵称为非奇异方阵。通常意义下的逆矩阵仅针对非奇异方阵。3、非奇异方阵的逆：记A-1为非奇异方阵的逆，则nnnnnnAAAAAAAAAAA21222121211111注意代数余子式的排列顺序。逆矩阵的性质为EAAAA11AA11111AkkAkkAA111TTAA111ABAB三、广义逆矩阵（一）概念设A∈Cm×n，若矩阵X∈Cn×m满足4321XAXAAXAXXXAXAAXATT则称X为A的Moose-Penrose逆，记作A+。对于任意非零矩阵A，A+存在且唯一。满足上述一各或多个等式的X都是A的广义逆矩阵。记方程个满足第Penrose|iGCGAmni方程个、满足第Penrose|,jiGCGAmnji方程个、、满足第Penrose|,,kjiGCGAmnkji则ijikjiAAAAA,,,4,3,2,1（二）常用广义逆矩阵1、1A：记作A；2、21，A：自反广义逆，记作rA；3、31，A：最小二乘广义逆，记作lA；4、41，A：最小范数广义逆，记作mA；5、43,21，，A：又称Moose-Penrose逆、伪逆，记作A。（三）A-的求取利用初等行变换可得A-，A-不唯一。A-唯一存在的充要条件是A是非奇异方阵，此时A-=A-1。设A∈Cm×n，A-∈A{1}是一个给定的广义逆，Y为任意n×m阶矩阵，则A{1}的通式为AAYAAYAG只要求出A{1}的一个元素，就可得到A{1}中的其他全部元素。（四）A+的求取1、若A行满秩，则A有满秩分解A=EmA，则1HHAAAA2、若A列满秩，则A有满秩分解A=AEn，则HHAAAA13、若A既非行满秩也非列满秩，则可先求满秩分解A=BC，再代入HHHHBBBCCCA11（四）A+的性质1、A+所具有的通常意义下的逆矩阵性质AAHHAATTAAAAAAHHHHAAAA0001AAHHHHAAAAAAAHHAAAAAAAAAAAAHHAArAArArAr若A有满秩分解A=BC，则BCBCA若U∈Cm×m、V∈Cn×n都是酉矩阵，即UHU=UUH=Em、VHV=VVH=En，则HHUAVUAV若A是Hermite矩阵，即AH=A，则AAAA22AAAAAAAA22222、A+不具有的通常意义下的逆矩阵性质BAABkkAAAAAAA+与A的非零特征值并不互为倒数。四、线性方程组Ax=b求解（其中A∈Cm×n，b∈Cm×1，x∈Cn×1）若r(A|b)=r(A)，则Ax=b有解，该方程组为相容方程组。特别地，当A∈Cn×n且非奇异，则有唯一解bAx1若A为奇异方阵或者A不是方阵，则解不唯一，但可利用A-给出通解，且存在唯一的极小范数解xxbAxmin若r(A|b)≠r(A)，则方程组不相容（存在矛盾方程），则不存在通常意义下的解。许多实际问题需要求解矛盾方程的最小二乘解bAxxnCx1min一般矛盾方程组的最小二乘解不唯一，但最小二乘解的集合中存在唯一的最小范数解，这个解称为最佳逼近解（极小范数最小二乘解）xxbAxminmin1、相容方程组的通解存在G∈Cn×m使得x=Gb为Ax=b的解得充要条件是1AG齐次方程组AX=O的通解是YAAEX其中Y为任意n维列向量。相容线性方程组AX=b的通解是YAAEbAX2、相容方程组的最小范数解bAXm~3、不相容方程组的最小二乘解YAAEbAXllˆ4、不相容方程组的最佳逼近解bAX