矩阵理论(课件).

矩阵理论目的和内容•矩阵理论是求解多元线性方程组的有力工具；•现代工程中的一些问题，如果用矩阵表示，不但形式简洁，更重要的是具有适合计算机处理的特点。由于计算机的发展和普及，矩阵分析显得越来越重要；–举例•教学目的：–掌握主要的概念；–能够看懂相关文献，尤其是各种术语和符号的含义；–掌握与泛函分析交叉或相关的一些内容•许多领域日益增多的文献中大量使用泛函分析的术语、符号•sup(*)、inf()、动态系统的描述•电路系统LCR2R1u(t)u(t)iLiC)()(1tudtdiLiiRLLC)()(21tuiRuiiRccLCdtduCicc)()(1)(1)(2121211tuCRRuCRRiCRRiRuCLLC)()()()(2122112121tuLRRRuLRRRiLRRRRiCLL)()(212212212122tuRRRuRRRiRRRRuCRiRtyCLCC代入(1)代入(2)(1)(2)动态系统的描述(Continue))()()()(1)()()(21212121212112112121tuLRRRRLRRRRuiCRRCRRRLRRRLRRRRuiCLCL)()(2122122121tuRRRuiRRRRRRRtyCL写成矩阵形式：XAXBUYCDXUBUAXXDUCXY动态系统的描述(Continue)•机械系统的振动my(t)F(t)maFKfFFtFF)(dttdyffvFf)()()()()(22tFtKydttdyfdttydm)()(tytvmtFtvmftymKtatv)()()()()()(10)()(10)()(tFmtvtymfmKtvty)(tKyFK写成矩阵形式：XAXBUBUAXX动态系统的描述(Continue)•离散系统离散时间系统x(n)y(n))1()()(nynyny)()1()(nynyny))(()(1nynyKK))(()(1nynyKK)()()()(0111nycnycnycnycNNNN)()()()(0111nxdnxdnxdnxdMMMM)()1()1()(110NnyaNnyanyanyaNN)()1()1()(110MnxbMnxbnxbnxbMMMrrNkkrnxbknya00)()(动态系统的描述(Continue)•引入中间变量，化高阶差分方程为一阶线性差分方程组)1()1()()()1(0121NnxNnyNnxNnmNnm)()()(01NnyNnxNnm)1()2()2()()()1(10232NnxNnxNnyNnxNnmNnm……)1()1()()()()()1(1101NnxnxnxnyNnxNnmNnmNNNNNa1Na2Na…0a+)()()(10211NnmaNnmaNnmaNNN)()1()(01nyaNnyaNnyaNN))((0110NNNaaaNnx…………))(1(101101MMMaaaMnx))((0110MMMaaaMnx))((00anx000bMbMrrNkkrnxbknya00)()(=0动态系统的描述(Continue))1()1()()()1(0121NnxNnyNnxNnmNnm)()()(01NnyNnxNnm)1()2()2()()()1(10232MnxNnxNnyNnxNnmNnm……)1()1()()()()()1(1101NnxnxnxnyNnxNnmNnmNNNN)()()()(01201101NnmaaNnmaaNnmaaNnmNNNN写成矩阵形式:)1()1()1()1(000010)()()(22212101010nxnmnmnmnmnmnmNNaaaaaaNNN)()()()(]0001[)(021nxnmnmnmnyN)1()1()(nHxnGMnM)()()(nDxnCMny相关概念及定义•矩阵(Matrix)–矩阵是数域F上的m×n个数构成的数表：称为F上m行、n列的矩阵，记为A称为A的第i行、第j列元素，记为(A)ijmnmmnnaaaaaaaaa212222111211Faiji=1,…,m,j=1,…,nijijaA)(相关概念及定义（continue）–数域F上的一切m行、n列的矩阵的集合，记为：–若，，则称矩阵A与B同型•数域（Field）–若数集F含有数1且对四则运算封闭，则称F为数域•映射（Mapping）–若，，若存在一个对应关系（或对应法则，correspondencerelationshiporcorrespondencerule），，有Y中的唯一的一个元素y与之对应，就称给出了一个从X到Y的一个映射f，记作：f:X→Y，或y=f(x)–映射是函数概念的推广，它与函数、算子、变换表示的是同一个概念–特别地，当Y为数集(实数集R或复数集C)时，称f为定义在集合X上的泛函（functional）nmFnmFAnmFBXYXx相关概念及定义（continue）•直积集–设A，B是给定的集合，称为A与B的直积集，简称积集、直积–举例：•，，那么表示XOY平面上矩形中点的集合•表示XOY平面上所有点的集合–A×B中的元素被称为有序对，即当时，–直积集的概念可被推广到两个以上给定的集合：ByAxyx,:),(BARbaA],[RdcB],[],[],[dcbaBA2RRR21212211,),(),(yyxxyxyxyx),(),(xyyxnnnnAxAxAxxxxAAA,,,:),,(22112121niiA1记为：相关概念及定义（continue）•代数运算–如果通过法则，，得到唯一的，则称为A与B的直积集到C的一个代数运算：–称c为和经运算得出的结果，记为：•集合A对运算封闭：–若是的一个代数运算，则称集合A对运算封闭–N和Z不是数域–Q、R和C都是数域–Q是最小的数域–C是最大的数域CcBbAa,CBA:bacAaBbAAA相关概念及定义（continue）在矩阵的定义的基础上，可定义矩阵相等、负矩阵、零矩阵、方阵、单位阵、对角阵、逆矩阵等•矩阵相等设，，若则称矩阵A与B相等，记为A=B•负矩阵对称-A为A的负矩阵•零矩阵元素全为零的矩阵，称为零矩阵，记为0nmFAnmFBijijBA)()(，i=1,…,m,j=1,…,nnmijFa)(nmijFaA)(相关概念及定义（continue）•方阵（Squarematrix）行数和列数相同的矩阵称为方阵，行数为n的方阵称为n阶方阵。对方阵，又定义了主对角线元素、副对角线元素等概念：称为主对角线元素称为副对角线元素•对角阵（diagonalmatrix）除了主对角线元素以外，其余元素均为0的方阵，称之为对角阵。•单位阵（Identitymatrix）主对角线元素全为1的对角阵，称之为单位阵。简记为I。N阶单位阵记为nnaaa,,,2211nnnaaa11,21,,,nI矩阵运算•矩阵加法：设，称为矩阵A与B之和。矩阵加法是的代数运算，性质：交换律：A+B=B+A结合律：(A+B)+C=A+(B+C)A+0=0+A=AA+(-A)=(-A)+A=0•矩阵减法：设，称为矩阵A与B之差。mxnijFaA)(mxnijFbB)(mxnijijFbaBA)(mxnmxnmxnFFFmxnFAmxnFBmxnFBABA)(矩阵运算（Continue）•数乘矩阵：设，称为λ与之积。推论数乘矩阵是的一个代数运算，性质：1。2。分配律3。分配律4。结合律•矩阵乘法:设令FmxnijFaA)(mxnijFaA)(:)1(AAmxnmxnFFFAA1BABA)(AAA2121)()()()(211221AAA,)(mxnijFaAnxpijFbB)(Fbabababacnkkjiknjinjijiij12211,,,1mi.,,1pj矩阵运算（Continue）称为A与B之积(1)A的列数=B的行数;(2)AB的行数为A的行数,列数为B的列数;(3)AB的i行j列元素为A的i行元素与B的j列对应元素之积之和举例：mxpFaijAB)(1214A1011B1011202210114044AB4BA矩阵运算（Continue）AB≠BA：矩阵乘法不满足交换律A≠0；B≠0，但AB=0。矩阵乘法是的一个代数运算，它有以下性质：1°(AB)C=A(BC)结合律2°(A+B)C=AC+BC分配律A(B+C)=AB+AC分配律3°(λA)B=A(λB)=λ(AB)结合律4°A是方阵：AI=IA=AmxpnxpmxnFFF0000042213612AB3612A4221BF矩阵运算(Continue)•方阵的幂（Power)设称为A的k次幂，并定义因为矩阵乘法满足结合律，所以又因矩阵乘法不满足交换律，一般地：,nxnFANk个kkAAAAIA021212121)(,kkkkkkkkAAAAAkkkBAAB)(2222))((BABBAABABABA转置矩阵和分块矩阵•转置矩阵（Transposedmatrix）可将对矩阵行与列的研究，转化为对其中之一的研究设称为A的转置矩阵，有的教科书上记为易见：转置矩阵具有以下性质：可用数学归纳法推广至多个矩阵的情形mxnijFaA)(mnmnnnmmTFaaaaaaaaaA212221212111AjiijTAA)()(AATT)(TTAA)(TTTBABA)(TTTABAB)(F转置矩阵和分块矩阵•分块矩阵用水平线或垂直线将矩阵分成若干个小矩阵，并将A视为以这些小矩阵为元素组成的矩阵，称之为A的分块矩阵，其中的每个小矩阵称为A的子矩阵。一般用表示r行s列的分块矩阵，Aij为其第i行第j列上的子矩阵•分块矩阵的相等–若两个分块矩阵恢复成普通矩阵是相等，则称此两分块矩阵相等•对、用相同的划分法分为分块矩阵，则矩阵加法、减法和数乘矩阵的法则可推广到分块矩阵上AmxnFAsrijA)(i=1,…,r,j=1,…,smxnFAmxnFB分块矩阵的加法、减法、数乘其中，则1。2。将的列，的行用相同的划分法划分为分块矩阵，则矩阵乘法可推广到