矩阵理论13

返回3特征值与特征向量nnnAC,CxC,令如果存在和非零向量使定义1Axx,AxA则叫做的特征值，叫做的属于特征值的特征向量.一、特征值和特征向量的概念返回的所有特征值的全体，叫做的AA谱,记为(A).11rnnr|EA|()()1项式，其中叫做riiinn,,n代数重数.如果）iirank(EAnm,叫做特征多的i叫做的iim几何重数.几何重数即是Ax=0对应特征值ri的线性无关特征向量的个数返回定义1：Jordan块如下定义2：Jordan块矩阵如下返回定理112nnrACr,,,,若有个特征值12rn,n,,n,其代数重数分别为则必存在可逆111rnnrPAPJdiag(J(),,J())JAJordan矩阵叫作的标准形。nnPC,矩阵使得定义2如果存在可逆矩阵如果存在可逆矩阵nnAC,若使得nnPC,112nPAPdiag(,,,)A把矩阵叫作可对角化矩阵。返回Jordan矩阵的结构与几个结论:(1)Jordan块的个数r是线性无关特征向量的个数;(2)矩阵可对角化,当且仅当r=n;(3)相应于一个已知特征值的Jordan块的个数是该特征值的几何重数,它是相应的特征子空间的维数,相应于一个已知特征值的所有Jordan块的阶数之和是该特征值的代数重数.(4)特征值的几何重数≤代数重数.(5)矩阵不同特征值对应的特征向量线性无关.返回定理2令nnAC,则下列命题等价：(1)是可对角化矩阵A;(2)nCA在存在由的特征值向量构成的一组基底。(3)A的Jordan标准形中的Jordan块都是一阶的。(4)12iimn(i,,,n)二、特征值和特征向量的几何性质1.线性变换(V---n维线性空间)TTVVV,V(V中任一元素有V中唯一确定的元素与之对应),则称T为V的变换.返回设是线性空间的一个线性变换，如果存在nTV(C)则叫做的特T特征向量。'1定义和非零向量使得nCV(C),T,征值，叫做的属于特征值的T3.线性变换的特征值2.线性变换T为V的变换且满足nP12,V,T()T()T()kPT(k)kT()，则称T为V的线性变换.例:在线性空间中,求微分是一线性变换,即nDf(t)f(t),f(t)P.返回2.线性变换与矩阵V---n维线性空间,12n,,,为基,T---V上的线性变换1122111nnniiiininiiiiTa,Ta,,Ta则有1212nnT,,,T,T,,T矩阵A称为线性变换T在基下的矩阵.11n,,,1112121222121212nnnnnnnnaaaaaa,,,,,,Aaaa返回1211n,,,TA故11niiniT,x,,x,即得Axx3.线性变换与矩阵特征值关系1212nnTT,T,,Tx,,,Ax12Tnnxx,x,,xC,返回三、广义特征值问题设、如果存在和非零向量使得nnnABC,CxC,(1-3)AxBx广义特征向量。则称为矩阵与确定的AB称为与对应的x广义特征值，(1)如果B可逆时，式(1-3)可化为1(1-4)BAxx返回(2)当A、B都是Hermite矩阵，即、HHAABB且B正定时，有且正定HBB存在可逆矩阵PHBPP则(1-3)式化为HAxPPxxyPPxy1,则记11)(APPQH11()HPAPyyQyyQQH1广义特征值都是实数n,nyy,,1存在标准正交基HijijyyiiPxyHHHHHijijijijyy(Px)(Px)xPPxxBxHijijxBx,返回121212121012234设矩阵，且正定，与共扼向量系具有以下性质，（）（）线性无关（）与满足方程（）若令HHniniiiiinHHnnnAA,BBBBx,x,,xx(i,,,n);x,x,,x;xAxBx;X(x,x,,x),XBXE,XAXdiag(,,,)6定理返回§6欧氏空间和酉空间定义1nVR,,V,,在线性空间()上，若映射()满足(1)()()0()00,;,,正定性(2)()()()k,k,齐次性(3)():()=(),,交换律(4)():()()(),,,分配律()()n,VR,Vn则映射是上的内积定义了内积的为维欧几里得空间,简称欧氏空间.例0.nnnT,R,AR,(,)A设则上的内积吗？是nR返回111:()()TTnnna,,a,b,,bR,例若规定1()nTiii,ab,n,R.则上式定义了一个内积是内积空间2:[][]Ca,ba,bRf(x),g(x)Ca,b例表示在所有实连续函数的全体,其构成上的线性空间,[]规定(()())bafx,gxf(x)g(x)dx[]:Ca,b证明是欧氏空间.baf(x),g(x),f(x)g(x)dx是唯一确定实数返回1bbaaf,gf(x)g(x)dxg(x)f(x)dxg,f2bbaakf,gkf(x)g(x)dxkf(x)g(x)dxkf,g3　babbaafg,hf(x)g(x)h(x)dxf(x)h(x)dxg(x)h(x)dxf,hg,h240bbaaf,ff(x)f(x)dxf(x)dx且200baf(x)dxf(x)返回11ijnnijnnnnTTijijijA(a),B(b)tr(BA)abtr(AB)(A,B)(B,A)11nnTijijij(,):A,BV,(A,B)abtr(AB)nnVR,V(R),例3：若规定内积如下TTT(kA,B)tr[(kA)B]tr(kAB)ktr(AB)k(A,B)21111000120nnnnTijijijijijij(A,A)tr(AA)aaa,(A,A)ai,j,,,nATTTTTTT(AB,C)tr[(AB)C]tr[(AB)C]tr(ACBC)tr(AC)tr(BC)(A,C)(B,C)返回12121nTTnniii(a,a,,a),(b,b,,b),(,):(,)iabVR,V(R),例4：若规定内积如下111nniiiiii.(,)iabiba(,)112nniiiiii.k,(k,)ikabkiabk(,)121113Tnnnnniiiiiiiiii.(c,c,,c)R(,)i(ab)ciacibc(,)(,)2114000nniiiii.(,)iaaia,(,)返回定义:(),=()nijijijnV,a,Aa,Gram.11设,,是欧氏空间一组基令则称矩阵为基,,的度量矩阵或矩阵定理:(1)TAA;111(2)()()()=nTTTnn,V,,,,xx,,x,yy,,y,,xAy;在基下的坐标分别为则1(3)0(,,)0TnV,x,xAx.必有=()ijnAaV,1设矩阵为欧氏空间的一组基,,的度量矩阵则记住结论其实为(a，a）肯定大于0返回酉空间定义3nVC,,V,,在线性空间()上，若映射()满足(1)()()0()00,;,,正定性(2)()()()k,k,齐次性(3)():()=(),,交换律(4)():()()(),,,分配律()()n,VC,Vn则映射是上的内积定义了内积的为维酉空间.返回111:()()TTnnna,,a,b,,bC,例若规定1()nHiii,ab,n,C.则上式定义了一个内积是酉空间返回定义:(),=()nijijijnV,a,Aa,Gram.11设,,是酉空间一组基令则称矩阵为基,,的度量矩阵或矩阵定理:(1)HAA;111(2)()()()=nTTHnn,V,,,,xx,,x,yy,,y,,xAy;在基下的坐标分别为则1(3)0(,,)0HnV,x,xAx.必有=()ijnAaV,1设矩阵为酉空间的一组基,,的度量矩阵则返回:(),()VV,:||||,定义设是酉欧氏空间的长度定义为定理.Vn酉(欧氏)空间,则向量长度具有以下设是维的性质:(1)000||||,||||(2)||k|||k|||||(4)||||||||||||.(3)()|,|||||||||,CauchySchwarz,不等式等号成立的充要条件是线性相关.返回定义,V,,.||||||||设是欧氏空间的两个非零向量,它们之间的夹角定义为()=arccosT2T2(111)(11111)nn:,,,R,,,,,,R.例设求两向量夹角.返回定义3d(x,y)||xy||xy向量和的距离.定义40),(yxxyxy.向量和正交,记为勾股定理：yx222||||||||||||yxyx垂线最短定理：中的一个固定向量欧氏空间)(RVn.的距离“垂线最短”和一个子空间中各向量返回),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(2122212121111kkkkkkkG，12knV,,,Gram:维欧氏空间中向量的行列式定义5返回行列式的性质：Gram12knV,定理:维欧氏空间中向量组，，线性相关12()0kG的充要条件是，，，i分别与作内积得方程组1111221((()0kkx,x,x,)+)+11220kkxxx证:++2112222((()0kkx,x,x,)+)+1122((()0kkkkkx,x,x,)+)+返回补充:初等矩阵()=nHu,vC,C,Eu,v,Euv.设则称为初等矩阵定义100u,v,.1.初等矩阵的特征向量()一、初等矩阵的一般形式1111nnuv,u,,uv,u,u,,uE(u,v,)n(2)设是的一组基则是的个线性无关的特征向量.111nuv,u,,uv,E(u,v,)n(1)设是的一组基它们也是的个线性无关的特征向量.返回3(())=1H.detEu,v,vu1111HEu,v,,,,,vu2.初等矩阵的特征值(())={}nHa,bCu,v,,abE(u,v,)ab,(u)va5.非零向量,存在使得.1(10)1HHE(u,v,)E(u,v,),vuvu4.返回1TijijijijijEE(ee)(ee)E(ee,ee,);3.初等变换矩阵TijjijiE(k)EkeeE(e,e,k);11TiiiiiE(k)E(k)eeE(e,e,k).第i行的k倍加到第j列上来返回221HHH(u)E(u,u;)Euu,(uu).Householder4.初等酉阵(变换)1(1)