矩阵的相似对角化

错误!未指定书签。错误!未指定书签。错误!未指定书签。错误!未指定书签。错误!未指定书签。学科分类号（二级）110.21本科学生毕业论文（设计）题目矩阵的对角化姓名李学号院、系数学学院专业数学与应用数学指导教师职称（学历）副教授1矩阵的对角化摘要:矩阵的对角化是高等代数课程的一个重要内容,相似的矩阵具有一些相同的性质,比如相同的特征值,秩,迹,行列式等.因此,对于可对角化的矩阵,可通过研究它的相似标准形来讨论这类矩阵的性质.本文总结了矩阵可对角化的条件,归纳了矩阵对角化的基本方法和步骤,并通过实际例子展现其具体应用.关键词:特征值；特征向量；矩阵对角化1引言鉴于矩阵对角化的重要性,许多学者在这方面展开了探讨.王兴民,孙霞等人在文献[1]中阐述了矩阵的特征值与特征向量及其相似对角形的统一求法；在此基础上,王新民又在文献[2]中归纳了矩阵特征值与特征向量及其相似对角形的优化求法；许必才在文献[3]中探讨了用初等变换的方法求解相似对角形；曾文才在文献[4]中更加详尽的讨论了矩阵可对角化的充要条件及其变换矩阵的构造；刘学鹏,王文省在文献[5]中阐述了一类特殊矩阵,即实对称矩阵的对角化过程；张立群,郭伟在文献[6]中详细的讨论了矩阵对角化的判别方法；李丽花则在文献[7]中概括阐述了矩阵可相似对角化的条件.另外,在权威的高等代数教材[8]及专门介绍矩阵理论的书[9]中,我们可以找到矩阵对角化的相关概念和理论.通过阅读上述文献,我们发现,这些文章涉及到的关于矩阵的相似对角化的方法部分是重复的,而且每篇论文只就某个方面展开论述.本文将对这些方法和结论做系统的整理和归纳,这对于学习矩阵相似对角化及其应用具有一定意义.2任意数域上矩阵的对角化问题本节具体讨论任意数域上矩阵对角化的条件及对角化的步骤.先给出一些基本概念.设A,B是n阶矩阵,若存在可逆矩阵P,使得错误!未找到引用源。则称矩阵A与矩阵B相似,记为A∽B.若n阶矩阵A与对角矩阵错误!未找到引用源。相似,则称A可相似对角化,记为错误!未找到引用源。∽错误!未找到引用源。,并称错误!未找到引用源。是错误!未找到引用源。的相似标准形.对于矩阵可相似对角化的条件,有以下定理.2定理2.1设错误!未找到引用源。是数域错误!未找到引用源。上n阶矩阵,下列条件等价:(1)A可对角化；(2)A在错误!未找到引用源。中有n个线性无关的特征向量；(3)0AE的根全在P中,且每个特征根的几何重数等于代数重数.根据上述定理,可按以下步骤来处理矩阵的对角化问题:(1)求出矩阵错误!未找到引用源。的特征值错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。,…,错误!未找到引用源。；(2)若错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。,…,错误!未找到引用源。互不相同,则错误!未找到引用源。可对角化,可直接进行步骤4；(3)若特征值有重根,则求该特征值有几个线性无关的特征向量,如果k重特征值有错误!未找到引用源。个线性无关的特征向量,则错误!未找到引用源。可对角化,否则错误!未找到引用源。不可对角化.(4)当A可对角化时,求出各特征值对应的特征向量错误!未找到引用源。,2,…,na；并排列成矩阵错误!未找到引用源。=（错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。）,则错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。.注:设错误!未找到引用源。是数域错误!未找到引用源。上n阶矩阵,如果错误!未找到引用源。在错误!未找到引用源。中有n个互不相同的特征值,那么A在P上可对角化.该条件仅仅是“错误!未找到引用源。在错误!未找到引用源。上可对角化”的充分条件,反之不成立.例2.1已知错误!未找到引用源。,判断错误!未找到引用源。是否可对角化.解:由特征多项式错误!未找到引用源。知0,1是错误!未找到引用源。的特征值,其中错误!未找到引用源。是错误!未找到引用源。的二重特征值.且10,20AErnArAEr,这表明二重根0只有一个线性无关的特征向量,故错误!未找到引用源。不能相似对角化.3例2.2设错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。,求可逆矩阵错误!未找到引用源。,把错误!未找到引用源。化为相似标准形错误!未找到引用源。,并写出对角矩阵错误!未找到引用源。.解:先求出错误!未找到引用源。的特征值,特征向量.该矩阵的特征多项式是错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。.所以错误!未找到引用源。的特征值为0,-1,1.对于错误!未找到引用源。=0,解齐次方程组错误!未找到引用源。.由错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。000010201可求得特征向量错误!未找到引用源。.对于错误!未找到引用源。,解齐次方程组错误!未找到引用源。.由错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。000010101可求得特征向量错误!未找到引用源。.对于错误!未找到引用源。=1,解齐次方程错误!未找到引用源。,由)(AE=错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。000210301.可求得特征向量错误!未找到引用源。.令错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。.则错误!未找到引用源。.3实对称矩阵的对角化问题及其应用4实对称矩阵是一类相对特殊的矩阵,这类矩阵必可以相似对角化.由于其特征值全为实数,特征向量全为实向量,不同特征值的特征向量互相正交,故通常采用正交矩阵将其对角化.用正交矩阵对实对称矩阵对角化的步骤是:（1）求出矩阵错误!未找到引用源。的特征值错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。,…,错误!未找到引用源。；（2）求出对应的特征向量错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。,…,错误!未找到引用源。；（3）当错误!未找到引用源。的特征值互不相同时,将特征向量单位化即可构造矩阵错误!未找到引用源。；若存在特征值重根错误!未找到引用源。时,需检验特征向量是否正交,否则对其进行Schmidt正交法处理,构造正交矩阵错误!未找到引用源。,将矩阵对角化为APP1例3.1设矩阵错误!未找到引用源。为三阶实对称矩阵且各行元素之和均为3,向量错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。为线性方程组错误!未找到引用源。的两个解.（1）求错误!未找到引用源。的特征值与特征向量；（2）求正交矩阵错误!未找到引用源。和对角矩阵错误!未找到引用源。,使错误!未找到引用源。.解:（1）由于错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。为线性方程组错误!未找到引用源。的两个解.所以错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。是错误!未找到引用源。对应于特征值0的两个线性无关的特征向量,又因为错误!未找到引用源。的各行元素之和均为3,所以3也是错误!未找到引用源。的特征值,错误!未找到引用源。是矩阵错误!未找到引用源。对应于特征值3的特征向量.经检验,所求得的两个向量并不正交,因此要对其进行正交化处理.（2）将错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。正交化:错误!未找到引用源。再将错误!未找到引用源。单位化得错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。,令错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。.则5错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。.在解析几何中,正交相似标准形可用于判断二次曲面的形状,常用方法是将实二次型经正交变换化为标准形.例3.2已知实二次型3231212322213216621822,,xxxxxxxxxxxxf.（1）求二次型对应矩阵的特征值.（2）判定方程错误!未找到引用源。=1表示何种二次曲面.解:（1）二次型),,(321xxxf的矩阵错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。,则错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。,故二次型对应矩阵错误!未找到引用源。的特征值为错误!未找到引用源。（2）由（1）知,存在正交矩阵错误!未找到引用源。使实对称矩阵错误!未找到引用源。正交相似于对角矩阵错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。.作正交变换错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。,则二次型化为标准形错误!未找到引用源。.此时方程错误!未找到引用源。=1即错误!未找到引用源。=1.这表明方程1,,321xxxf表示椭圆柱面.4Jordan标准形对于可对角化的矩阵,通常采用上述方法化简处理,但并不是所有的矩阵都可以对角化,如例2.1中矩阵错误!未找到引用源。便不可对角化,对于这类不可以对角化的矩阵,为了方便计算或研究,我们可以退一步求次之,即使得矩阵化为分块对角矩阵,也就是将一个方阵与分块对角矩阵相似,这个问题在复数域上得到了非常完美的解决,即矩阵的Jordan相似标准形.为了陈述Jordan标准形的具体理论,首先介绍几个概念.若多项式错误!未找到引用源。使得矩阵A满足0)(Af,则称错误!未找到引用源。为矩阵错误!未找到引用源。的零化多项式.矩阵错误!未找到引用源。的所有零化多项式中,次数最低且首项系数为1的多项式错误!未找到引用源。称为矩阵错误!未找到引用源。的最小多项式.错误!未找6到引用源。-矩阵错误!未找到引用源。的所有不为零的错误!未找到引用源。阶子式的首项系数为1的最大公因式)(kD,叫做错误!未找到引用源。的错误!未找到引用源。阶行列式因子.错误!未找到引用源。的标准形的主对角线上的元素叫做错误!未找到引用源。的不变因子.数字矩阵错误!未找到引用源。的特征矩阵错误!未找到引用源。的所有次数大于零的不变因子在复数域上的标准分解式中的所有一次因式的幂,叫做矩阵A的初等因子.若矩阵错误!未找到引用源。与Jordan形矩阵错误!未找到引用源。相似,那么就称错误!未找到引用源。为错误!未找到引用源。的Jordan错误!未找到引用源。标准形.下面的定义4.1给出了Jordan形矩阵的具体描述.定义4.1形式为错误!未找到引用源。的矩阵称为若尔当(Jordan)错误!未找到引用源。块,其中错误!未找到引用源。是复数,由若干个若尔当块组成的准对角矩阵称为若尔当形矩阵,其一般形状如错误!未找到引用源。,其中错误!未找到引用源。,而错误!未找到引用源。中有一些可以相等.我们要求得一个矩阵A的Jordan错误!未找到引用源。标准形,可以分为以下几个步骤:)1(将矩阵A的特征矩阵AE化为对角形)(D.)2(将)(D对角线上次数大于零的多项式分解为一次因式的幂,这些一次因式的幂即为矩阵A的所有初等因子.)3(将初等因子ki)(对应一个Jordan错误!未找到引用源。块),(iikJ.)4(将诸Jordan块排成Jordan形矩阵.),(),(11sskJkJJ即可得到矩阵A的Jordan标准形.例4.1求矩阵A=错误!未找到引用源。的最小多项式及Jordan错误!未找到引用源。标准形.7解:（1）A的特征多项式是错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。.由于2A=错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。,)(EAA=错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。,)(2EAA=错误!未找到引用源。1222001101210000=错误!未找到引用源。,所以矩阵A的最小多项式错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。.)2(由)1(知矩阵A的最后一个不变因子错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。,所以，3d，错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。=1.于是矩阵A的初等因子为错误!未找到引