矩阵的若尔当标准型及简单应用

矩阵的及若尔当标准型及简单应用摘要：矩阵的若尔当标准形是线性代数的一个重要的的组成部分，他通过数字矩阵的相似变换得到。矩阵的若尔当标准型理论在数学、理论力学、计算方法、物理、化学及数学的其他领域都有极其广泛应用。每个n级得复数矩阵A都与一个若尔当形矩阵相似，这个若尔当形矩阵除去其中若尔当块的排列顺序外是被矩阵A唯一决定的，它称为A的若尔当标准形。对于n阶矩阵来说，如果他的特征根方程有重根且重根的个数等于其相应的特征向量个数时，此n阶矩阵就可通过相似变换化为对角形。本文主要通过研究矩阵的极小多项式、可逆矩阵P的求法，以及若而当标准型的几种求解方法，对若而当标准型矩阵进行探讨。关键词：若尔当线性变换矩阵标准1定义1：设是一个复数，矩阵10000..................00...1000...0100...00，其中主对角上的元素都是，紧邻主对角线下方的元素都是1，其余位置都是零，叫做属于的一个若尔当（或若尔当块）.当=0时，就是所谓的幂零若尔当矩阵.定理1：设是n维向量空间V的一个线性变换，k,...,,21都是的一切互不相同特征值，那么存在V的一个基，关于这个基的矩阵有形式kBBB0021这里iB=iisiiJJJ0021，而iisiiJJJ,...,,21都是属于i的若尔当块，.,...,2,1ki证：设的最小多项式是rkkrxxxP)...()()(11，而)(xP在复数域上是不可约的因式分解，这里k,...,,21是互不相同的特征值，krrr,...,,21是正整数。又iV=kerViri{)(｜0)(iri}，,,...,2,1ki所以空间V有直和分解V=....1kVV2对于每一i，令i是—i在iV上的限制，那么i是子空间iV的一个幂零线性变换，而子空间iV可以分解为i一循环子空间的直和：iisiiWWV...1.在每一循环子空间),...2,1(iijsjW里，取一个循环基，凑成iV的一个基，那么i关于这个基的矩阵有形状iisiiiNNNN0021这里),...,2,1(iijsjN是幂零若尔当块。令|iiV，那么i=i+i，于是对于iV加上基来说，i的矩阵是iiisiiisiiiiiiJJJNNNB0000002121这里iisiiJJJ,...,,21都是属于i的若尔当块。对于每一子空间iV，按以上方式选取一个基，凑起来成为V的基，那么关于这个基的矩阵就是有定理所求的形式（2）.注意：在矩阵（2）里，主对角上的第i块B，是|iiV的矩阵.而子空间kVV,...,1，显然由唯一确定，而出现在每一iB里的若尔当块iisiiJJJ,...,,21里由i唯一确定的，因而是由唯一确定。定义2：形式如mJJJ0021的n阶矩阵，其中每一J都是一个若尔3当块，叫做一个若尔当标准形式.例如：2000001000001000001100002,2000001000001000001000002,1100001100001000002100002都是若尔当标准形式.定理2：复数域上每一n阶矩阵都与一个当尔当标准形式相似，除了各若尔当块排列的次序外，与A相似的若尔当标准形式是由A唯一确定的。证：在一个对角线分块矩阵里，重新排列各个小块矩阵的次序显然得到矩阵，在由若尔当块唯一性得到证明。定理3：（1）设V为K上的n维线性空间，线性变换T：VV的特征多项式分解为K上的一次式的积.rrTnrnTatatatatt)...()(,)...()()(1111，Kaar,...,1，.1),(iijinjiaa这里，V是弱特征空间)(~iaV的直和V=)(~...)(~1raVaV，又})(|{)(~OXaITVxaVIvi，dim)(~iaV=in,T在)(~iaV上的限制T|)(~iaV的特征多项式和最小多项式为.)(,)(iiiniatat。（2）设矩阵A（n，n，K）的特征多项式分解为K上一次式积.detKaaatatatatAtErrAnrnnrr,...,,)...()(,)...()()(1111,4.1),(iijinjiaa。这时，存在正则矩阵P),,(Knn，)(...)(11raJaJAPP个以上个以上个至少001)1,(...)1,()1,(...)1,(),(...),()(iiiiiiiiiiiaJaJaJaJaJaJaJ方阵J)(ia的结束等于in，构成J)(ia的若尔当的个数等于属于ia的特征空间多项式的维数).1(ri若尔当块矩阵1PAP称为矩阵A的若尔当。注意：)(...)(1rqaJaJAPP中的J)(ia，其j阶若尔当块的个数又A唯一确定。例1：证明对A，B（n，n，C），存在正则矩阵P，使1PAP=BA和B具有相等的若尔当标准型。证：设A和B具有相等的若尔当标准型J，则存在正则矩阵1P，2P，使11PA1P=J，12PB2P=J，令1P12P=P，则P正则接1PAP=B反之，设已存在正则矩阵P，使1PAP=B，设JAQQ1是若尔当标准型，则JPQAPQ)()(1，故A的若尔当标准型也是J。例2：求矩阵C=601151104，603622845131352013D的若尔当标准型，求实矩阵Q使DQQ1成为若尔当矩阵.解：5（1）3233)5(1257515||ttttCtE，rank1)5(3EC,故特征空间V（5）的维数是3–rank(C-53E)=2，于是机若尔当块的个数为2，C的若尔当标准型为5515.(2)).2()3(1834||2233tttttDtE方程（D+23E）x=0的通解为1p=uuu=111u.例如：令u=1，得1p=111，dim=V（-2）=1，（D-33E）x=0，的通解是1q=47070vvv，所以属于特征值3的特征空间V（3）的维数是1.故属于特征值3的若尔当块是1个.例如：令v=1，得1q=170，方程（D-33E）x=1q的通解是74721例如：令10，得2q=6101，D1p=-21p，D2q=31q，D2q=1q+32q.故若令Q（1p1q2q），则DQ=（D1pD1qD2q）=（-21p31q61q+32q）=Q3132，所以Q=6411070101，01221AQQ.参考文献：[1]张禾瑞、郝炳新：高等代数，高等教育出版社，第四版.[2]王萼芳、石生明：高等代数，高等代数出版社，第三版.