矩阵的逆及其应用

矩阵的逆及其应用姓名：刘欣班级：14级数计1班专业：数学与应用数学学号：1408020129一、矩阵的逆的概念对于n阶矩阵A，如果有一个n阶矩阵B，使得ＡＢ＝ＢＡ＝Ｅ，则说矩阵Ａ是可逆的，并把矩阵Ｂ称为Ａ的逆矩阵，Ａ的逆矩阵记作Ａ−１。二、逆矩阵的性质和定理㈠逆矩阵的性质1、若矩阵A、B均可逆，则矩阵AB可逆，其逆矩阵为B−1A−1，当然这一性质可以推广到多个矩阵相乘的逆。若Ａ１，Ａ２，…，Ａｍ都是ｎ阶可逆矩阵，则Ａ１Ａ２…Ａｍ也可逆，且（Ａ１Ａ２…Ａｍ）−１＝（Ａｍ）−１…（Ａ２）−１（Ａ１）−１.2、若A可逆，则A−1也可逆，且（A−1）−1=A；3、若A可逆，实数λ≠0，则λA可逆，且（λA）−1=1λA−1；4、若A可逆，则AT也可逆，且（AT）−1=（A−1）T；5、(A′)−1=(A−1)′；6、矩阵的逆是唯一的；证明：运用反证法，如果A是可逆矩阵，假设B,C都是A的逆，则有ＡＢ=ＢＡ=E=ＡＣ＝ＣＡ，Ｂ＝ＢＥ＝Ｂ（ＡＣ）＝（ＢＡ）Ｃ＝ＥＣ＝Ｃ（与Ｂ≠Ｃ矛盾），所以是唯一的。㈡逆矩阵的定理１、初等变换不改变矩阵的可逆性。２、ｎ阶矩阵可逆的充分必要条件是Ａ与ｎ阶单位阵Ｉｎ等价。３、ｎ阶矩阵Ａ可逆的充分必要条件是Ａ可以表成一些初等矩阵的乘积。４、ｎ阶矩阵可逆的充分必要条件是Ａ只经过一系列初等行变换便可化成单位矩阵。５、ｎ阶矩阵Ａ可逆的充分必要条件是｜Ａ｜≠０。三、逆矩阵的计算方法㈠定义法定义：设Ａ是ｎ阶方阵，如果存在ｎ阶方阵Ｂ使得ＡＢ＝Ｅ，那么Ａ称为可逆矩阵，Ｂ称为Ａ的逆矩阵，记为Ａ−１。例１、求矩阵Ａ＝(２２３１−１０−１２１)的逆矩阵。解：∵｜Ａ｜≠０∴Ａ−１存在设Ａ−１＝(ｘ１１ｘ１２ｘ１３ｘ２１ｘ２２ｘ２３ｘ３１ｘ３２ｘ３３)，由定义知Ａ−１Ａ＝Ｅ，∴(２２３１−１０−１２１)(ｘ１１ｘ１２ｘ１３ｘ２１ｘ２２ｘ２３ｘ３１ｘ３２ｘ３３)＝(100010001)由矩阵乘法得(２ｘ１１＋２ｘ２１＋３ｘ３１２ｘ１２＋２ｘ２２＋３ｘ３２２ｘ１３＋２ｘ２３＋３ｘ３３ｘ１１−ｘ２１ｘ１２−ｘ２２ｘ１２−ｘ２３−ｘ１１＋２ｘ２１＋ｘ３１−ｘ１２＋２ｘ２２＋ｘ３２−ｘ１３＋２ｘ２３＋ｘ３３)＝(100010001)由矩阵相乘可解得{ｘ１１＝１ｘ２１＝１ｘ３１＝−１；{ｘ１２＝−４ｘ２２＝−５ｘ３２＝６；{ｘ１３＝−３ｘ２３＝−３ｘ３３＝４故A−1=(1−4−31−5−3−164)㈡、伴随矩阵法ｎ阶矩阵Ａ＝（ａｉｊ）可逆的充要条件｜Ａ｜≠０，而且当ｎ（ｎ＞＝２）阶矩阵Ａ有逆矩阵，Ａ−１＝１|Ａ|Ａ∗，其中Ａ∗为伴随矩阵。注释：①对于阶数较低（一般不超过３阶）或元素的代数余子式易于计算的矩阵可用此法求其逆矩阵，注意Ａ∗＝（Ａｊｉ）ｎ×ｍ元素的位置及符号。特别对于２阶方阵Ａ＝(ａ１１ａ１２ａ２１ａ２２)，其伴随矩阵Ａ∗＝(ａ２２−ａ１２−ａ２１ａ１１)，即伴随矩阵具有“主对角元素互换，次对角元素变号”的规律。②对于分块矩阵(ＡＢＣＤ)不能按上述规律求伴随矩阵。例２、已知Ａ＝(１０１２１０−３２−５)，求Ａ−１。解：∵｜Ａ｜＝２≠０∴Ａ可逆，由已知得Ａ１１＝−５，Ａ１２＝１０，Ａ１３＝７Ａ２１＝２，Ａ２２＝−２，Ａ２３＝−２Ａ３１＝−１，Ａ３２＝２，Ａ３３＝１Ａ−１＝１｜Ａ｜Ａ∗＝１２(−５２−１１０−２２７−２１)＝(−５２１−１２５−１１７２−１１２)㈢、行（列）初等变化法设ｎ阶矩阵Ａ，作ｎ×２ｎ矩阵，然后对此矩阵施以行初等变换，若把子块Ａ变为Ｉｎ，则子块Ｉｎ将变为Ａ−１，即初等变换［Ｅ，Ａ−１］。注释：①对于阶数较高（ｎ≧３）的矩阵，采用初等行变换求逆矩阵一般比用伴随矩阵法简便，在用上述方法求逆矩阵时，只允许施行初等行变换。②也可以利用(ＡＥ)初等列变换→(ＥＡ−１)求得Ａ的逆矩阵。③当矩阵Ａ可逆时，可以利用(Ａ，Ｂ)初等行变换→(Ｅ，Ａ−１Ｂ)，(ＡＣ)初等列变换→(ＥＣＡ−１)求得Ａ−１Ｂ和ＣＡ−１，这一方法的优点是不需要求出Ａ的逆矩阵和进行矩阵乘法仅通过初等变换，即求出了Ａ−１Ｂ和ＣＡ−１。例３、用初等行变换求矩阵Ａ＝(２３１０１３１２５)的逆矩阵。解：(Ａ，Ｅ)＝(２３１０１３１２５１０００１０００１)→(１２５０１３２３１００１０１０１００)→(１２５０１３００−６００１０１０１１−２)→(１２５０１３０−１−９００１０１０１０−２)→(１２５０１３００１００１０１０−１６−１６１３)→(１０００１０００１–１６−１３６４３１２３２−１−１６−１６１３)㈣、用分块矩阵求逆矩阵设Ａ、Ｂ分别为Ｐ、Ｑ阶可逆矩阵，则：(ＡＣＯＢ)−１＝(Ａ−１−Ａ−１ＣＢ−１ＯＢ−１)(ＡＯＤＢ)−１＝(Ａ−１Ｏ−Ｂ−１ＤＡ−１Ｂ−１)(ＡＯＯＢ)−１＝(Ａ−１ＯＯＢ−１)(ＯＡＢＯ)−１＝(ＯＢ−１Ａ−１Ｏ)例４、已知Ａ＝(００００５２２１１−２１１００００)，求Ａ−１。解：将Ａ分块如下：Ａ＝(００００⋮⋮５２２１⋯⋯⋯⋯⋯１−２１１⋮⋮００００)＝(ＯＡ１Ａ２Ｏ)其中Ａ１＝(５２２１)Ａ２＝(１−２１１)可求得Ａ１−１＝１｜Ａ１｜Ａ１∗＝(１−２−２５)，Ａ２−１＝１｜Ａ２｜Ａ２∗＝１３(１２−１１)Ａ−１＝(ＯＡ２−１Ａ１−１Ｏ)＝(００００⋮⋮１３２３−１３１３⋯⋯⋯⋯⋯１−２−２５⋮⋮００００)㈤解方程组求逆矩阵根据可逆的上（下）三角矩阵的逆仍是上（下）三角矩阵，且上（下）三角矩阵逆矩阵主对角元分别为上（下）三角矩阵对应的主对角元的倒数，可设出逆矩阵的待求元素；又由Ａ−１Ａ＝Ｅ两端对应元素相等，依次可得只含有一个待求元素的方程，因而待求元素极易求得，此法常用元素待求上（下）三角矩阵的逆矩阵。例５、求Ａ＝(１０１２００００２１１２３０１４)的逆矩阵。解：设Ａ−１＝(１０ｘ２１１2００００ｘ３１ｘ３２ｘ４１ｘ４２１３０ｘ４３１４)，先求出Ａ−１中主对角线下的次对角线上的元素ｘ２１，ｘ３２，ｘ４３，最后求ｘ４１，设Ｅ为４阶单位矩阵，比较(１０ｘ２１１２００００ｘ３１ｘ３２ｘ４１ｘ４２１３０ｘ４３１４)(１０１２００００２１１２３０１４)＝Ｅ的两端对应元素，得到０ｘ４１＋０ｘ４２＋３ｘ４３＋１４＝０；解得ｘ４３＝−１１２；１ｘ３１＋１ｘ３２＋２３＋１０＝０；解得ｘ４３＝−１２；０ｘ４１＋２ｘ４２＋１ｘ４３＋２４＝０；解得ｘ４２＝−５４；１ｘ４１＋１ｘ４２＋２ｘ４３＋１４＝０；解得ｘ４３＝−１８；于是，所求的逆矩阵为：Ａ−１＝(１０−１２１２００００−１２−１６１８−５４１３０−１１２１４)㈥、用克莱姆法则求解若线性方程组{ａ１１ｘ１＋ａ１２ｘ２＋⋯ａ１ｎｘｎ＝ｂ１ａ２１ｘ１＋ａ２２ｘ２＋⋯ａ２ｎｘｎ＝ｂ２………………ａｎ１ｘ１＋ａｎ２ｘ２＋⋯ａｎｎｘｎ＝ｂｎ的系数行列式Ｄ＝｜ａｉｊ｜ｎ≠０，则此方程组有唯一的一组解ｘ１＝Ｄ１Ｄ，ｘ２＝Ｄ２Ｄ，……ｘｎ＝ＤｎＤ，这里Ｄｉ是将Ｄ中的第ｉ列ａ１ｉ，……，ａｎｉ换成ｂ１，……ｂｎ得到的行列式。㈦、恒等变形法求逆矩阵有些计算命题表面上与求逆矩阵无关，但实质上只有求出矩阵的逆矩阵才能算出来，而求逆矩阵须对所给的矩阵等式恒等变形，且常变形为两矩阵的乘积等于单位矩阵的等式。㈧、用Hamilton-Caley定理求逆矩阵Hamilton-Caley定理：设Ａ是数域Ｐ上的ｎ阶矩阵ｆ(λ)=|λＥ－Ａ|＝λｎ＋ａ１λｎ−１＋……ａｎλ＋ａｎ为Ａ的特征多项式，则：ｆ(A)=|λE-A|=An+a1An−1+⋯…anA+anE=0于是－１ａｎ（Ａｎ−１＋ａ１Ａｎ−２＋……＋ａｎ−１Ｅ）因此Ａ−１＝１ａｎ（Ａｎ−１＋ａ１Ａｎ−２＋……＋ａｎ−１Ｅ）㈨、三角矩阵的一种求逆法如果ｎ阶矩阵Ｔ＝(t11t120t22⋯⋯⋯⋯t1n−1t1nt2n−1t2n⋯⋯00⋯⋯⋯0⋯⋯0tnn)可逆，那么他的逆矩阵是T=(t11−1t11−1a120t22−1…………t11−1a1n−1t11−1a1nt22−1a2n−1t22−1a2n……00………0……0tnn−1)其中{aii+1=−ti+1i+1−1×tii+1,(i=1,2,……，n−1)aij+1=−tij−1tij−∑ａkjtiktkk−1,(i=1,2,……，n−2;j=3,4,……，n)ｉ＜ｋ＜ｊ㈩、拼接新矩阵在可逆矩阵A的右方补上一个单位矩阵E，在A的下方补加上一个负单位矩阵-E，再在A的右下方补加上一个零矩阵0，从而得到一个新的方阵，对该方阵施行第三种行的初等变换，使其负单位矩阵-E化为零矩阵，那么原来的零矩阵0所化得的矩阵就是所要求的那逆矩阵A−1。四、矩阵的逆的应用(1)逆矩阵在解线性方程组中的应用设用矩阵表示的方程组为ＡＸ＝Ｂ，其中Ａ＝[ａij]n×nX=[x1x2……xn]TB=[b1b2……bn]T若A可逆→X=A−1B注：利用逆矩阵求解要求方程个数与未知数个数相等，且矩阵A可逆，否则此法失效。而Gauss消元法对方程组个数与未知元个数不等时仍适用（此时有可能不相容或有无穷多个解）。且Gauss消元法特别适合于计算机计算。(2)逆矩阵在求矩阵的秩中的应用设A是m×n矩阵，P和Q分别是m阶和n阶可逆矩阵，则r(PA)=r(A)=r(AQ)=r(PAQ)n阶矩阵A的秩为n→|A|≠0→A可逆。(3)逆矩阵在信息科学中的应①算法的加密原理信息发送端首先根据密钥矩阵A的阶数（||A||=n）,将明文转换为n维数向量X，然后将X与A相乘得到密文Y，既Y=AX，再将Y发送，信息端接受到Y后，则利用密钥矩阵A−1Y=A−1AＸ＝Ｘ。②加密通信模型基于加密技术的保密通信模型，发送方采用某种算法将明文数据加密转换成密文数据后发送给接收方，接收方则可以采用相对应的某种算法将密文数据解密转换成明文数据。③密钥的生成如何快速而有效地构造一个可逆矩阵作为加密密钥和求出其逆矩阵作为解密密钥是利用可逆矩阵实现保密通信的关键。１，加密密钥的生成初等矩阵都是可逆的，而且初等矩阵的乘积仍然是可逆的。因此通信中可以考虑利用若干个初等矩阵的乘积作为加密编码矩阵。它的生成方法如下：从单位矩阵出发，反复运用第一类和第三类初等变换矩阵去乘它，而其中的乘数Ｋ必须取整数。这样得到的矩阵将满足｜Ａ｜＝±１，而Ａ−１也将具有整数元素。通常所谓的矩阵的三种基本类型的初等变换如下：ⅰ．交换两行或两列；ⅱ．数乘某一行或某一列；ⅲ．将某一行（或某一列）的Ｋ倍加到另一行（或另一列）上；实质上只有ⅱ和ⅲ两种是独立的，ⅰ可以通过ⅱ和ⅲ来表示。２，解密密钥的生成设Ａ＝Ｐ１Ｐ２Ｐ３……Ｐｎ，其中Ｐi是初等矩阵，则A−1=Pn−1……P3−1P2−1P1−1，其中pi−1是pi的逆矩阵。设pi是对单位矩阵I做初等变换K得到的初等矩阵，则只需对单位矩阵I做K的逆变换即可得到pi−1。显然，在实际应用，生成解密密钥只需要再次利用生成加密密钥时的变换矩阵对单位矩阵做一序列的初等变换即可。