矩阵报告刘海波

矩阵分析报告姓名：刘海波班级：计算机技术9班学号：2014210549学院：信息学院问题一：一、正交矩阵1.定义及判定：定义：n级实数矩阵A满足EAAT（或EAAT,或EAA1），则称A为正交矩阵。判定1：矩阵A是正交矩阵1AAT;判定2：矩阵A是正交矩阵n,2,1,)(0)(1，jijijijTi;判定3：矩阵A是正交矩阵n,2,1,)(0)(1，jijijiTji。2.性质若A是正交矩阵，则A的性质为：（1）A是正交矩阵（2）AA‘=E（A’是A的转置，E是单位阵）（3）A‘是正交矩阵（4）A的各行是单位向量且两两正交（5）A的各列式单位向量且两两正交3.基本构造3.1低纬度最简单的正交矩阵是1×1矩阵[1]和[−1]，它们可分别解释为恒等和实数线针对原点的反射。如下形式的2×2矩阵uqtp它的正交性要求满足三个方程在考虑第一个方程时，设p=cosθ,q=sinθ；因此要么t=−q,u=p要么t=q,u=−p则可以解释第一种情况为旋转θ（θ=0是单位矩阵），第二个解释为针对在角θ/2的直线的反射。则可得两种构造形式为：旋转反射在45°的反射对换x和y；它是置换矩阵，在每列和每行带有一个单一的1（其他都是0）：单位矩阵也是置换矩阵。反射是它自己的逆，这蕴涵了反射矩阵是对称的（等于它的转置矩阵）也是正交的。两个旋转矩阵的积是一个旋转矩阵，两个反射矩阵的积也是旋转矩阵。3.2更高维度不管维度，总是可能把正交矩阵按纯旋转与否来分类，但是对于3×3矩阵和更高维度矩阵要比反射复杂多了。例如，和表示通过原点的反演和关于z轴的旋转反演（逆时针旋转90°后针对x-y平面反射，或逆时针旋转270°后对原点反演）。旋转也变得更加复杂；它们不再由一个角来刻画，并可能影响多于一个平面子空间。尽管经常以一个轴和角来描述3×3旋转矩阵，在这个维度旋转轴的存在是偶然的性质而不适用于其他维度。但是，我们有了一般适用的基本建造板块如置换、反射、和旋转。4.例子31184032181213218121如上，p是正交矩阵。二、酉矩阵1.定义及判别准则定义：若一行列的复数矩阵满足：其中，为的共轭转置，为阶单位矩阵，则称为酉矩阵。判别准则：或者说，酉矩阵的共轭转置和它的逆矩阵相等。P=2.性质设有矩阵，则（1）若是酉矩阵，则的逆矩阵也是酉矩阵；（2）若是酉矩阵，则也是酉矩阵；（3）若是酉矩阵，则；（4）是酉矩阵的充分必要条件是，它的个列向量是两两正交的单位向量。3.酉矩阵的构造方法3.1二阶酉矩阵的性质构造：由定理可知二阶矩阵A为酉矩阵的充分必要条件是A为下列三种形式之一:(i)2211sincos00sincosiaia(ii)0sincossincos02211ii(iii))sin(cos)sin(cos1)sin(cos1)sin(cos4433222211iriririr这里错误!未找到引用源。,k为整数.通过上式可以构造二阶的酉矩阵.3.2通过运算性质构造酉矩阵由酉矩阵的运算性质知:(1)若U为酉矩阵,则1,,,TUUUU(其中的为单位根)都是酉矩阵.(2)酉矩阵,则12,UU11212,UUUU等也都是酉矩阵.(3)酉矩阵,且1212UUE是反Hermite矩阵,则12UU也是酉矩阵.通过这些运算性质可以构造出新的酉矩阵.3.3利用施密特正交化构造酉矩阵矩阵的正规性是检验矩阵是否可对角化的一个简单方法，任意正规矩阵都可在经过一个酉变换后变为对角矩阵，反过来，所有可在经过一个酉变换后变为对角矩阵都是正规矩阵.在高等代数中，我们知道实对称矩阵一定正交相似于对角矩阵，并且讨论过，对已知实对称矩阵A,求正交矩阵T使得ATT1为对角矩阵的一般歩骤，类似的我们可以讨论，当A是正规矩阵时，求酉矩阵U，使得AUUH为对角矩阵，具体步骤如下：(1)根n,,...,21；(2)求每一个相异特征值i的特征向量iiV；(3)chur正交单位化的方法，求iiV的标准正交基inii,,,21；(4)命),,(22111211snnnU则酉矩阵U满足12HnUAU若A是正规矩阵，则A能酉相似于对角矩阵，即存在酉矩阵U使得BdiagAUUnH)(21则HAUBU于是()nHnHHHnHAUBUUBUUBUUBUUBU而对角矩阵B的n次幂是由各对角元素的n次幂组成，所以通过A的相似对角矩阵求nA.4.例子P=00ii如上，p是酉矩阵。问题二：Q1：不是每个阶数都可以，必须满足阶数是1,2，或者是4的倍数。代码如下，#includeiostream.h#includeiomanip.h#includemath.h#defineMAX100voidmain(){intN;inta[MAX][MAX],H[MAX][MAX],c1[MAX][MAX],c2[MAX][MAX],b1[MAX],b2[MAX];cout请输入矩阵阶数(1，2或者4的倍数):endl;cinN;while(N%4!=0){if(N==2)break;cout请输入阶数为1，2或者4的倍数:endl;cinN;}intn=log10(N)/log10(2);intm,d;intt1,t2;ints;inti,j,k;couthadamard矩阵H[N][N]:endl;for(j=0;jN;j++)for(k=0;kN;k++){t1=j;t2=k;s=0;for(m=0;mn;m++){b1[m]=t1%2;t1=t1/2;b2[m]=t2%2;t2=t2/2;s+=b1[m]*b2[m];}H[j][k]=powl((-1),s);}for(j=0;jN;j++){for(k=0;kN;k++){coutsetw(5)H[j][k];}coutendl;}}其运行结果为：举出一个二阶和一个四阶的Hadamardmatrix如下：，Q2：代码如下m=1;while1flag=1;n=2^m;H=Hadamard(n);h=H(:,n/2+1:n);g=H(:,1:n/2);G=[h,g];fori=1:n/2forj=1:n/2ifdot(h(:,i),g(:,j))~=0flag=0;break;end;end;ifflag==0break;end;end;m=m+2;ifflag==1fprintf('满足题意的H为\n');disp(H);fprintf('满足题意的G为\n');disp(G);fprintf('\n');end;pause(3);end;其结果比如说：二阶：H=1111，G=1111八阶：H=1111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111G=1111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111Q3：代码如下，clear;closeall;clcm=1;min=10000;while1n=2^m;max=0;A=zeros(n,1);H=Hadamard(n);forj=1:2^nflag=1;fori=1:nifrand(1,1)0.5A(i)=1;elseA(i)=-1;end;end;fori=1:n%A==H(i)不合题意ifsum(A==H(i))==nflag=0;break;end;end;ifflag==1fori=1:nifabs(sum(A.*H(:,i)))maxmax=abs(sum(A.*H(:,i)));k=i;end;end;ifmaxminmin=max;fprintf('当前最小值为：%f\n',min);fprintf('A为：\n');disp(A);fprintf('H为：\n');disp(H);fprintf('k为：%d\n',k);pause(3);end;end;end;fprintf('m?a￡o%d\n',m);m=m+2;end;其结果如下:m为奇数时(初始值为1),下限为2;m为偶数时(初始值为2),下限为4.问题三：一、正交矩阵的应用正交矩阵在物理学中的应用。任意刚体运动都对应一个正交矩阵,三维空间一条曲线经过刚体运动,其曲率和挠率是不变的,称它们为运动不变量.下面,我们来考察曲线作刚体运动时的量.设曲线1111rtxtytzt与曲线rtxtytzt只差一个运动,从曲线1rt到曲线1rt的变换为111213xxbyAybzzb(3.1)其中111213212223313233aaaAaaaaaa是三阶正交矩阵,123,,bbb是常数.对(3.1)两边求n阶导数得111nnnnnnxxyAyzz从而有111121312122231313233mmmmmmmmmmmmmmmxxaxayazyAyaxayazzzaxayaz(3.2)因为A是正交矩阵,所以也有1rtrt(3.3)另一方面,由一阶,二阶,三阶导数,可作成矩阵''''''111''''''''''''111''''''''''''''''''111TxyzxyzxyzxyzAxyzxyz两边取行列式,由det1A得'''''''''111''''''''''''''''''111'''''''''''''''''''''''''''111TxyzxyzxyzxyzxyzAxyzxyzxyzxyz现在取111rtrtrtrtrtrt可类似地讨论.因为'''111''''''''''''''''111111111111'''''''''''''''''''''111111111mxyzyzzxxyxyzxyzyzzxxyxyz(3.4)'''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''xyzyzzxxyxyzxyzyzzxxyxyz(3.5)(3.2)代入(3.4)的右边得''''''''''''''''''''''''111111111213212223313233''''''''''''111111mmmyzzxxyaxayazaxayazaxayazyzzxzy'''''''''''''''111111112131''''''''''''111111yzzxxyaxaxaxyzzxxy''''''''''''111111122232''''''''''''111111myzzxxyayayayyzzxxy'''''''''''''''111111132333''''''''''''111111yzzxxyazazazyzzxxy（3.6）因(3.4)与(3.5)右边相等,有(3.5)右边与(3.6)式右边相等得111131111121111111yyxxaxxzzazzyyazzyy111132111122111112yyxxaxzxzazzyyaxxzz