矩阵程序大作业—说明文档

LU分解、QR分解Householderreduction、Givensreduction1.输入输出参数的含义Factorization_and_Reduction.m中输入输出参数的含义：输入参数：A：待分解的矩阵mode：工作模式的选择mode=0：函数进行LU分解mode=1：函数进行QR分解mode=2：函数进行Householdreductionmode=3：函数进行Givensreduction输出参数：flag_right：分解或约减成功标志，为0时表示失败，为1时表示成功B1,B2,B3，在不同模式下的含义如下mode=0：B1=L：下三角阵；B2=U：上三角阵；B3=P：permutationmatrix；满足PA=LU。mode=1：B1=Q：R(A)的单位正交基为列组成的矩阵；B2=R：上三角阵；B3=0：没有实际意义，默认值为0；满足A=QR。mode=2：B1=P：由反射得到的单位正交阵(unitarymatrixororthogonalmatrix)；B2=T：上梯形阵；B3=P_T：P的转置；满足PA=T和A=P_T*T。mode=3：B1=P：由旋转得到的单位正交阵(unitarymatrixororthogonalmatrix)；B2=T：上梯形阵；B3=P_T：P的转置；满足PA=T和A=P_T*T。2.实验步骤和原理1）LU分解（1）输入待分解的矩阵：111212122212......nnmmmnaaaaaaAaaa（2）判断输入矩阵A是否为方阵，如果不是，不进行LU分解。（3）根据矩阵A的大小，初始化矩阵L，U，P和标签label（用于记录行交换后行的位置，将其初始化为nlabel...21）。（4）j从1到n循环执行以下步骤（j表示第j个主元）：①在第j列),(jj以下位置中寻找第一个非零元素作为第j个主元，即从)(nijaij中寻找第一个非零元素作为主元。②如果找到的非零主元不在第j行，而是在第i行，分别交换A和L中第i行和第j行，交换label中第i个和第j个元素。③将A的第j行赋给U的第j行，并将L中),(jj位置元素赋1。④将A中主元以下的元素变为0，并将消元时主元行需要乘的系数赋给L的相应位置元素，如：将主元jja以下的ija变为0时，L中),(ji位置的元素jjijijaal。（5）对矩阵P进行赋值，即将P的第i行的第label(i)个元素赋为1，其他元素为0。（6）判断矩阵A是否为奇异阵：查看矩阵U的主元位置是否存在0元素，如果存在则U为奇异阵且A也为奇异阵，此时A不能进行LU分解。（7）对分解结果进行验证，计算LUPA是否成立，若成立，则分解正确。2）QR分解（1）输入待分解的矩阵：111212122212......nnmmmnaaaaaaAaaa（2）k从1到n循环执行以下步骤：①如果k=1，1*Au（1*A表示矩阵A的第一列）；否则，11****11****|kiikTikkiikikQAQAQAQAu（kA*表示矩阵A的第k列，iQ*表示矩阵Q的第i列，）。②矩阵Q的第k列：uuQk*③给矩阵R的第k行赋值：),,1,(|**nkkjAQRjkkj（3）循环结束即可得到Q矩阵和R矩阵。下面验证以上QR分解的结果是否正确：①验证Q矩阵的各列是否相互正交且各列的模为1，即验证IQQT是否成立。②验证QRA是否成立。若以上两个条件均满足，则QR分解正确。3）Householderreduction（1）输入待处理的矩阵：111212122212......nnmmmnaaaaaaAaaa（2）初始化矩阵P为单位矩阵I。（3）k从1到n循环执行以下步骤：①令矩阵Ak是P*A的第k行k列下方右方构成的矩阵，如k=2，Ak矩阵如下图红框所示：111212122212......nnmmmnaaaaaaaaa’’’’’’’’’②令11*1*eAkAku③uuuuIRTT2ˆ④构造m*m的矩阵RIRˆ00⑤更新P：RPP⑥用P*A的第k+1行和k+1列下方右方的元素构成的矩阵更新Ak（4）以上循环结束以后，即可得到矩阵P，矩阵T=P*A。（5）下面验证以上Householderreduction的结果是否正确：①验证P是否是单位正交矩阵(unitarymatrixororthogonalmatrix)，即验证IPPPPTT是否成立。②验证TPAT是否成立。若以上两个条件均满足，则Householderreduction分解正确。4）GivensreductionAk（1）输入待处理的矩阵：111212122212......nnmmmnaaaaaaAaaa（2）初始化矩阵P为单位矩阵I。（3）k从1到n循环执行以下步骤：利用旋转矩阵，使得原矩阵k列中k行元素以下的元素为0则j从k+1到m循环执行以下步骤：①令矩阵Ak等于P*A②22jkkkkkAkAkAkc，22jkkkjkAkAkAks③令IPˆ，然后用c去替代Pˆ中第k行k列的元素，用s去替代Pˆ中第k行j列的元素，用-s去替代Pˆ中第j行k列的元素，用c去替代Pˆ中第j行j列的元素。④更新P：PPPˆ⑤更新Ak：PAkA（4）以上循环结束以后，即可得到矩阵P，矩阵T=P*A。（5）下面验证以上Givensreduction的结果是否正确：①验证P是否是单位正交阵(unitarymatrixororthogonalmatrix)，即验证IPPPPTT是否成立。②验证TPAT是否成立。若以上两个条件均满足，则Givensreduction分解正确。3.实验结果截图1)当输入矩阵A为方阵例：2114427314200A（1）LU分解显示结果中变量含义：L：下三角阵；U：上三角阵；P：permutationmatrix。（2）QR分解显示结果中变量含义：Q：R(A)的单位正交基为列组成的矩阵；R：上三角阵。（3）Householderreduction显示结果中变量含义：P_H：由反射得到的单位正交阵(unitarymatrixororthogonalmatrix)；T_H：上梯形阵；P_T_H：P_H的转置。（后缀_H用于与Givens的结果区分）（4）Givensreduction显示结果中变量含义：P_G：由旋转得到的单位正交阵(unitarymatrixororthogonalmatrix)；T_G：上梯形阵；P_T_G：P_G的转置。（后缀_G用于与Householder的结果区分）2)当输入矩阵A不是方阵例：157101423142434A（1）LU分解（2）QR分解显示结果中变量含义：Q：R(A)的单位正交基为列组成的矩阵；R：上三角阵。（3）Householderreduction显示结果中变量含义：P_H：由反射得到的单位正交阵(unitarymatrixororthogonalmatrix)；T_H：上梯形阵；P_T_H：P_H的转置。（后缀_H用于与Givens的结果区分）（4）Givensreduction显示结果中变量含义：P_G：由旋转得到的单位正交阵(unitarymatrixororthogonalmatrix)；T_G：上梯形阵；P_T_G：P_G的转置。（后缀_G用于与Householder的结果区分）4.程序代码1）RUN_FR.mclc;clearall;%赵晓梅2014280146280662014.11.19%提供几个待分解的矩阵%A=[4,-3,4;2,-14,-3;-2,14,0;1,-7,15];%待分解矩阵1——非方阵A=[0,-20,-14;3,27,-4;4,11,-2];%待分解矩阵2——方阵fprintf('待处理的矩阵为\n');A%在CommandWindow中显示待处理矩阵fprintf('**********************************************\n');[L,U,P,flag_right_0]=Factorization_and_Reduction(A,0);%LU分解ifflag_right_0==1%如果分解正确，显示结果fprintf('显示LU分解结果：\n');L%下三角阵；U%上三角阵；P%permutationmatrix；endfprintf('**********************************************\n');[Q,R,B3,flag_right_1]=Factorization_and_Reduction(A,1);%QR分解ifflag_right_1==1%如果分解正确，显示结果fprintf('显示QR分解结果：\n');Q%R(A)的单位正交基为列组成的矩阵；R%上三角阵；endfprintf('**********************************************\n');[P_H,T_H,P_T_H,flag_right_2]=Factorization_and_Reduction(A,2);%Householderreductionifflag_right_2==1%如果Householderreduction正确，显示结果fprintf('显示Householderreduction结果（后缀_H用于与Givens区分）：\n');P_H%由反射得到的单位正交阵；T_H%上梯形阵；P_T_H%P_H的转置；endfprintf('**********************************************\n');[P_G,T_G,P_T_G,flag_right_3]=Factorization_and_Reduction(A,3);%Givensreductionifflag_right_3==1%如果Givensreduction正确，显示结果fprintf('显示Givensreduction结果（后缀_G用于与Householder区分）：\n');P_G%由反射得到的单位正交阵；T_G%上梯形阵；P_T_G%P_G的转置；end2）Factorization_and_Reduction.m%------------------------------------%函数名称：Factorization_and_Reduction%函数功能：对矩阵进行LU分解，QR分解，Householdreduction，Givensreduction%输入参数：A：待分解的矩阵%mode：工作模式的选择%mode=0：函数进行LU分解%mode=1：函数进行QR分解%mode=2：函数进行Householderreduction%mode=3：函数进行Givensreduction%输出参数：flag_right：分解或约减成功标志，为0时表示失败，为1时表示成功%B1,B2,B3，在不同模式下的含义如下%mode=0：B1=L：下三角阵；%B2=U：上三角阵；%B3=P：permutationmatrix；%满足PA=LU。%mode=1：B1=Q：R(A)的单位正交基为列组成的矩阵；%B2=R：上三角阵；%B3=0：没有实际意义，默认值为0；%满足A=QR。%mode=2：B1=P：由反射得到的单位正交阵(unitarymatrixororthogonalmatrix)；%B2=T：上梯形阵；%B3=P_T：P的转置；%满足PA=T和A=P_T*T。%mode=3：B1=P：由旋转得到的单位正交阵(unitarymatrixororthogonalmatrix)；%B2=T：上梯形阵；%B3=P_T：