矩阵练习(带答案)

一、填空题：1.若A，B为同阶方阵，则22))((BABABA的充分必要条件是BAAB。2.若n阶方阵A，B，C满足IABC,I为n阶单位矩阵，则1C＝AB。3.设A，B都是n阶可逆矩阵，若00ABC,则1C＝0011BA。4.设A＝1112，则1A＝2111。5.设111111A，432211B.则BA2731733。6.设300020001A，则1A＝310002100017．设矩阵1-1320,20101AB，TA为A的转置，则BAT=160222.8.110213021A，B为秩等于2的三阶方阵，则AB的秩等于2.二、判断题（每小题2分，共12分）1.设BA、均为n阶方阵，则kkkBAAB)(（k为正整数）。……………（×）2.设,,ABC为n阶方阵，若ABCI，则111CBA。……………………………（×）3.设BA、为n阶方阵，若AB不可逆，则,AB都不可逆。………………………(×)4.设BA、为n阶方阵，且0AB，其中0A，则0B。………………………(×)5.设CBA、、都是n阶矩阵，且ICAIAB,，则CB。……………………（√）6.若A是n阶对角矩阵，B为n阶矩阵，且ACAB，则B也是n阶对角矩阵。…（×）7.两个矩阵A与B，如果秩（A）等于秩（B），那么A与B等价。…………（×）8.矩阵A的秩与它的转置矩阵TA的秩相等。……………………………………(√)三、选择题(每小题3分,共12分)1.设A为3×4矩阵，若矩阵A的秩为2，则矩阵TA3的秩等于（B）(A)1(B)2(C)3(D)42.假定A、B、C为n阶方阵，关于矩阵乘法，下述哪一个是错误的（C）（A）)(BCAABC（B）)(kBAkAB（C）BAAB（D）CBCABAC)(3.已知BA、为n阶方阵，则下列性质不正确的是（A）(A)BAAB(B))()(BCACAB(C)BCACCBA)((D)CBCABAC)(4.设IPAQ，其中P、Q、A都是n阶方阵，则（D）（A）111QPA（B）111PQA（C）PQA1（D）QPA15.设n阶方阵A，如果与所有的n阶方阵B都可以交换，即BAAB，那么A必定是（B）（A）可逆矩阵（B）数量矩阵（C）单位矩阵（D）反对称矩阵6.两个n阶初等矩阵的乘积为（C）（A）初等矩阵（B）单位矩阵（C）可逆矩阵（D）不可逆矩阵7.有矩阵23A，32B，33C，下列哪一个运算不可行（A）（A）AC（B）BC（C）ABC（D）CAB8.设A与B为矩阵且ACCB，C为mn的矩阵，则A与B分别是什么矩阵(D)(A)nmmn(B)mnnm(C)nnmm(D)mmnn9.设A为n阶可逆矩阵，则下列不正确的是(B)(A)1A可逆(B)IA可逆(C)2A可逆(D)2A可逆10.BA,均n阶为方阵，下面等式成立的是（B）（A）BAAB（B）TTTBABA)(（C）111)(BABA（D）111)(BAAB11.设BA,都是n阶矩阵，且0AB，则下列一定成立的是（C）（A）0A或0B（B）BA,都不可逆（C）BA,中至少有一个不可逆（D）0BA12.设BA,是两个n阶可逆方阵，则1TAB等于（A）（A）1TA1TB(B)1TB1TA（C）TB1TA)(1（D）TB11TA13.若BA,都是n阶方阵，且BA,都可逆，则下述错误的是（A）（A）BA也可逆（B）AB也可逆（C）1B也可逆（D）11BA也可逆14.BA,为可逆矩阵，则下述不一定可逆的是（B）（A）AB（B）BA（C）BA（D）BAB15．设BA,均为n阶方阵，下列情况下能推出A是单位矩阵的是（D）（A）BAB（B）BAAB（C）IAA（D）IA116.设BA,都是n阶方阵，则下列结论正确的是（D）（A）若A和B都是对称矩阵，则AB也是对称矩阵（B）若0A且0B，则0AB（C）若AB是奇异矩阵，则A和B都是奇异矩阵（D）若AB是可逆矩阵，则A和B都是可逆矩阵17.若BA与均为n阶非零矩阵，且0AB，则（A）（A）nAR)(（B）nAR)(（C）0)(AR（D）0)(BR四、解答题：1.给定矩阵443312111A，343122321B，求ABT及1A解：6848126594443312111313422321ABT…………………..（5分）2121252121211041A……………………………………………………(5分)2.求解矩阵方程X110011101521234311解：02110011101．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．２分111001110111111111121．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．３分301222012X．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．３分3.求解矩阵方程BXA，其中011220111A，112011111B解：因为6A所以A可逆……………….…………………….(2分)3131313161313261311A………………………(4分)故3465323131323431311BAX……………………………..(4分)4.求解下面矩阵方程中的矩阵X：021102341010100001100001010X解：令021102341,010100001,100001010CBA，则BA,均可逆，且010100001,10000101011BA所以20143111211BCAX5.设矩阵321011324A，求矩阵B，使其满足矩阵方程BAAB2.解：BAAB2即ABIA)2(．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．２分而.461351341121011322)2(11IA．．．．．．．．．．．．．．．．．．．３分所以AIAB1)2(321011324461351341=.9122692683．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．３分五、证明题1.若A是反对称阵，证明2A是对称阵。证明：因为A是反对称阵，所以AAT（3分）22))(()()(AAAAAAAATTTT,所以2A为对称阵。（5分）2.设矩阵,AB及AB都可逆，证明11AB也可逆。证明：因为,AB，AB可逆，故11,AB，1()AB存在，．．．．．．．．．３分所以有11111111111()()()()ABBABAABIBAAABAABAAABABAAAAI．．．．．．４分故11AB可逆，其逆为1BABA.．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．１分3.已知BA,为n阶方阵，且BABABBAA222)(,,，证明：0BAAB证明：BABAABBABA222)(……………4分所以0BAAB……………4分4.设BA,为两个n阶方阵，试证明：22))((BABABA的充要条件是BAAB。证明：充分性：因为BAAB所以2222))((BABBAABABABA………4分必要性：因为22))((BABABA，即2222BABBAABA所以BAAB………8分5.A是反对称矩阵，B是对称矩阵,证明:AB是反对称矩阵的充要条件是BAAB。证明：充分性：因为AAT,BBT,BAAB所以ABBAABABTTT)(,即AB是反对称矩阵………4分必要性：因为AB是反对称矩阵，即ABABT)(又BAABABTTT)(所以BAAB………8分