矩阵论定义定理总结

矩阵论1．行列式的相关知识：1.1定义：由2n个数ija(,1,2,...,)ijn组成的一个n阶行列式为1212121112121222(...)12...12(1)...njjjnnnnjjjnjjjnnnnaaaaaaDaaaaaa即所有取自不同行不同列的n个元素的乘积1212...jjjnnaaa的代数和，其中每一项的符合由排列12...njjj的奇偶性决定。n阶行列式的展开原理：定义1.1.2在n阶行列式D中，任选k行和k列（kn），将其交叉点上的2k个元素按原来位置排成一个k阶行列式M，称为D的一个k阶子式。在D中划去M所在之k行k列后余下的2()nk个元素按照原来位置排成的n-k阶行列式M，称为M的余子式。定义1.1.3设D的k阶子式M在D中所在行列指标分别是12,,...,kiii和12,,...,kjjj，则称1212()()(1)kkiiijjjAM为M的代数余子式，其中M为M的余子式。定理1.1.1（拉普拉斯定理）设在行列式D中任意取定k行(11)kn，则由这k行元素所组成的一切k阶子式与其对应的代数余子式的乘积之和等于和列式D。定理1.1.4（克莱姆法则）：若线性方程组11112211211222221122nnnnnnnnnnaxaxaxbaxaxaxbaxaxaxb（1.1.7）的系数行列式1112121222120nnnnnnaaaaaaDaaa则方程组（1.1.7）有唯一解，且/(1,2,)iixDDin，其中iD是将D中第i列换成（1.1.7）式右端的常数项12,,,nbbb所得的行列式，即1,11,111112,12,22122,1,1iiniininininnnnnaaabaaaabaDaaaba(1,2,,)in该定理通常称为克莱姆法则。特别地，当0(1,2,,)ibin时，方程组（1.1.7）又称为齐次线性方程组。若其系数行列式不为零，则由克莱姆法则知它必有唯一零解行列式的降阶定理定理1.6.1设A和D分别为n阶及m阶的方阵，则有11,,ADCABAABCDDABDCD当可逆时;当可逆时.定理1.6.2设A，B，C，D皆为n阶方阵，且满足AC=CA，则ABADCBCD定义1.2.4向量组的极大线性无关组所含向量的个数称为这个向量组的秩。引理1.3.1若齐次线性方程组111122121122221122000nnnnsssnnaxaxaxaxaxaxaxaxax的系数矩阵111212122212nnsssnaaaaaaAaaa的秩rn,则方程组必有非有非零解。定理1.3.2n阶方阵A的行列式0A的充要条件rank(A)n定理1.1.3矩阵A的秩为r的充要条件是A中至少有一个r阶子式不为零，且其所有的r+1阶子式全为零。定理1.3.4设A，B是数域P上的两个n阶方阵，则ABAB即矩阵乘积的行列式等于它的因子行列式的乘积。定义1.3.4数域P上的n阶方阵A称为非奇异的（可逆矩阵，满秩矩阵），若0A；否则称为奇异的（不可逆矩阵，不满秩矩阵）。定理1.3.5设A是数域P上的nm矩阵，B是数域P上的ms矩阵，则()min(),()rankABrankArankB即乘积的秩不超过各因子的秩。定理1.3.6设A是一个sn矩阵，如果P是s阶可逆方阵，Q是n阶可逆方阵，那么()()()()rankArankPArankAQrankPAQ定义1.3.5设()ijnnAa是一个n阶方阵，A的主对角元素的和称为A的迹，并记之为()trA,即1122()nnatrAaa解的判别定理定理1.4.1线性方程组11112211211222221122nnnnsssnnsaxaxaxbaxaxaxbaxaxaxb有解的充要条件为()()rankArankB。其中111212122212nnsnssAaaaaaaaaa12111212122212snnsnssBaaabaaabaaab系数矩阵A与增广矩阵B的秩之间只有两种可能，即()()rankArankB或()1()rankArankB定义1.4.1齐次线性方程组111122121122221122000nnnnsssnnaxaxaxaxaxaxaxaxax（1.4.5）的一组解12,,,r称为方程组（1.4.5）的一个基础解系，若1）12,,,r线性无关；2）方程组（1.4.5）的任何一个解都能用12,,,r线性表示。定理1.4.2若齐次线性方程组有非零解，则它的基础解系必存在，且基础解系所含解的个数为nr，其中r为系数矩阵的秩。矩阵的初等变换与初等矩阵定义1.5.1数域P上的矩阵的下列三种变换称为初等行变换：1）以P中非零的数乘矩阵的某一行；2）把矩阵中某一行的倍数加到另一行；3）互换矩阵中两行的位置。同理定义初等列变换，统称为初等变换。定义1.5.2单位矩阵E经过一次初等变换后所得到的矩阵称为初等矩阵。定理1.5.1对一个nm矩阵A作一次初等行变换，相当于对A左乘一个相应的nn初等矩阵。对A作一次初等列变换，则相当于对A右乘一个相应的mm初等矩阵。定义1.5.3矩阵A与B称为等价的，若B可由A经过一系列初等变换得到。定理1.5.2初等变换不改变矩阵的秩。推论1.5.1n阶方阵可逆的充要件是它与单位矩阵等价。定理1.5.3矩阵A与B等价的充要条件是有初等矩阵11,,,,,stPPQQ使1112sstAPPPBQQQ推论1.5.3两个nm矩阵A与B等价的充要条件为存在nn可逆阵P与mm可逆阵Q，使得APBQ定义1.5.4数域P上n阶方阵A与B称为合同的，若数域P上存在可逆的n阶方阵C，使TBCAC合同必等价，等价不一定合同。分块矩阵的秩定理1.6.4设n阶方阵12,,,mAdiagAAA其中kA为kn阶方阵，且12mnnnn。则1()()miirankArankA定理1.6.5设A和D分别为n阶和m阶的方阵，则11()(),()(),ABrankArankDCABArankCDrankDrankABDCD可逆时可逆时定理1.6.8设A与B分别为sn和nm矩阵，则()()()rankArankBnrankAB线性空间与线性变换集合映射变换线性空间基维数坐标（略）定义2.2.2设12,,,n与12,,,n是n维线性空间V的两个基，且111212122212121212(,,,)(,,,)(,,,)nnnnnnnnnaaaaaaAaaa则矩阵A称为由基12,,,n到12,,,n的过渡矩阵还有坐标变换公式1111211221222212nnnnnnnnxaaaxxaaaxxaaax11111211221222212nnnnnnnnxaaaxxaaaxxaaax定义2.2.2数域P上的两个线性空间V与V称为同构的，如果由V到V有一个双射，且1）()()()2）()()kk其中,是V中任意向量，k是P中任意数。此时就称为V与V的一个同构映射。定理2.2.1数域P上两个有限维线性空间同构的充要条件是它们有相同的维数。子空间（略）定理2.3.2两个向量组生成相同子空间的充要条件是它们等价。定理2.3.31212dim(,,,)(,,,)rrLrank（其中12(,,,)rL是由12,,,r生成的空间）定理2.3.4设W是数域P上的n维线性空间V的一个m维子空间，12,,,m是W的一个基，则这组基向量必定可扩充为线性空间V的基，即在V中必定可找到nm个向量12,,,mmn，使得12,,,n是V的一个基。此定理通称为基的扩充定理。定义2.3.2设1V，2V是线性空间V的两个子空间，称12121122|,,VVVV为1V与2V的和。易见子空间的“和”与集合的“并”两个概念是不同的。定理2.3.5设1V与2V是线性空间V的两个子空间，则它们的交与和也是V的两个子空间。定理2.3.6设1V与2V是线性空间V的两个子空间，则121212dim()dim()dim()dim()VVVVVV（维数的和等于和的维数加交的维数）定义2.3.3设1V与2V是线性空间V的两个子空间，如果和12VV中每个向量的分解式121122,,VV是唯一的，这个和就称为直和，记为12VV定理2.3.7设1V与2V是线性空间V的两个子空间，则以下论断等价：1）12VV是直和；2）零向量的分解式唯一；3）120VV4）1212dim()dim()dim()VVVV定理2.3.8设U是线性空间V的一个子空间，则一定存在一个子空间WV，使VUW定义2.4.1线性空间V的一个变换A称为线性变换，如果对V中任意元素，和数域P中任何数k，都有kkAAAAA线性变换的性质（略）定理2.4.1设12,,,n为线性空间V的一个基，12,,,n是V中任意n个向量，则存在唯一的线性变换A，使得1,2,,iiinA定义2.4.2设12,,,n是数域P上n维线性空间V的一个基，A是V中的线性变换，且基向量的像可以由这个基线性表示为11112121212122221122nnnnnnnnnnaaaaaaaaaAAA用矩阵表示就是121212,,,,,,,,,nnnAAAAA其中，矩阵111212122212nnnnnnaaaaaaAaaa称A为线性变换A在基12,,,n下的矩阵。定理2.4.3设线性变换A在基12,,,n下的矩阵为A，向量ξ在基12,,,n下的坐标为12(,,,)nxxx，则Aξ在基下12,,,n下的坐标12,,,nyyy可以按公式1122nnyxyxYAAXyx定理2.4.4设12,,,n与12,,,n为线性空间V的两个基，A为V的线性变换，且121212121212,,,,,,,,,,,,,,,,,,nnnnnnABXAA则1BXAX定义2.5.1设A是线性空间V的一个线性变换，它的全体像所组成的集合|VVAAξξ称为A的值域，用VA表示。所有被A变成零向量的向量所组成的集合100,VAξ|Aξξ称为A的核称VA的维数为A的秩，10A的维数则称为A的零度。定理2.5.1设A是n维线性空间V的线性变换，12,,,n是V的一个基，A在基12,,,n下的矩阵是A，则1）12,,,nVLAAAA；2）A的秩=A的秩；3）A的秩+A的零度=n定义2.5.2设A是数域P上线性空间V的线性变换，W是V的子空间，若|AAξξ换句话说，W中的向量在A下的像仍在W中，则称W为V的关于A的不变子空间，简称为A—子空间。定理2.5.2如果线性空间V的子空