矩阵论数值分析复习_2015

矩阵论复习一、线性空间（子空间）的基与维数的求法、直和的概念二、两个基之间过渡矩阵的求法线性变换的特征值、特征向量的计算四、特征多项式与最小多项式、Cayley-Hamilton定理六、向量与矩阵的范数、条件数的概念与计算七、矩阵的三角分解五、会求可逆矩阵将方阵化为Jordan标准型三、线性变换的概念及其矩阵表示的简单应用12.B中的向量)1(nii称为第i个基向量.定义nV中给定顺序的n个线性无关向量n,,,21所成的向量组称为nV的一个基},,,{21n(或基底),记为B=nV定理设B是的一个基,则Vn中任一向量都可由B唯一表示。,},,,{21nB},,,{21nB是nV的两个基,则每个)1(njj都可由B线性表出:.,,2,1,],,,[21211njppppnjjjnniiijj3.pppppppppnnnnnnnn2122221112112121][][将njj1,按顺序排列,并使用矩阵记号,则得TnjjjjpppP21就是B中第j个基向量j在基B其中n阶方阵][ijpP称为由基B到B(或过渡矩阵).显然,基变换矩阵P中的第j个列向量的变换矩阵下的坐标.PBB简记为4解,111101011111100101P故.2120111121111001011111010111P例已知3R的两个基是,111,100,101,110,101,11121BB求由1B到2B的变换矩阵P.5例4R中的两个子空间是},]1111[,]0121[span{211TTaaW求2121及的基和维数。}.,,,span{432121WW但由于,2529233214且32,1,线性无关，所以21WW的一个基为,]0121[{1T.3)dim(},]1012[,]1111[2132WWTT解维数公式（*）给出.1)dim(dimdim)dim(21212121,WW.dimdim)dim()dim(212121定理设是V的两个子空间，则},]7311[,]1012[span{432TTaaW为了求21WW的基，设21WW，则由1W知，存在21,kk使2211kk，又由2W知，存在43,kk使4433kk因而，4321,,,kkkk应满足方程。,44332211kkkk即.0)()(44332211kkkk用矩阵表示则为071103011111212114321kkkk解得,]2593[][4321TTckkkk其中c为任意非零实数，从而.]96312[)93(21Tcc因此，},]96312span{[21TWW即T]3214[是21WW的一个基。7定义若21WW中任一向量只能唯一地分解为1W中的一个向量与2W中的一个向量之和，则21WW称为21,WW的直和，记为.21WW（2）;0),2,1(,02121则若iWii（3）.dimdim)dim(2121定理2121的充分必要条件是下列条件的之一满足：};0{21WW（1）4R例设是R4的一个基，，，证明：},,,{4321},2{1211spanV},{41432spanV214VVR8在T下的像，定义mnVV到的变换T称为线性的，如果对任意的nVk及中的任意向量,,恒有.)(,)(kTkTTTT特别，当T是nV到自身的一个线性变换，则称T是nV的线性变换。记,mVT则称为称为的原像。数mnVV和中分别取基},,,{},,{2121mnBB和则ja的像1(jTa)nj可由基B唯一地线性表出：mnVV到的线性变换，在设T是mimjjjmiijjaaaaT12121][那么上式可简写为.][][2122221112112121mnmmnmnaaaaaaaaaTTTn为了简化记法和便于运算，令],[21naTTTTB其中nm矩阵.212222111211mnmmnaaaaaaaaaAn,ABTB（1.2-1）（1.2-1）式叫做T的矩阵表示，称A为T在基偶下的矩阵。},{BB9如果把njTj1,按顺序排列，并使用矩阵记号，则有10则称0是T的一个特征值，称为T关于0特征向量。的定义的一个线性变换，如果存在,0)(,0且FVFn使,0T（1.2-5）)(FVTn是设T的特征值问题与A的特征值问题是一一对应的。由于相似矩阵有相同的特征多项式，所以我们可以把A的特征多项式nnnnnbbbAIf111)det()(称为T的特征多项式，于是T的特征值就是T的特征多项式的根。11为了求出T的特征值和特征向量，在nV中取一个基},,,{21nB，且设T在B下的矩阵是A。那么可由B的线性表出：,],[,121niTniixxxxBxx是T的一个特征向量，0是相应的特征值，即,0,0T如果.0xAx可推得解取)(2tP的一个基2{1,,},Btt则T在B下的.300220011A矩阵是A的特征值是相应的特征向量.]121[,]011[,]001[321TTTkkk,3,2,1321分别为,3,2,1321因此，T的特征T关于321,,的特征向量),21(),1(,2321ttktkk上述的321,kkk和可为任意非零实数。值是分别是多项式12例)(2tP的线性变换T的定义为),()1()()(tpdtdttptTp求T的特征值和特征向量。13nnnnnnnaaaaaaaaaAI212222111211)det(.)det()(111nnnnnbbbAIf这个多项式在复数域有n个根.,,,21n特征多项式和最小多项式对于复数域上n阶方阵A=[aij]，它的特征多项式是λ的n次多项式14nnnnbbbAIf111)det()(定理(Cayley-Hamilton)设n阶方阵A的特征多项式为则f(A)=O,即A的特征多项式是A的一个零化多项式.定义设A是一个n阶方阵,g(t)是一多项式,如果g(A)=O,则称g(t)是A的零化多项式.A的最小多项式，记为。)(Am定义A的零化多项式中，次数最低的首一多项式称为且是唯一的。定理A的最小多项式可整除A的任何零化多项式)(Am)(g)(Am,00小多项式的根。定理是A的特征值的充分必要条件是是A的最)(Am证设是A的特征值，ｘ0是相应的特征向量，则有0,0,)()(00000xxmxAmAA0)(0Am故，即是的根。)(Am0反之，若是的根，那么由于可整除A的)(Am)(Am0特征多项式，)(f00故必是特征多项式的根，即是A的特征值。1516)(Am定理0是A的特征值的充分必要条件是0是A的最小多项式的根。42112012A例求的最小多项式。32)2)(3(;)2)(3();2)(3(解由于所以A的最小多项式只能3)2)(3()det(AI有下列三种可能：,00000010O2211001012121011)2)(3(IAIA但.)2)(3()(,)2)(3(22AmOIAIA故而04168212416)2(xxIA例如，725,54411zxT6168412414A例设求可逆矩阵P使P－1AP为Jordan矩阵。2,)2()det(3AI解:是A的三重特征值。齐次线性方程组的系数矩阵A－2I的秩是1，因而基础解系有两个解向量，17sixIAi,,2,1,0)(征值的各级根向量.1级根向量可以解齐次线性方程组把相似简化为Jordan矩阵的关键是,寻找关于其特AA注：Tcccccczcxcy21212112117524542121217524544168212416ccccccx2121212121212000)2(4000544167541624821254416cccccccccccc且通解的表达式为对它的增广矩阵施行行初等变换：18代入式得,yxIAi）（由此可见,当且仅当时这个非齐次方程组才有解。0221cc3232xxAxTxycc121,3/1,32221这时若取性方程组的一个解是，且有，即Tx010323)2(xxIA,上述非齐次线015124014321xxxP因此，取21221APP19(1)自备正规的2B铅笔、橡皮擦和黑色中性笔/钢笔(2)在学号信息框内正确填涂学号，注意学号起始的类别。(3)在姓名，院系等信息的指示栏内正确填写考生的姓名，院系等信息(4)学号、判断题填涂时，要注意使用2B铅笔填涂，且填涂区域要丰满、不要使用划线、打钩、打叉等错误填涂方式，修改客观题答题时，要注意使用橡皮擦先擦除干净、后再填涂。《应用高等工程数学》考试计算机阅卷考生须知（修订版）(5)主观题使用黑色中性笔/钢笔，在标注题号的正确答题区域答题，答题内容不要超出答题区域框，且不要使用附加纸进行答题。(6)不要使用涂改液、涂改纸、透明胶粘贴等方式修改主、客观题的答题(7)填涂不规范，解答内容不在题目相应标号的正确区域内，都属无效内容，后果比较严重，请注意责任自负。(8)不要涂改答题卡标识，禁止答题区域请勿作答考试时间：2015年12月11日晚上7点到9点半，答疑时间：12月10日上午9:00-11:30，下午2:30-5:0012月11日上午9:00-11:30，下午2:30-4:00答疑地点：科技南楼813数值分析复习一误差分析1舍入误差、截断误差、有效数字；2数值计算的一些原则；如：P10-例1.3、例1.6。3数值计算的稳定性。21二.插值法1.插值的概念：（1）问题的引出；（2）唯一性：待定系数法；反证法。2.构造插值多项式的方法：（1）待定系数法；（2）基函数法；（3）承袭性思想。223插值的分类：（1）不含导数插值条件（Lagrange型插值）；Lagrange插值公式、Newton插值公式。（2）含导数插值条件（Hermite插值）；构造法、带重节点的Newton插值法。（3）余项表达式、截断误差估计、总的误差界。（4）差商的定义