矩阵论第5章.

矩阵论20December2019河北科技大学第五章广义逆矩阵机动目录上页下页返回结束和相容方程组求解问题相应的广义逆矩阵A第一节第二节相容方程组的极小范数解和广义逆mA第三节第四节矛盾方程组的最小二乘解和广义逆lA线性方程组的极小最小二乘解和广义逆A矩阵论20December2019河北科技大学机动目录上页下页返回结束广义逆矩阵是通常逆矩阵概念对于长方阵或不可逆方阵的推广，具有广泛的应用．所谓广义，即推广了原有概念或结果.我们知道，逆矩阵概念是针对非奇异的（或满秩的）方阵．故这一概念可推广到：（1）奇异方阵；（2）非方矩阵.事实上，Penrose（彭罗司）广义逆矩阵涵盖了以上两种情况．矩阵论20December2019河北科技大学机动目录上页下页返回结束对于满秩方阵A，1A存在，且11AAAAI，故当然有11111111-----*--*-()()AAAAAAAAAAAAAAAA这四个对满秩方阵显然成立的等式构成了Penrose广义逆的启示．矩阵论20December2019河北科技大学机动目录上页下页返回结束对任意矩阵CmnA，若矩阵nmGC满足下面四个方程(Penrose方程)（1）AGAA；中的任意一个或者几个，则称G为A广义逆矩阵．（2）GAGG；（3）*()AGAG；（4）*()GAGA；上述四个等式又依次称为Penrose方程（1），（2），（3），（4）．定义矩阵论20December2019河北科技大学机动目录上页下页返回结束对矩阵CmnA，若矩阵nmGC满足Penrose方程中的第,,,ijl个方程，则称G为A的{,,,}ijl逆，记作：{,,,}ijlA，其全体记作：{,,,}Aijl．{,,,}ijl逆共有1234444415CCCC类，但实际上常用的为如下5类：1{}A，12{,}A，13{,}A，14{,}A，1234{,,,}A．定义矩阵论20December2019河北科技大学机动目录上页下页返回结束(i)1{}A：矩阵的1{}逆是最基本的广义逆矩阵，通常记为A，它与相容线性方程组AXb的解有密切联系；(ii)12{,}A：矩阵的12{,}逆称为自反广义逆矩阵，此时，矩阵A和G的地位完全一样，他们互为12{,}逆；(iii)13{,}A：矩阵的13{,}逆称为最小二乘广义逆矩阵，在实际问题中许多线性方程组没有解，此时可以求线性方程组的最小二乘解，而矩阵A的13{,}逆在最小二乘解的求解中起着非常重要的作用；矩阵论20December2019河北科技大学机动目录上页下页返回结束(iv)14{,}A：矩阵的14{,}逆称为最小范数广义逆矩阵，当相容线性方程组AXb有无穷多个解的情况下，人们往往需要找范数最小的解，矩阵A的14{,}逆在最小范数解的求解中起着十分重要的作用；(v)1234{,,,}A：矩阵的1234{,,,}逆也称为Moore-Penrose（摩勒—彭罗司）逆，通常记为A，Moore-Penrose逆A是应用最多、最广泛的广义逆矩阵.矩阵论20December2019河北科技大学机动目录上页下页返回结束和相容方程组求解问题相应的广义逆矩阵A第一节1.广义逆矩阵的定义及性质设线性方程组AXb是相容的，其中,,CCCmnnmAXb，定理对任何()bRA，有矩阵G，使得GbX是相容方程组AXb的解的充要条件是G满足AGAA.则AXb相容()bRA（矩阵A的象空间）．矩阵论20December2019河北科技大学机动目录上页下页返回结束对CnZ，令(),bAZRA反之，因为()bRA，则存在CnZ，使得AZb，证明因为GbX是相容方程组AXb的解，所以AGbb，即AGAZAZ，由Z的任意性，则AGAA.又因为AGAA，所以AGAZAZ，即AGbb，即XGb是方程组AXb的解.矩阵论20December2019河北科技大学机动目录上页下页返回结束设CmnA，若存在CnmG，使得则称G为A的（一般）广义逆矩阵，简称g逆或减号逆，记作：A，其全体记作：1{}A.定义因此有AAAA-.（1）若A存在逆矩阵A-1，则A-1是A的g逆；但反之不真.注(1)AGAA，（2）XAb是相容方程组AXb的解.矩阵论20December2019河北科技大学机动目录上页下页返回结束设CmnA，若存在CnmG，使得AGI(或GAI)，则称G为A的右逆（或左逆），记作：1RA（或1LA），即1RAAI（或1LAAI）．定义一般情况下11RLAA，若11RLAA，则nm，1A存在，且111RLAAA．注2.矩阵的右逆与左逆性质11RAAAA，1LAAAA；性质411*()RRAAAA，11*()LLAAAA．性质2111RRRAAAA，111LLLAAAA；性质311*()RRAAAA，11*()LLAAAA；矩阵论20December2019河北科技大学机动目录上页下页返回结束若A是行满秩(或列满秩)，则必存在A的右逆（或左逆），且11**()RAAAA（或11**()LAAAA）.定理因为A是行满秩(或列满秩)，所以*AA(或AA*)为满秩方阵，因此有证明（或11****()()nnAAAAIAAAA），所以11**()RAAAA（或11**()LAAAA）.11()()mmAAAAIAAAA****矩阵论20December2019河北科技大学机动目录上页下页返回结束非零矩阵CmnA总有g逆A-.定理如果A行满秩，即rank()Amn，则可取证明如果A列满秩，亦即rank()Anm，则可取如果A既非行满秩又非列满秩，即rank()min{,}Armn，则存在列满秩矩阵CmrC和行满秩矩阵CrnD，使得ACD（称为A的满秩分解或最大秩分解），因此存在1LC和1RD，11**();RAAAAA11**();LAAAAA矩阵论20December2019河北科技大学机动目录上页下页返回结束设rank()Ar，则000rAPAQ，rA为r阶满秩方阵，求法：11000rAAPQ1100rrAPIQ10,rACP10rDIQ令从而11RLADC-．11()RLADCA11()RLCDDCCDCDA因为11****()().DDDCCC11RLADC-则矩阵论20December2019河北科技大学机动目录上页下页返回结束定理（g逆的一般表达式）设CmnA，A为A的一个g逆，则对任意的,CnmVW，证明对任意的,CnmVW，考虑也是A的g逆，并且对任意一个A的g逆1G，必存在11,CnmVW，使得1G表示成如上形式．()()mnGAVIAAIAAW()()mnAGAAAAAVIAAAAIAAWA()()AAAAVAAAAAAAAWA()()AAAAVAAAAWAA因此G为A的g逆．矩阵论20December2019河北科技大学机动目录上页下页返回结束任取A的一个g逆1G，令11VGA，11WGAA，有11()()mnAVIAAIAAW11()()()mnAGAIAAIAAGAA111()()mmAGIAAAIAAGAAAAGAA1GAAAAAA1.G矩阵论20December2019河北科技大学机动目录上页下页返回结束性质1**()();AA性质4rank(rank())AA.性质3**;AGAAAAGAAA性质2**()();AAAAAA矩阵论20December2019河北科技大学机动目录上页下页返回结束设CmnA，若存在CnmG，使得定义3.反射g逆同时成立，则称G为A的一个反射（或自反）广义逆矩阵，简称为反射g逆，记作：rA，其全体记作：12{,}A．和（1）AGAA；（2）GAGG；矩阵论20December2019河北科技大学机动目录上页下页返回结束（4）若121,{}GGA，则1212{,}GAGA；（5）121{,}{}AA；（3）若ACD为满秩（最大秩）分解，则RLADC为A的反射g逆；（1）A为rA的自反g逆，即()rrAA；（2）A的右逆RA和左逆LA都是A的反射g逆；由定义易知（反射）：矩阵论20December2019河北科技大学机动目录上页下页返回结束定理相容线性方程组AXb的通解为推论齐次线性方程组AXb的通解为1,{}XGbGA(),.CnnAbIAAYY(),.CnnXIAAYY矩阵论20December2019河北科技大学机动目录上页下页返回结束例解求解线性方程组312312322011xxxxxxx002110001111,A2011.b其中矩阵论20December2019河北科技大学机动目录上页下页返回结束0021000110010000100101110001AI11100010010101000011100012021AP先作初等行变换矩阵论20December2019河北科技大学机动目录上页下页返回结束其中1111001000000,APA0001010101111202,P10201110001101000,P矩阵论20December2019河北科技大学机动目录上页下页返回结束1111001000000100010001AI100010000000111001010再作初等列变换3,AQ矩阵论20December2019河北科技大学机动目录上页下页返回结束21001,A111001010,Q1111001010,Q3100010000000A2AOOO1AQPAQ其中矩阵论20December2019河北科技大学机动目录上页下页返回结束113APAQ211AOPQOO2112,APIOQO21ACPO02011011000101100010000002110110.取12DIOQ111100001010010111001,矩阵论20December2019河北科技大学机动目录上页下页返回结束11**()RDDDD11010111101000111111103110111110111102131111111202.矩阵论20December2019河北科技大学机动目录上页下页返回结束11**()LCCCC1020101110101211001211010