矩阵论简介及线性代数复习

1矩阵论2前言矩阵被认为是最有用的数学工具之一，既适用于应用问题，又适合现代理论数学的抽象结构。随着科学技术的迅速发展,矩阵的理论和方法业已成为现代科技领域必不可少的工具。诸如数值分析、优化理论、微分方程、概率统计、控制论、力学、电子学、网络等学科，甚至在经济管理、金融、保险、社会科学等领域，矩阵理论和方法也有着十分重要的应用。当今电子计算机及计算技术的迅猛发展为矩阵理论的应用开辟了更广阔的前景。因此，学习和掌握矩阵的理论和方法，对于工科研究生来说是必不可少的。3问题一线性方程组的求解•给定一个m个方程n个变量的线性方程组记A表示系数矩阵，B表示常数向量，X表示未知向量，则线性方程组可表示为4其中解的形式：（1）当m=n，且A可逆时，线性方程组AX=B的解可表示为•当m=n，且A不可逆时，或者当时，线性方程组的解又如何表示呢？•特别地，在讨论矛盾方程AX=B时，如何定义线性方程组的解。广义逆矩阵问题5问题二矩阵的算术运算矩阵的加法与减法定义为矩阵的乘法运算6如何定义矩阵的除法运算•在线性代数中，我们对于可逆矩阵A可定义矩阵“除法”，称为矩阵A的逆矩阵，记为A-1•即当矩阵A的秩等于其行数和列数时，矩阵A称为满秩矩阵，才能定义“矩阵除”，并由此得到矩阵方程AX=B的解为•X=A-1B•问题：我们能否定义一般矩阵的“除法”。7问题三矩阵的分析运算•在线性代数中，我们学习的多是矩阵的代数运算，能否定义矩阵的分析运算呢？如矩阵序列的极限、矩阵级数的和、矩阵函数及其微积分等。•分析运算的关键是确定矩阵大小的一种度量，称为矩阵范数。8问题四矩阵的简单形式•矩阵运算常常要求矩阵在各种意义下的简单形式，以简化矩阵运算过程。这就要求讨论矩阵的标准形和矩阵分解问题。•常见形式有：Jordan标准形、行最简标准形、Hermite标准形；矩阵的UR（酉矩阵U与正线上三角矩阵R）分解、QR（正交矩阵Q与三角矩阵R）分解、谱分解、满秩分解、奇异值分解等。9课程教学内容•一线性空间及线性映射（变换）内积空间相似矩阵•二范数理论•三矩阵分析•四矩阵分解•五特征值的估计及对称矩阵的极性•六广义逆矩阵•七若干特殊矩阵类介绍(自学)10所用教材•矩阵论•西北工业大学出版社•程云鹏主编学习本课程所需掌握的基础知识：线性代数有关知识与微积分初步11课程教学要求通过本课程的学习，使学生在已掌握本科阶段线性代数知识的基础上，进一步深化和提高矩阵理论的相关知识。要求学生从理论上掌握矩阵的相关理论，会证明简单的一些命题和结论，从而培养逻辑思维能力。要求掌握一些有关矩阵计算的方法，如各种标准型、矩阵函数等，为今后在相关专业中实际应用打好基础。12常用记号一•用R表示实数域，用C表示复数域。•Rn表示n维实向量集合；•Cn表示n维复向量集合；•表示实矩阵集合；•表示复矩阵集合；13常用记号二•n阶单位矩阵•n阶矩阵的行列式•矩阵A的范数•向量b的范数•n阶矩阵A的逆矩阵A-1;•矩阵A的广义逆矩阵A+,A-14复数基本知识•称下列形式的数为复数•z=a+bi•其中a,b都是实数，i2=-1;•称a是复数z的实部，bi是复数z的虚部；•Z的共扼复数为15代数基本定理•任意n次多项式必有n个复根。即•其中16线性代数的有关知识1.矩阵的概念1)矩阵的定义定义1由m×n个数aij(i=1,...,m;j=1,…,n)排成m行n列的数表17(1)212222111211mnmmnnaaaaaaaaaA叫做m行n列矩阵,简称m×n矩阵.这m×n个数叫做矩阵的元素,aij叫做矩阵A的第i行第j列元素.元素是实数的矩阵叫做实矩阵,元素是复数的矩阵叫做复矩阵,(1)式也简记为A=(aij)m×n或A=(aij),m×n矩阵A也记作Am×n.182)方阵列矩阵行矩阵对(1)式,当m=n时,A称为n阶方阵.当m=1时,A称为行矩阵.当n=1时,A称为列矩阵.193)同型矩阵和相等矩阵两个矩阵的行数相等、列数也相等时,就称它们是同型矩阵.如果A=(aij)与B=(bij)是同型矩阵,并且它们的对应元素相等,即aij=bij(i=1,…,m;j=1,…n),那么就称A与B相等,记作A=B.204)零矩阵单位矩阵元素都是零的矩阵称为零矩阵,记作O.主对角线上的元素都是1,其它元素都是0的n阶方阵,叫做n阶单位方阵,简记作E或I.215)主对角线以下(上)元素全为零的方阵称为上(下)三角矩阵.6)除了主对角线以外,其它元素全为零的方阵称为对角矩阵.222.矩阵的运算1)矩阵运算的定义设A=(aij)s×n,B=(bij)t×m为两个矩阵,当s=t,n=m时,它们为同型矩阵,其加法运算定义为A+B=(aij+bij)A+B称为A与B的和.23当n=t时可以作乘法:AB=(cij)s×m,其中nkkjikijbac1(i=1,2,…,s;j=1,2,…,m),AB称为A与B的积.设k为实数,定义kA=(kaij)则称kA为A与数k的乘积.24矩阵乘法的定义源于二个线性变换的复合运算11111221111122133221122222112222333311322xbtbtyaxaxaxxbtbtyaxaxaxxbtbt111111221133111112122213322221112221233112112222223322()()()()yabababtabababtyabababtabababt1111211121311221222122232233132,,,,xbbaaaytxABbbaaaytxbbYXT,YAXXBTYABT二个线性变换为则它们的复合为252)矩阵的运算性质(i)矩阵的加法满足交换律:A+B=B+A,结合律:(A+B)+C=A+(B+C).(ii)矩阵的乘法满足结合律:(AB)C=A(BC).26(iii)矩阵的法和加法满足分配律A(B+C)=AB+AC;(B+C)A=BA+CA.(iv)数乘矩阵满足:(k+l)A=kA+lA;k(A+B)=kA+kB;k(lA)=(kl)A;k(AB)=(kA)B=A(kB).273)方阵的幂设A是n阶方阵,定义A1=A,A2=A·A,…,Ak+1=Ak·A,其中k为正整数.4)方阵的行列式由n阶方阵A的元素所构成的行列式,叫做方阵A的行列式,记作|A|或detA.283.一些特殊的矩阵1)设A为m×n阶矩阵,把它的行换成同序号的列得到的新矩阵,叫做A的转置矩阵,记作A或AT矩阵的转置也是一种运算,若运算可行,则有(AT)T=A;(A+B)T=AT+BT;(A)T=AT;(AB)T=BTAT.292)、共轭转置矩阵当A=(aij)为复矩阵时,用ija表示aij的共轭复数,记.aAijHT)(HA称为A的共轭转置矩阵.30;)((1)HHHBABA;)((2)HHAA共轭转置矩阵有以下运算规律(设A,B为复矩阵,为复数,且运算都是可行的):;)()3(HHHABABAAHH)()4(31()nnijAaCHAAAHAAAnnARTAAATAAA3)设，如果，则称是Hermite矩阵，如果，则称是反Hermite矩阵。，如果，则称是（实）对称矩阵，如果，则称是（实）反对称矩阵。设324)设A为n阶方阵,若满足A2=A,则称A为幂等矩阵.若满足A2=E,则称A为对合矩阵.若满足AAT=ATA=E,则称A为正交矩阵.335)行列式|A|的各元素的代数余子式Aij所构成的方阵,AAAAAAAAAAnnnnnn*212221212111叫做方阵A的伴随矩阵.伴随矩阵具有重要性质:AA*=A*A=|A|E.341.任何两个矩阵A、B都能进行加(减),相乘运算吗?思考答不是.(1)只有当A,B为同型矩阵时,才能进行加(减)运算.(2)只有当第一个矩阵A的列数与第二个矩阵B的行数相同时,A与B才能相乘,这时AB才存在.352.两个矩阵A、B相乘时,AB=BA吗?|AB|=|BA|?答AB不一定等于BA.若要AB=BA,首先要使AB和BA都存在,此时A、Ｂ应为同阶方阵.其次矩阵的乘法不满足交换律.在一般情况下,ABBA.但对同阶方阵A、B,|AB|=|BA|是一定成立的.因为对于数的运算,交换律是成立的,即|AB|=|A||B|=|B||A|=|BA|.363.若AB=AC能推出B=C吗?,C,B,A000010000001则AB=AC,但BC.答不能.因为矩阵的乘法不满足消去律.例如374.非零矩阵相乘时,结果一定不是零矩阵吗?,OBO,A10000010但.AB0000又如O,A0010但.AAA00002答非零矩阵相乘的结果可能是零矩阵.例如385.设A与B为n阶方阵,问等式A2-B2=(A+B)(A-B)成立的充要条件是什么？答A2-B2=(A+B)(A-B)成立的充要条件是AB=BA.事实上，由于(A+B)(A-B)=A2+BA-AB-B2,故A2-B2=(A+B)(A-B)当且仅当BA-AB=0，即AB=BA.394.逆阵的概念1)设A为n阶方阵,如果存在矩阵B,使AB=BA=E,则称矩阵A是可逆的(或非奇异的、非退化的、满秩的），且矩阵B称为A的逆矩阵.若有逆矩阵,则A的逆矩阵是唯一的,记作A-1.2)相关定理及性质(i)方阵A可逆的充分必要条件是:|A|0.(ii)若矩阵A可逆,则A-1=A*/|A|.40(iii)(A-1)-1=A;(A)-1=1/A-1(0);(AT)-1=(A-1)T.(iv)若同阶方阵A与B都可逆,那么AB也可逆,且(AB)-1=B-1A-1.5.矩阵的分块运算矩阵的分块,主要目的在于简化运算及便于论证,其运算法则同普通矩阵类似.41两种常用的分块法1).按行分块对于mn矩阵A可以进行如下分块：mnmmnnaaaaaaaaaA112222111211.TT2T1m422).按列分块对于mn矩阵A可以进行如下分块：).,,,(21naaamnmmnnaaaaaaaaaA11222211121143对于矩阵A=(aij)ms与矩阵B=(bij)sn的乘积矩阵AB=C=(cij)mn，若把A按行分成m块，把B按列分成n块，便有),,,(21TT2T1nmABnmmmnnT2T1TT22T21T2T12T11T1=(cij)mn，.1Tskkjikjiijbac44以对角矩阵m左乘矩阵Amn时，把A按行分块，有TT2T121mmnmmA,TT22T11mm以对角矩阵m左乘A的结果是A的每一行乘以中与该行对应的对角元.45以对角矩阵n左乘矩阵Amn时，把A按列分块，有mnnaaaA2121),,,(,),,,(2211nn以对角矩阵n右乘A的结果是A的每一列乘以中与该列对应的对角元.46（1）表示什么？思考设ie是标准单位坐标向量，则jAe（2）表示什么？AeTi（3）表示什么？jTiAee476、线性方程组的各种形式对于线性方程组)1(,,,22112222212111212111