矩阵论课件线性代数基础

第2章线性映射与线性变换第1章线性空间与内积空间第3章λ-矩阵与矩阵的Jordan标准形第4章矩阵的因子分解第7章矩阵函数与矩阵值函数第5章Hermite矩阵与正定矩阵第6章范数与极限第8章广义逆矩阵第1章线性空间与内积空间本章概述线性空间与内积空间的基本概念和基本理论。这些概念是通常几何空间概念的推广和抽象。在近代数学发展中，这些概念和理论已渗透到数学的各个分支。本章内容是学习本书的基础。1.1预备知识：集合·映射与数域1.2线性空间1.3基与坐标1.4线性子空间1.5线性空间的同构1.6内积空间1.1预备知识：集合·映射与数域1.1.1集合及其运算1.1.2二元关系与等价关系1.1.3映射1.1.4数域与代数运算1.1.1集合及其运算集合是近代数学的最基本概念之一，它是由具有某种性质所确定的事物的总体。根据这种性质可以辨别任一事物属于或不属于这个集合。属于这个集合的事物称为这个集合的元素。若a为集合A的元素，则a称属于A，记为；若a不是集合A的元素，则称a不属于A，记为。AaAa集合表示方法•列举法即把一个集合的元素都列举出来•概括法即把这个集合的元素所具有的特征性质表示出来。},,{321aaaA)}(|{xPxA设A，B是两个集合，如果集合A的元素都是集合B的元素，则称A为B的子集，或称B包含A，记为或。如果且，则称集合A与B相等，记为。ABBABABABA含有有限个元素的集合称为有限集；否则称为无限集。不含任何元素的集合称为空集，记为。为了方便，我们规定空集是任意集合的子集。定义1.1.1设A，B是两个集合，由属于A或者属于B的所有元素作成的集合称为A与B的并集，记为，即或由既属于A又属于B的所有元素作成的集合称为A与B的交集，记为，即BAAxxBA|{}BxBA}|{BxAxxBA且由集合的交与并运算的定义，显然有BAABABAAAAAABABBAAAAA定理1.1.1设A、B、C是三个集合,则ABBAABBA,)1(CBACBACBACBA)()()()()2()()()()()()()3(CABACBACABACBA1.1.2二元关系与等价关系定义1.1.2设A、B是两个非空集合，元素对的集合称为A与B的笛卡儿积，记作，即},|),{(BbAabaBA},|),{(BbAabaBA定义1.1.3设A、B是两个集合，的子集R称为中的一个二元关系，即对任意，，如果，则称a与b有关系R，记为aRb。特别地，中的二元关系简称为A上的二元关系。BABAAaBbRba),(AA例３：Ａ＝｛4321aaaa李兰，陈平，王兵，张华Ｂ＝｛4321bbbb遥感，自动化，硬件，软件C＝{4321cccc离散数学，操作系统，电子线路，工程制图｝则：Ｒ1＝｛（ａ1，ｂ1），（ａ1，ｂ3），（ａ2，ｂ2），（ａ2，ｂ4），（ａ3，ｂ3），（ａ3，ｂ4）,（ａ4，ｂ1），（ａ4，ｂ4）｝是选双学位专业的二元关系。定义1.1.4若集合A上的一个二元关系R满足（1）自反性：对任意，有aRa；（2）对称性：对任意，如果aRb，则bRa；（3）传递性：对任意，如果aRb，bRc，则aRc则称R是A上的一个等价关系。AaAba,Acba,,定义1.1.5设R是A上的一个等价关系，称为a关于R的等价类。A的所有元素关于R的等价类集合称为A关于R的商集。定义1.1.6设每个都是集合A的非空子集，如果，并且对任意，当时有，则称是A的一个分类。Aa},|{][xRaAxxa}|]{[AaaRA)(IiBiIiiBAIji,jijiBB}{iB例１：Ａ＝｛５２张扑克｝Ｒ1＝｛（ａ，ｂ）｜ａ与ｂ同花，ａ，ｂ是扑克｝Ｒ2＝｛（ａ，ｂ）｜ａ与ｂ同点，ａ，ｂ是扑克｝Ｒ1把Ａ分为四类同花类，则Ｒ2把Ａ分为１３类同点类。定理1.1.2（1）集合A上的每个等价关系R都决定A的一个分类。（2）集合A的每个分类都决定A上的一个等价关系。证明（1）如果R是A上的等价关系，则A/R给出了A的一个分类。（2）如果是A的一个分类，令存在，使得则R是A上的一个等价关系。}{iB|),{(yxRiB},iiByBx定义1.1.6’若集合A上的一个二元关系R满足（1）自反性：对任意，有aRa；Aa（2）反对称性：对任意，如果aRb，且bRa，则a=b；Aba,（3）传递性：对任意，如果aRb，bRc，则aRcAcba,,则称R是A上的一个偏序关系，记为“≤”。若≤是集合A上的一个偏序关系，则称A是关于偏序关系≤的偏序集，记为（A,≤）。定义1.1.6”设（A,≤）是一个偏序集，如果对任意，总有或则称≤是集合A上的顺序关系，并称（A,≤）为序集或序空间。Aba,baab1.1.3映射定义1.1.7设A、B是两个非空集合，如果存在一个A到B的对应法则f，使得对A中的每一个元素x都有B中唯一的一个元素y与之对应，则称f是A到B的一个映射,记为).(xfy元素称为元素在映射f下的像，称x为y的原像。集合A称为映射f的定义域。当A中元素x改变时，x在映射f下的像的全体作成B的一个子集，称为映射f的值域，记为R(f)。ByAx通常用记号BAf:抽象地表示f是A到B的一个映射。用记号)(:xfxf表示映射f所规定的元素之间对应关系。定义1.1.8设f是集合A到B的一个映射，（1）如果对任意，当时有，则称f是A到B内的一一映射或称f是A到B的单映射；（2）如果对任意都有一个使得，则称f是A到B上的映射或称f是A到B的满映射；（3）如果映射f既是单映射又是满映射，则称f是A到B上的一一映射或称f是A到B的双映射。Aba,ba)()(bfafBbAabaf)(设111:BAf222:BAf如果)()(,,2112121afafAaBBAA有并且对任意则称映射21ff与.21ff记为相等，定义1.1.9设A、B、C是三个非空集合，并设有两个映射,:,:21CBfBAf由21,ff确定A到C的映射)))(((:123Aaaffaf称为映射21ff和的乘积，记为123fff定理1.1.3设有映射,:,:21CBfBAf则有,:3DCf;)()()1(123123ffffff.)2(111ffIIfBA定义1.1.10设有映射f:A→B，如果存在映射g:B→A使得其中分别是A与B上的恒等映射，则称g为f的逆映射,记为。如果映射f有逆映射，则称f为可逆映射。,AIfgBIgfBAII,1f1f定理1.1.4设映射f:A→B是可逆的，则f的逆映射是唯一的。1f定理1.1.5映射f:A→B是可逆映射的充分必要条件是f是A到B的双映射。定义1.1.11设A是一个非空集合，A到自身的映射称为A的变换；A到自身的双映射称为A的一一变换；如果A是有限集，A的一一变换称为A的置换。1.1.4数域与代数运算定义1.1.12设P是包含0和1在内的数集，如果P中任意两个数的和、差、积、商（除数不为0）仍是P中的数，则称P为一个数域。也是一个数域。如：数集},|2{)2(QbabaQ定义1.1.13设A,B,C是三个非空集合，到C的映射称为A与B到C的一个代数运算。特别地，到C的映射称为A到C的代数运算；到A的映射称为A的代数运算或A的二元运算，也称集合A对代数运算是封闭的。BAAAAA一个代数运算是一个特殊的映射。如果有A与B到C的一个代数运算记为“”,则由定义，对任意，经过代数运算得唯一的，即:(a,b)→c，记为c=abBbAa,Cc