矩阵秩线代

第三章矩阵给定一个方程组由m个方程组成，但本质有几个方程呢？121212231231462xxxxxx12121212423123146232xxxxxxxx方程组有解吗？§5矩阵的秩矩阵的秩是矩阵的一个重要的数字特征.它反映了矩阵的内在特征，在线性代数的理论上占有非常重要的地位.它是讨论矩阵的可逆性、向量的线性表示与线性相关、线性方程组解的理论等问题的主要依据，起着无可比拟的作用.Definition14一、矩阵秩的定义在矩阵A中，任取k行和k列(km,kn)，位于这些行列交叉处的k2个元素按原有顺序构成的一个k阶行列式，称为矩阵A的一个k阶子式.mn281787543019351365如：m×n矩阵A的k阶子式共有.kkmnCC§5矩阵的秩Definition15在矩阵A中，有一个r阶子式不为零，且所有r+1阶子式(如果存在的话)全等于零，那么，数r称为矩阵A的秩(rank).记作秩(A)或R(A),规定R(0)=0mn1、由行列式性质，定义中说r+1阶子式全为零，则所有大于r+1阶子式（如果有）也全为零，所以称D为矩阵A的最高阶非零子式.显然第三章矩阵2、若A有一个非零k阶子式，则必有.而,表示A有非零k阶子式，但并不说明A的所有k阶子式全不为零，所以A有一个k阶子式为零不能说明（除非是所有的）()RAk()RAk()RAk3、A是m×n矩阵，则必有0≤R(A)≤min(m,n)det0()ARAn称R(A)=n的n阶方阵A为满秩矩阵；否则，称为降秩矩阵.()RAn４、A为n阶方阵，则§5矩阵的秩Example20求矩阵A=的秩.124124823620Solution：12:0()224noteRA不能8240()220RA在矩阵A中共有4个三阶子式，因A的第一、第二行对应成比例，而任一三阶子式必包含第一、二行所以，所有三阶子式都为零.从而R(A)=2.5、R(AT)=R(A)；6、其中为常数.00()()0RARA第三章矩阵考察下面两个矩阵的秩21112112144622436979B1112140115120001300000B对B可经复杂的计算，得R(B)=3而对B1非常容易11101510001R(B)=3即非零行数初等变换猜想：矩阵经初等变换秩不变如果猜想成立，则化矩阵为阶梯形来求秩是方便的B1是阶梯形矩阵§5矩阵的秩二、矩阵秩的计算Theorem4初等变换不改变矩阵的秩.Proof:先证A经一次初等行变换变为B，则()()RARB设R(A)=r，且A的某个r阶子式0DijirrrkABAB当或时，在B中总能找到与D相对应的子式，由于或或DkD=DDDDD0().DRBr因此，从而这是因为A经一次初等行变换变为B，则B也可经一次初等行变换变为A，所以从而既然每一次初等行变换秩不变，则有限次也不变．()()RBRA()()RBRAijrkrAB当时，分三种情形讨论：第三章矩阵()RBr(1)D中不含ri；(2)D中同时含ri、rj；(3)D中含ri，但不含rj.对(1)、(2)情形，显然B中与D对应的子式1ijijDrkrrkrDkD对情形(3)0DD=100()DDDRBr=；如果，则有10D()RBr如果，则因D1中不含ri知，A中有不含ri的r阶非零子式，由情形(1)§5矩阵的秩综上,证明了若A经一次初等行变换变为B,则,即可知A经有限次初等行变换变为B,也成立.()()RARB由于B也可经有限次初等行变换变为A,故也有.因此,()()RBRA,()()ABRARB有限次初等行变换则类似可证,()()ABRARB有限次初等列变换则Corollary2矩阵A的标准形是唯一的.总之，若A经有限次初等变换变为B，则R(A)=R(B).Corollary1121121000rssttEPPPPAQQQQ等矩阵P1，P2，…，Ps与n阶初等矩阵Q1，Q2，…，Qt，使得mnA设是秩为r矩阵，则存在m阶初第三章矩阵Example21求矩阵A=的秩，并求一个最高阶非零子式.11012121360112401111Solution：1101201124011240111111012121360112401111A21rr3242rrrr1101201124000000003334rr11012011240003300000()3RA3345340ACC的阶子式共有要有规律123450124AA记，说明A0中有3阶非零子式11112330011即为所求111012003000A0的行阶梯形矩阵为§5矩阵的秩Example22设求矩阵A及矩阵B=(A，b)的秩.12211248022423336064Ab，Solution：(,)(,)rBAbBAb若是行阶梯形矩阵,A则是A的行阶梯形矩阵.B12211248022423336064213141223rrrrrr12211004200021500631122110021000005000012324223rrrrr3435rrr12211002100000100000因此，R(A)=2，R(B)=3.A、B作为方程组的系数、增广矩阵，则无解R(A)与R(B)的关系第三章矩阵Example23Solution：32rr132131rrrrrr111111211011011设A=.111111试问为何值时，R(A)=1，R(A)=2，R(A)=3.方法一利用初等行变换将A化为行阶梯形A=1101100(2)(1)讨论：1101100(2)(1)10(2)(1)0121、要使R(A)=3，则即且111000000112、当时，把代入以上矩阵，得A112033000223、当时，把代入以上矩阵,得A则R(A)=1;则R(A)=2.§5矩阵的秩方法二0DD=211112121033112000A111111111000,111000A2(1)(2)A所以012A1、当，即且时，R(A)=3;112、当时，把代入矩阵A，得则R(A)=1；223、当时，把代入矩阵A，得，则R(A)=2.因为第三章矩阵三、矩阵秩的性质Property1若，则R(A)=R(B)，即等价矩阵有相同的秩.ABmax(),()()().RARBRABRARB但反之不然.Property2Property3什么条件成立？设A为m×n矩阵，P为m阶可逆矩阵，Q为n阶可逆矩阵，则R(PAQ)=R(PA)=R(AQ)=R(A).设A为m×s矩阵，B为m×t矩阵，则()()1RARARA特别地，,其中为m×1矩阵.§5矩阵的秩Property4Property5设A，B均为m×n矩阵，则()()().RABRAAB()min(),().RABRARB设A为m×s矩阵，B为s×n矩阵，则Property6设A为m×s矩阵，B为s×n矩阵，且()()RARBsAB=0，则Property7*()()1()10()1nRAnRARAnRAn若若若设A为n(n≥2)阶矩阵，则第三章矩阵Example24设A为n阶矩阵，满足A2–3A–4E=0证明：R(A+E)+R(A–4E)=n.Proof:R(A+E)+R(A–4E)=R(A+E)+R(4E–A)≥R((A+E)+(4E–A))=R(5E)=R(E)=n.即R(A+E)+R(A–4E)≥n.又(A+E)(A–4E)=A2–3A–4E=0即R(A+E)+R(A–4E)≤n.综上，得R(A+E)+R(A–4E)=n.Prop4:设A，B均为m×n矩阵，则()()().RABRAABProp6:设A为m×s矩阵，B为s×n矩阵，且AB=0，则()()RARBs第三章矩阵§6线性方程组解的理论11112211211222221122.........................nnnnmmmnnmaxaxaxbaxaxaxbaxaxaxb含有m个方程，n个未知量的线性方程组的一般形式为可简记为1(1,2,...,)nijjijaxbim1212,(),TTijnmmnAaxxxxbbbb记A，B=(A，b)分别为线性方程组的系数矩阵、增广矩阵.其矩阵形式为Ax=b(2)如果b≠0，则称(2)为非齐次线性方程组；如果b=0，则称(2)为齐次线性方程组.§6线性方程组解的理论一、齐次线性方程组解的理论对齐次线性方程组，一定有解x=(0,0,…,0).关心的是什么条件只有零解或有非零解？Theorem5n元齐次线性方程组(2)有非零解的充分必要条件是系数矩阵的秩R(A)n.proof即只有零解的充分必要条件是R(A)=A的列数.不是有否多余方程也不是0ACorollary1当mn时，(2)必有非零解.GoonCorollary2当m=n时，(2)有非零解的充分必要条件是.0A第三章矩阵Theorem5的证明Proof:必要性设齐次线性方程组有非零解.反证,假设R(A)=n,则在A中有一个n阶非零子式Dn，从而Dn所对应的n个方程只有零解．这与假设有非零解矛盾，所以，R(A)n由Cramer法则充分性设R(A)=rn,则A的行阶梯形矩阵只含r个非零行．可知方程组共有n-r个自由未知量．任取一个自由未知量为１，其余自由未知量为０,即可得方程组的一个非零解．§6线性方程组解的理论Example25Solution：一定有非零解1211100111002420025221312rrrr34367rrr1211100111000100000012rr12002001010001000000显然，方程组有两个自由未知量，取x2，x5A12111243111213300252324222rrrr121110011100060000701323rrrr12101001010001000000112213121224522222100100001xkkxkxkkkkkxxk得，为任意常数唯一吗？令x2