矩阵论试卷及答案(20121A)

南京航空航天大学2011级硕士研究生共5页第1页2011~2012学年第1学期《矩阵论》课程考试A卷考试日期：2012年1月9日，课程编号：A000003，命题教师：阅卷教师：学院专业学号姓名成绩一（20分）设3615125125A。（1）求A的特征多项式和A的全部特征值；（2）求A的行列式因子，不变因子，初等因子和最小多项式；（3）写出A的Jordan标准形J。（1）3IA，3’A的特征值1231,0；3’（2）A的行列式因子31,,；3’A的不变因子21,,；3’A的初等因子2,；2’A的最小多项式2;1’（3）A的Jordan标准形010000000。5’共5页第2页二（20分）（1）设211203A，求FAAAA,,,21；（2）设nmijCaA)(，证明：（i）对m阶酉矩阵U和n阶酉矩阵V，有FFUAVA；（ii）若()rankAr，r,,,21为A的全部正奇异值，则22111rmnkijkija。（1）,61A2’140,05HAA214A;4’3A;2’19FA.2’(2)(i)11221111222[(())][()][()][()][()].HHHHFHHHHFUAVtrUAVUAVtrVAUUAVtrVAAVtrVAAVtrAAA5’(ii)因为()rankAr，则由奇异值分解定理知，存在m阶酉矩阵U和n阶酉矩阵V，使得000HUAV，其中12(,,,)rdiag，从而222221110||00rmnHiijFFiijFUAVAa5’共5页第3页三（20分）设110101101211A，304b.（1）计算A的满秩分解；（2）计算广义逆矩阵A；（3）用广义逆矩阵判定线性方程组bAx是否相容。若相容，求其通解；若不相容，求其极小最小二乘解。（1）10110101011011A；8’（2）11()()TTTTACCCBBB2’5410331572155416’（3）因为501011511535511AAbb，所以bAx不相容。2’bAx的极小最小二乘解为1912171519xAb。2’共5页第4页四（20分）（1）设210133032A，判断A是否是正定或半正定矩阵，并说明理由；（2）设A是n阶Hermite正定矩阵，B是n阶Hermite矩阵，证明：AB相似于实对角矩阵；（3）设A，B均为n阶Hermite矩阵，并且ABBA，是AB的特征值，证明：存在A的特征值和B的特征值，使得。（1）因为A的顺序主子式12320,50,80，所以A不是正定的。4’因为A有一个主子式380或333032，所以A也不是半正定的。4’（2）因为A是n阶Hermite正定矩阵，则存在可逆Hermite矩阵S，使得2AS，从而AB相似于1HSABSSBSSBS。3’又因为B是Hermite矩阵，则HSBS是Hermite矩阵。由Hermite矩阵的谱分解HSBS相似于实对角矩阵，再由相似的传递性知，AB相似于实对角矩阵。3’（3）因为A，B均为n阶Hermite矩阵，并且ABBA，则存在n阶酉矩阵U，使得11(,,),(,,)HHnnUAUdiagUBUdiag。3’从而11(,,)HnnUABUdiag，即AB相似于对角矩阵11(,,)nndiag。因此，如果是AB的特征值，则存在A的特征值和B的特征值，使得。3’共5页第5页五（20分）设3[]Rx表示实数域R上次数小于3的多项式再添上零多项式构成的线性空间。（1）确定3[]Rx的维数，并写出3[]Rx的一组基；（2）对20123()[]fxaaxaxRx，在3[]Rx上定义线性变换T如下：2011220(())()()()Tfxaaaaxaax，求T在（1）中所取基下的矩阵表示；（3）求（2）中线性变换T的值域)(TR和核()KerT，并确定它们的维数；（4）在3[]Rx中定义内积131(,)()(),(),()[]fgfxgxdxfxgxRx求3[]Rx的一组标准正交基。（1）3dim([])3Rx，2’3[]Rx的一组基为21231,,xx。3’（2）因为2113()1Tx212()1Tx2323()Txx则T在基123，，下的矩阵为110011101。6’（3）1231312()((),(),())(,)RTspanTTTspan，1’dim(())2RT，1’123()()KerTspan，1’dim(())1KerT。1’（4）3[]Rx的一组标准正交基为112；1’232x；2’23351()322x。2’