命题及其关系、充分条件与必要条件-知识点与题型归纳

●高考明方向1.理解命题的概念．2.了解“若p，则q”形式的命题的逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系．3.理解充分条件、必要条件与充要条件的含义.★备考知考情常用逻辑用语是新课标高考命题的热点之一，考查形式以选择题为主，试题多为中低档题目，命题的重点主要有两个：一是命题及其四种形式，主要考查命题的四种形式及命题的真假判断；二是以函数、数列、不等式、立体几何中的线面关系等为背景考查充要条件的判断，这也是历年高考命题的重中之重．命题的热点是利用关系或条件求解参数范围问题，考查考生的逆向思维.一、知识梳理《名师一号》P4知识点一命题及四种命题1、命题的概念在数学中用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题．注意：命题必须是陈述句，疑问句、祈使句、感叹句都不是命题。2．四种命题及其关系(1)四种命题间的相互关系．(2)四种命题的真假关系①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性无关．注意：(补充)1、一个命题不可能同时既是真命题又是假命题2、常见词语的否定原词语等于（=）大于（）小于（）是否定词语不等于（≠）不大于（≤）不小于（≥）不是原词语都是至多有一个至多有n个或否定词语不都是至少有两个至少有n+1个且原词语至少有一个任意两个所有的任意的否定词语一个也没有某两个某些某个知识点二充分条件与必要条件1、充分条件与必要条件的概念（1）充分条件：qp则p是q的充分条件即只要有条件p就能充分地保证结论q的成立，亦即要使q成立，有p成立就足够了，即有它即可。（2）必要条件：qp则q是p的必要条件qpqp即没有q则没有p，亦即q是p成立的必须要有的条件，即无它不可。(补充)（3）充要条件qp且qp即pq则p、q互为充要条件（既是充分又是必要条件）“p是q的充要条件”也说成“p等价于q”、“q当且仅当p”等(补充)2、充要关系的类型（1）充分但不必要条件定义：若qp，但pq，则p是q的充分但不必要条件；（2）必要但不充分条件定义：若pq，但qp，则p是q的必要但不充分条件（3）充要条件定义：若qp，且pq，即pq，则p、q互为充要条件；（4）既不充分也不必要条件定义：若qp，且pq，则p、q互为既不充分也不必要条件．3、判断充要条件的方法：《名师一号》P6特色专题①定义法；②集合法；③逆否法（等价转换法）．逆否法----利用互为逆否的两个命题的等价性集合法----利用集合的观点概括充分必要条件若条件p以集合A的形式出现，结论q以集合B的形式出现，则借助集合知识，有助于充要条件的理解和判断．（1）若AB，则p是q的充分但不必要条件（2）若BA，则p是q的必要但不充分条件（3）若BA，则p是q的充要条件（4）若BA，且BA，则p是q的既不必要也不充分条件(补充)简记作----若A、B具有包含关系，则（1）小范围是大范围的充分但不必要条件（2）大范围是小范围的必要但不充分条件二、例题分析（一）四种命题及其相互关系例1.(1)《名师一号》P4对点自测1命题“若x，y都是偶数，则x＋y也是偶数”的逆否命题是()A．若x＋y是偶数，则x与y不都是偶数B．若x＋y是偶数，则x与y都不是偶数C．若x＋y不是偶数，则x与y不都是偶数D．若x＋y不是偶数，则x与y都不是偶数答案C例1.(2)《名师一号》P5高频考点例1下列命题中正确的是()①“若a≠0，则ab≠0”的否命题；②“正多边形都相似”的逆命题；③“若m0，则x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题；④“若x－123是有理数，则x是无理数”的逆否命题．A．①②③④B．①③④C．②③④D．①④解析:①中否命题为“若a＝0，则ab＝0”，正确；②中逆命题不正确；③中，Δ＝1＋4m，当m0时，Δ0，原命题正确，故其逆否命题正确；④中原命题正确故逆否命题正确．答案B注意：《名师一号》P5高频考点例1规律方法在判断四个命题之间的关系时，首先要分清命题的条件与结论，再比较每个命题的条件与结论之间的关系．要注意四种命题关系的相对性，一旦一个命题定为原命题，也就相应的有了它的“逆命题”“否命题”“逆否命题”；判定命题为真命题时要进行推理，判定命题为假命题时只需举出反例即可．对涉及数学概念的命题的判定要从概念本身入手．例1.(3)《名师一号》P4对点自测2(2014·陕西卷)原命题为“若z1，z2互为共轭复数，则|z1|＝|z2|”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是()A．真，假，真B．假，假，真C．真，真，假D．假，假，假解析易知原命题为真命题，所以逆否命题也为真，设z1＝3＋4i，z2＝4＋3i，则有|z1|＝|z2|，但是z1与z2不是共轭复数，所以逆命题为假，同时否命题也为假．注意：《名师一号》P5问题探究问题2四种命题间关系的两条规律(1)逆命题与否命题互为逆否命题；互为逆否命题的两个命题同真假．(2)当判断一个命题的真假比较困难时，可转化为判断它的逆否命题的真假．同时要关注“特例法”的应用．例2．(1)(补充)（2011山东文5)已知a，b，c∈R，命题“若abc=3，则222abc≥3”的否命题．．．是（）(A)若a+b+c≠3，则222abc3(B)若a+b+c=3，则222abc3[来源XK](C)若a+b+c≠3，则222abc≥3(D)若222abc≥3，则a+b+c=3【答案】A[来【解析】命题“若p，则q”的否命题是：“若p，则q”例2．(2)(补充)命题：“若0xy，则0x或0y”的否定．．是：________【答案】若0xy，则0x且0y【解析】命题的否定只改变命题的结论。注意：命题的否定与否命题的区别（二）充要条件的判断与证明例1.(1)(补充)（07湖北）已知p是r的充分条件而不是必要条件，q是r的充分条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件。现有下列命题：①s是q的充要条件；②p是q的充分条件而不是必要条件；③r是q的必要条件而不是充分条件；④sp是的必要条件而不是充分条件；⑤r是s的充分条件而不是必要条件，则正确命题序号是（）A.①④⑤B.①②④C.②③⑤D.②④⑤答案:Ｂ注意：1、利用定义判断充要条件《名师一号》P6特色专题方法一定义法定义法就是将充要条件的判断转化为两个命题——“若p，则q”与“若q，则p”的判断，根据两个命题是否正确，来确定p与q之间的充要关系．qp则p是q的充分条件；q是p的必要条件2、利用逆否法判断充要条件《名师一号》P6特色专题方法三等价转化法当所给命题的充要条件不好判定时，可利用四种命题的关系，对命题进行等价转换．常利用原命题与逆命题的qrsp真假来判断p与q的关系．令p为命题的条件，q为命题的结论，具体对应关系如下：①如果原命题真而逆命题假，那么p是q的充分不必要条件；②如果原命题假而逆命题真，那么p是q的必要不充分条件；③如果原命题真且逆命题真，那么p是q的充要条件；④如果原命题假且逆命题假，那么p是q的既不充分也不必要条件．简而言之,逆否法----利用互为逆否的两个命题的等价性例1.(2)《名师一号》P6特色专题例1(2014·北京卷)设{an}是公比为q的等比数列．则“q1”是“{an}为递增数列”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【规范解答】若q1，则当a1＝－1时，an＝－qn－1，{an}为递减数列，所以“q1”⇒/“{an}为递增数列”；若{an}为递增数列，则当an＝－12n时，a1＝－12，q＝121，即“{an}为递增数列”⇒/“q1”．故选D.例1.(3)《名师一号》P6特色专题例2(2014·湖北卷)设U为全集．A，B是集合，则“存在集合C使得AC，B∁UC”是“A∩B＝”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【规范解答】如图可知，存在集合C，使AC，B∁UC，则有A∩B＝.若A∩B＝，显然存在集合C.满足AC，B∁UC.故选C.例1.(4)《名师一号》P4对点自测5已知p：－4k0，q：函数y＝kx2－kx－1的值恒为负，则p是q成立的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析:－4k0⇒k0，Δ＝k2＋4k0，函数y＝kx2－kx－1的值恒为负，但反之不一定有－4k0，如k＝0时，函数y＝kx2－kx－1的值恒为负，即p⇒q，而q⇒/p.可用定义或集合法注意：3、利用集合法判断充要条件《名师一号》P6特色专题方法二集合法涉及方程的解集、不等式的解集、点集等与集合相关的命题时，一般采用集合间的包含关系来判定两命题之间的充要性．具体对应关系如下：若条件p以集合A的形式出现，结论q以集合B的形式出现，则借助集合知识，有助于充要条件的理解和判断．（1）若AB，则p是q的充分但不必要条件（2）若BA，则p是q的必要但不充分条件（3）若BA，则p是q的充要条件（4）若BA，且BA，则p是q的既不必要也不充分条件(补充)简记作----若A、B具有包含关系，则（1）小范围是大范围的充分但不必要条件（2）大范围是小范围的必要但不充分条件例2.《名师一号》P5高频考点例3函数f(x)＝log2x，x0，2x－a，x≤0有且只有一个零点的充分不必要条件是()A．a≤0或a1B．0a12C.12a1D．a0解析:因为f(x)＝log2x，x0，2x－a，x≤0有且只有一个零点的充要条件为a≤0或a1.由选项可知，使“a≤0或a1”成立的充分条件为选项D.注意：《名师一号》P5高频考点例3规律方法有关探求充要条件的选择题，解题关键是：首先，判断是选项“推”题干，还是题干“推”选项；其次，利用以小推大的技巧，即可得结论．务必审清题，明确“谁是条件”！此题选项是条件！练习：(补充)已知:3px且2y，:5qxy，则p是q的条件。答案:既不充分条件也不必要条件例3.《名师一号》P6特色专题例3已知命题p：关于x的方程4x2－2ax＋2a＋5＝0的解集至多有两个子集，命题q：1－m≤x≤1＋m，m0，若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．【规范解答】∵p是q的必要不充分条件，∴p是q的充分不必要条件．对于命题p，依题意知Δ＝(－2a)2－4·4(2a＋5)＝4(a2－8a－20)≤0，∴－2≤a≤10，令P＝{a|－2≤a≤10}，Q＝{x|1－m≤x≤1＋m，m0}，由题意知PQ，∴m0，1－m－2，1＋m≥10或m0，1－m≤－2，1＋m10，解得m≥9.因此实数m的取值范围是{m|m≥9}．注意：(补充)凡结合已知条件求参数的取值范围是求满足条件的等价条件即充要条件练习：(补充)已知:210;:11(0)pxqmxmm.若p是q的必要但不充分条件，求实数m的取值范围．解：p是q的必要但不充分条件即pq且qp等价于qppq即p是q的充分但不必要条件令210Axx11(0)Bxmxmm则AB即12110mm解得9m所以实数m的取值范围是9mm注：A是B的真子集，须确保12110mm中的等号不同时取得例4.(补充)求证：关于x的方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负根的充要条件是a≤1.证明：充分性：当a＝0时，方程为2x＋1＝0的根为x＝－12，方程有一个负根，符合题意．当a0时，Δ＝4－4a0，方程ax2＋2x＋1＝0有两个不相等的实根，且1a0，方程有一正一负根，符合题意．当0a≤1时，Δ＝4－4a≥0，方程ax2＋2x＋1＝0有实根，且－2a01a0，