辅导八：锐角三角函数知识点总结与典型例题

1锐角三角函数知识点总结与训练1、勾股定理：直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方。222cba2、如下图，在Rt△ABC中，∠C为直角，则∠A的锐角三角函数为(∠A可换成∠B)：定义表达式取值范围关系正弦斜边的对边AAsincaAsin1sin0A(∠A为锐角)BAcossinBAsincos1cossin22AA余弦斜边的邻边AAcoscbAcos1cos0A(∠A为锐角)正切的邻边的对边AtanAAbaAtan0tanA(∠A为锐角)SinA=cosAtanA3、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值。4、0°、30°、45°、60°、90°特殊角的三角函数值(重要)三角函数0°30°45°60°90°sin02122231cos12322210tan03313-5、正弦、余弦的增减性：当0°≤≤90°时，sin随的增大而增大，cos随的增大而减小。6、正切的增减性：当0°90°时，tan随的增大而增大，7、解直角三角形的定义：已知边和角（两个，其中必有一边）→所有未知的边和角。依据：①边的关系：222cba；②角的关系：A+B=90°；③边角关系：三角函数的定义。(注意：尽量避免使用中间数据和除法)8、应用举例：(1)仰角：视线在水平线上方的角；俯角：视线在水平线下方的角。)90cos(sinAA)90sin(cosAABAcossinBAsincosA90B90得由BA对边邻边斜边ACBbac2仰角铅垂线水平线视线视线俯角(2)坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡度(坡比)。用字母i表示，即hil。坡度一般写成1:m的形式，如1:5i等。把坡面与水平面的夹角记作(叫做坡角)，那么tanhil。3、从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角。如图3，OA、OB、OC、OD的方向角分别是：45°、135°、225°。4、指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角。如图4,OA、OB、OC、OD的方向角分别是：北偏东45°（东北方向），南偏东45°（东南方向），南偏西45°（西南方向），北偏西45°（西北方向）。:ihlhlα3类型一：直角三角形求值例1．已知Rt△ABC中，,12,43tan,90BCAC求AC、AB和cosB．例2．已知：如图，⊙O的半径OA＝16cm，OC⊥AB于C点，43sinAOC求：AB及OC的长．例3.已知A是锐角，178sinA，求Acos，Atan的值对应训练：1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若BC＝1，AB=5，则tanA的值为A．55B．255C．12D．242．在△ABC中，∠C=90°，sinA=53，那么tanA的值等于（）.A．35B.45C.34D.43类型二.利用角度转化求值：例1．已知：如图，Rt△ABC中，∠C＝90°．D是AC边上一点，DE⊥AB于E点．DE∶AE＝1∶2．求：sinB、cosB、tanB．例2．如图，直径为10的⊙A经过点(05)C，和点(00)O，，与x轴的正半轴交于点D，B是y轴右侧圆弧上一点，则cos∠OBC的值为（）A．12B．32C．35D．45对应训练:3.如图，O⊙是ABC△的外接圆，AD是O⊙的直径，若O⊙的半径为32，2AC，则sinB的值是（）ADECBF第18题图A．23B．32C．34D．434.如图4，沿AE折叠矩形纸片ABCD，使点D落在BC边的点F处．已知8AB，10BC，AB=8,则tanEFC∠的值为()Ａ．34Ｂ．43Ｃ．35Ｄ．45类型三.化斜三角形为直角三角形例1如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，AC=23，求AB的长．DCBAOyx第8题图5例2．已知：如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝10，AC＝5．求：sin∠ABC的值．对应训练1．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，点D在BC边上，且△ABD是等边三角形．若AB=2，求△ABC的周长．（结果保留根号）2．已知：如图，△ABC中，AB＝9，BC＝6，△ABC的面积等于9，求sinB．3.△ABC中，∠A=60°，AB=6cm，AC=4cm，则△ABC的面积是A.23cm2B.43cm2C.63cm2D.12cm2类型四：利用网格构造直角三角形例1如图所示，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则sinA的值为（）A．12B．55C．1010D．255对应训练：61．如图，△ABC的顶点都在方格纸的格点上，则sinA=_______.2．正方形网格中，AOB∠如图放置，则tanAOB∠的值是（）A．55B.255C.12D.2类型五:取特殊角三角函数的值1）.计算：60tan45sin230cos2．2）计算：30cos245sin60tan2.3)计算：3－1+(2π－1)0－33tan30°－tan45°4)．计算：030tan2345sin60cos221．5)．计算：tan45sin301cos60；类型六：解直角三角形的实际应用例1．如图，从热气球C处测得地面A、B两点的俯角分别是30°、45°，如果此时热气球C处的高度CD为100米，点A、D、B在同一直线上，则AB两点的距离是（）A．200米B．200米C．220米D．100（）米例2．已知：如图，在两面墙之间有一个底端在A点的梯子，当它靠在一侧墙上时，梯子的顶端在B点；当它靠在另一侧墙上时，梯子的顶端在D点．已知∠BAC＝60°，∠DAE＝CBAABO图2745°．点D到地面的垂直距离m23DE，求点B到地面的垂直距离BC．例3如图，一风力发电装置竖立在小山顶上，小山的高BD=30m．从水平面上一点C测得风力发电装置的顶端A的仰角∠DCA=60°，测得山顶B的仰角∠DCB=30°，求风力发电装置的高AB的长．对应训练:1.如图，为测量某物体AB的高度，在D点测得A点的仰角为30°，朝物体AB方向前进20米，到达点C，再次测得点A的仰角为60°，则物体AB的高度为（）A．10米B．10米C．20米D．米2．如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东45°方向，距离灯塔100海里的A处，它计划沿正北方向航行，去往位于灯塔P的北偏东30°方向上的B处.（1）B处距离灯塔P有多远？（2）圆形暗礁区域的圆心位于PB的延长线上，距离灯塔200海里的O处．已知圆形暗礁区域的半径为50海里，进入圆形暗礁区域就有触礁的危险．请判断若海轮到达B处是否有触礁的危险，并说明理由．8类型七:三角函数与圆：例1．已知：如图，BC是⊙O的直径，AC切⊙O于点C，AB交⊙O于点D，若AD︰DB＝2︰3，AC＝10，求sinB的值．例2.已知：在⊙O中,AB是直径，CB是⊙O的切线，连接AC与⊙O交于点D,(1)求证：∠AOD=2∠C(2)若AD=8，tanC=34，求⊙O的半径。对应训练:1.如图，DE是⊙O的直径，CE与⊙O相切，E为切点.连接CD交⊙O于点B，在EC上取一个点F，使EF=BF.（1）求证:BF是⊙O的切线;（2）若54Ccos,DE=9，求BF的长．2．已知：如图，△ABC内接于⊙O，过点B作⊙O的切线，交CA的延长线于点E，∠EBC＝2∠C．①求证：AB＝AC；②若tan∠ABE＝21，（ⅰ）求BCAB的值；（ⅱ）求当AC＝2时，AE的长．DBOACCFDOBE9复习题1.如图4，沿AE折叠矩形纸片ABCD，使点D落在BC边的点F处．已知8AB，10BC，AB=8,则tanEFC∠的值为()Ａ．34Ｂ．43Ｃ．35Ｄ．45图4图5图62.如图5，在直角坐标系中，将矩形OABC沿OB对折，使点A落在1A处，已知3OA，1AB，则点1A的坐标是（）3.如图6，在等腰直角三角形ABC中，90C，6AC，D为AC上一点，若1tan5DBA，则AD的长为()A．2B．2C．1D．224.如图8，RtABC中，90C,D是直角边AC上的点，且2ADDBa,15A，则BC边的长为．5.如图10，在矩形ABCD中，E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点，若4tan3AEH，四边形EFGH的周长为40，则矩形ABCD的面积为______．图86.如图12所示，ABC中，ABAC，BDAC于D，6BC，12DCAD，则cosC____．7.等腰三角形腰上的高等于底上的高的一半，则底角的余弦值为______.8.等腰三角形的三边的长分别为1、1、3，那么它的底角为A.15°B.30°C.45°D.60°9.ABC中，∠A=60°，AB=6cm，AC=4cm，则△ABC的面积是A.23cm2B.43cm2C.63cm2D.12cm2图10图12ADECBF第18题图1010.在菱形ABCD中，60ABC，AC=4,则BD的长是（）83A、43B、23C、8D、11.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，∠A的平分线AD=3316求∠B的度数及边BC、AB的长.12.在一次数学活动课上，海桂学校初三数学老师带领学生去测万泉河河宽，如图13所示，某学生在河东岸点A处观测到河对岸水边有一点C，测得C在A北偏西31的方向上，沿河岸向北前行20米到达B处，测得C在B北偏西45的方向上，请你根据以上数据，帮助该同学计算出这条河的宽度．（参考数值：tan31°≈53，sin31°≈21）．13.在一次公路改造的工作中，工程计划由A点出发沿正西方向进行，在A点的南偏西60方向上有一所学校B，如图14，占地是以B为中心方圆100m的圆形，当工程进行了200m后到达C处，此时B在C南偏西30的方向上，请根据题中所提供的信息计算并分析一下，工程若继续进行下去是否会穿越学校．图13图14DABC