2019年中考数学专题复习-第二十一讲-圆的认识共46张PPT语文

第二十一讲圆的认识一、圆的定义及圆的轴对称性1.定义:在一个平面内,线段OA绕它固定的一个端点O旋转_____,另一个端点A所形成的图形.2.轴对称性:圆是___________,任何一条______________都是它的对称轴.一周轴对称图形直径所在直线二、垂径定理及推论1.垂径定理:垂直于弦的直径_______,并且平分弦所对的_______.2.推论:平分弦(不是直径)的直径_________,并且平分弦所对的_______.平分弦两条弧垂直于弦两条弧三、圆周角定理及推论1.定理:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角_____,都等于这条弧所对的圆心角的_____.相等一半2.推论:(1)半圆(或直径)所对的圆周角是_____,90°的圆周角所对的弦是_____.(2)在同圆或等圆中,如果两个圆周角_____,它们所对的弧一定_____.直角直径相等相等四、圆内接四边形的性质圆内接四边形的对角_____.互补【自我诊断】(打“√”或“×”)1.直径是圆中最长的弦.()2.平分弦的直径一定垂直于弦.()3.相等的圆心角所对的弦相等.()4.90°的圆心角所对的弦是直径.()√××√5.一条弦所对的圆周角一定是锐角.()6.如图,AB是☉O的直径,∠AOC=110°,则∠D=35°.()×√考点一垂径定理及其推论【示范题1】(2017·长沙中考)如图,AB为☉O的直径,弦CD⊥AB于点E,已知CD=6,BE=1,则☉O的半径为________.【思路点拨】连接OC,由垂径定理知,点E是CD的中点,CE=CD,在Rt△OCE中,利用勾股定理即可得到关于半径的方程,解方程求得圆的半径即可.12【自主解答】连接OC,如图所示:∵AB是☉O的直径,CD⊥AB,∴CE=CD=×6=3,∠OEC=90°,设☉O的半径为x.则OC=x,OE=x-1,在Rt△OCE中,根据勾股定理得:CE2+OE2=OC2,即32+(x-1)2=x2,解得x=5.所以☉O的半径为5.答案:51212【答题关键指导】垂径定理运用中的“两注意”(1)两条辅助线:一是过圆心作弦的垂线,二是连接圆心和弦的一端(即半径),这样把半径、弦心距、弦的一半构建在一个直角三角形中,运用勾股定理求解.(2)方程思想:在直接运用垂径定理求线段的长度时,常常将未知的一条线段设为x,利用勾股定理构造关于x的方程解决问题.【变式训练】1.(2017·泸州中考)如图,AB是☉O的直径,弦CD⊥AB于点E,若AB=8,AE=1,则弦CD的长是()A.B.2C.6D.877【解析】选B.连接OC,则OC=4,OE=3,在Rt△OCE中,CE=因为AB⊥CD,所以CD=2CE=2.2222OCOE437.＝＝72.(2017·大连中考)如图,在☉O中,弦AB=8cm,OC⊥AB,垂足为C,OC=3cm,则☉O的半径为________cm.【解析】连接OA,∵OC⊥AB,AB=8,∴AC=4,∵OC=3,∴OA=答案:52222OCAC345.3.(2017·眉山中考)如图,AB是☉O的弦,半径OC⊥AB于点D,且AB=8cm,DC=2cm,则OC=________cm.【解析】连接OA,∵OC⊥AB,∴AD=AB=4cm,设☉O的半径为R,在Rt△OAD中,由勾股定理得,OA2=AD2+OD2,12∴R2=42+(R-2)2,解得R=5cm,∴OC=5cm.答案:5考点二圆周角与圆心角【考情分析】圆周角定理及其推论和圆心角、弧、弦之间的关系是中考命题的热点,常常结合垂径定理、直角三角形、全等三角形、相似三角形等进行命题,呈现形式多样化,有选择题、填空题和解答题.命题角度1:在同圆或等圆中,圆周角、弧、弦之间的关系【示范题2】(2017·宜昌中考)如图,四边形ABCD内接于☉O,AC平分∠BAD,则下列结论正确的是()A.AB=ADB.BC=CDC.D.∠BCA=∠ACDABDA【思路点拨】根据圆周角、弧、弦的关系对各选项进行逐一判断即可.【自主解答】选B.A.∵∠ACB与∠ACD的大小关系不确定,∴AB与AD不一定相等,故本选项错误;B.∵AC平分∠BAD,∴∠BAC=∠DAC,∴BC=CD,故本选项正确;C.∵∠ACB与∠ACD的大小关系不确定,∴不一定相等,故本选项错误;D.∠BCA与∠DCA的大小关系不确定,故本选项错误.ABAD与命题角度2:利用同弧所对的圆心角与圆周角之间的关系求圆周角或圆心角的度数【示范题3】(2017·临沂中考)如图,∠BAC的平分线交△ABC的外接圆于点D,∠ABC的平分线交AD于点E,(1)求证:DE=DB.(2)若∠BAC=90°,BD=4,求△ABC外接圆的半径.【思路点拨】(1)由角平分线得出∠ABE=∠CBE,∠BAE=∠CAD,得出由圆周角定理得出∠DBC=∠CAD,证出∠DBC=∠BAE,再由三角形的外角性质得出∠DBE=∠DEB,即可得出DE=DB.BDCD，(2)由(1)得:,得出CD=BD=4,由圆周角定理得出BC是直径,∠BDC=90°,由勾股定理求出BC=即可得出△ABC外接圆的半径.BDCD22BDCD42，【自主解答】(1)∵BE平分∠ABC,AD平分∠BAC,∴∠ABE=∠CBE,∠BAE=∠CAD,∴,∴∠DBC=∠CAD,∴∠DBC=∠BAE,∵∠DBE=∠CBE+∠DBC,∠DEB=∠ABE+∠BAE,∴∠DBE=∠DEB,∴DE=DB.BDCD(2)连接CD,如图所示:由(1)得:,∴CD=BD=4,∵∠BAC=90°,∴BC是直径,∴∠BDC=90°,∴BC=∴△ABC外接圆的半径=BDCD22BDCD42，14222.2【答题关键指导】1.解决与圆有关的角度的相关计算时,一般先判断角是圆周角还是圆心角,再转化成同弧所对的圆周角或圆心角,利用同弧所对的圆周角相等,同弧所对的圆周角是圆心角的一半等关系求解.2.在圆中当有直径这一条件时,往往要用到直径所对的圆周角是直角这一条件,含45°角,可设法构造等腰直角三角形;含30°或60°角,则设法构造含有30°角的直角三角形.【变式训练】1.(2017·青岛中考)如图,AB是☉O的直径,点C,D,E在☉O上,若∠AED=20°,则∠BCD的度数为()A.100°B.110°C.115°D.120°【解析】选B.连接AC,因为AB是☉O的直径,所以∠ACB=90°,因为∠AED=20°,所以∠ACD=20°,所以∠BCD=∠ACB+∠ACD=110°.2.(2017·重庆中考A卷)如图,BC是☉O的直径,点A在圆上,连接AO,AC,∠AOB=64°,则∠ACB=________.【解析】∵AO=OC,∴∠ACB=∠OAC,∵∠AOB=64°,∴∠ACB+∠OAC=64°,∴∠ACB=64°÷2=32°.答案:32°3.(2017·绍兴中考)如图,一块含45°角的直角三角板,它的一个锐角顶点A在☉O上,边AB,AC分别与☉O交于点D,E,则∠DOE的度数为________.【解析】∵∠BAC=45°,由圆周角定理可得∠DOE=2∠BAC=90°.答案:90°考点三圆内接四边形【示范题4】(2017·广东中考)如图,四边形ABCD内接于☉O,DA=DC,∠CBE=50°,则∠DAC的大小为()A.130°B.100°C.65°D.50°【思路点拨】先根据补角的性质求出∠ABC的度数,再由圆内接四边形的性质求出∠ADC的度数,由等腰三角形的性质求得∠DAC的度数.【自主解答】选C.∵∠CBE=50°,∴∠ABC=180°-∠CBE=180°-50°=130°,∵四边形ABCD为☉O的内接四边形,∴∠D=180°-∠ABC=180°-130°=50°,∵DA=DC,∴∠DAC==65°.180D2【答题关键指导】圆内接四边形的角的“两种”关系(1)对角互补:若四边形ABCD为☉O的内接四边形,则∠A+∠C=180°,∠B+∠D=180°.(2)任一外角与其相邻的内角的对角相等,简称圆内接四边形的外角等于其内对角.【变式训练】1.(2017·西宁中考)如图,四边形ABCD内接于☉O,点E在BC的延长线上,若∠BOD=120°,则∠DCE=________.【解析】∵∠BOD=120°,∴∠A=∠BOD=60°.∵四边形ABCD是☉O的内接四边形,∴∠DCE=∠A=60°.答案:60°122.(2017·准安中考)如图,在圆内接四边形ABCD中,若∠A,∠B,∠C的度数之比为4∶3∶5,则∠D的度数是________.【解析】∵∠A,∠B,∠C的度数之比为4∶3∶5,∴设∠A=4x,则∠B=3x,∠C=5x,∵四边形ABCD是圆内接四边形,∴∠A+∠C=180°,即4x+5x=180°,解得x=20°,∴∠B=3x=60°,∴∠D=180°-60°=120°.答案:120°