概率与数理统计总复习1

第一章小结一、基本要求1.理解随机试验,样本空间和随机事件的概念,掌握随机事件的关系及运算.2.理解概率的定义,掌握概率的基本性质,能计算古典概型,能用概率基本性质计算随机事件的概率.3.理解条件概率的概念,掌握概率的乘法公式.4.掌握全概率公式和贝叶斯公式,能计算较复杂随机事件的概率.5.理解随机事件独立性的概念,能应用事件独立性进行概率计算.二、随机事件的概率计算1.随机事件的概率计算公式随机事件的概率计算直接计算古典概型间接计算加法公式差事件公式乘法公式对立事件公式全概率公式贝叶斯公式P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=…P(A+B)=P(A)+P(B)(A,B互斥)P(A-B)=P(A)-P(AB)P(A-B)=P(A)-P(B)(AB)P(AB)=P(A)P(B⃒A)=P(B)P(A⃒B)P(AB)=P(A)P(B)(A,B独立)1niiiPBPAPBA(1,2,,)iAin为完备事件组11,2,mmmniiiPAPBAPABmnPAPBAmPAn1PAPABAP2.解决概率问题时,不仅要记住并熟练应用公式,更重要的是学会新的思考方法.(1)解决古典概型时,可按下列步骤进行:1)构造样本空间,分析样本点的特征,利用排列、组合公式求出样本点总数n;2)分析所求事件A中所包含的样本点,并计算所有的样本点总数.(2)解决复杂事件的概率计算的主要思路:把一个复杂事件分解成一些简单事件的和、差、积的形式,然后利用概率的性质或事件运算性质转化为简单事件的概率计算.3.在计算时要充分注意有关条件,选择恰当的计算公式.例如,在选择加法公式时应注意事件之间是在互不相容关系;而在作乘法计算时,则应注意事件之间的独立关系,不能混淆.1.(7')6,4,,,:(1)2;(2).设箱中有个正品个次品从中不放回地抽取三次每次一个求下列事件的概率至少取到个正品恰有一次取到正品.3,2,1,43.1的概率分别为求盒子中球的最大数个盒子中去个球随机放入将.,.5.06.0,.2求它是甲射中地概率现已知目标被命中和其命中率分别为射击一次两人独立地对同一目标..)(,.18,30;10,50,.3率的零件都是一等品的概求取出不放回两个零件然后从该箱中先后取出一箱现从两箱中随机挑出件一等品其中件第二箱内装件一等品其中件第一箱内装假设有两箱同种零件。的条件概率是女生的条件下，后选出的也在已知先选出的是女生。先选出的是女生的概率学生。试求：然后从中先后挑选两名一个班，名女生。在两班中任选名学生，其中二班名女生；名学生，其中：一班假设同一年级有两各班2118301050.4），（班被选到第设解21.iiHi21，次选出的是女生第jjAj2121HPHP53/51/2111HAPHAP2121111//HAPHPHAPHPAP122121211//APHAAPHPHAAPHP121APAAP周P23(1.24)52532151214856.029301718214950910212512/AAP。的条件概率是女生的条件下，后选出的也在已知先选出的是女生。先选出的是女生的概率学生。试求：然后从中先后挑选两名一个班，名女生。在两班中任选名学生，其中二班名女生；名学生，其中：一班假设同一年级有两各班2118301050.45.经过普查,了解到人群患有某种癌症的概率为0.5%,某人因患类似病症前去求医,医生让他做某项生化试验.经临床多次试验,患有该病的患者试验阳性率为95%,而非该病患者的试验的阳性率仅为10%.现该人化验结果呈阳性,问该人患癌症的概率.解:完备事件：患有癌症、不患有癌症设C=“患有癌症”,A=“试验为阳性”,则0.005,0.95,0.10PCPACPAC0.0050.950.0460.0050.950.9950.10PCPACPCAPCPACPCPAC甲乙丙三人同时射击一个也没有击中：P(A0)只有一个人击中：P(A1)有二个人击中：P(A2)有三个人击中：P(A3)飞机坠毁的情形0123PBAPBAPBAPBA飞机坠毁（B）分析击中飞机的所有可能情形.3,,3,6.0,2,2.0,.7.0,5.0,4.0,,,,7人同时击中的概率计算它是由飞机已被击中坠毁现在如果发现人击中时一定坠毁而飞机被飞机坠毁的概率为人击中若有坠毁的概率为时假设飞机只有一人击中为别它们击中目标的概率分射击丙三人同时向一架飞机乙甲例个人击中飞机有解记iAi飞机被击中坠毁B构成一个完备事件组3210,,,.3,2,1,0AAAAi1)|(,6.0)|(,2.0)/(,0)|(3210ABPABPABPABP丙击中飞机乙分别表示甲设事件,,,,321CCC41.0)()()(1)(3102APAPAPAP)()(3210CCCPAP)()()(321CPCPCP09.03.05.06.0)()()()(3213213211CCCPCCCPCCCPAP36.07.05.06.03.05.06.03.05.04.0)()(3213CCCPAP14.07.05.04.030333)|()()|()()|(iiiABPAPABPAPBAP114.06.041.02.036.0009.0114.0306.0第二章小结X离散型随机变量一.分布律）概率函数(.12,1},{nxXPpnnnnpppPxxxX2121:.2概率分布基本性质,2,10)1(npnnnp1)2(分布函数.3xxnnpxXPxF}{)(}{GXPGxnnpnnnpxEXnnnpxgXgE)()]([nnnpEXxDX2)(二项分布mnmmnqpCmXP}{npEXnpqDX期望与方差.5超几何分布nNmnNmNCCCmXP21}{泊松分布emmXPm!}{EXDX三者的关系的分布的函数XgYX.4概率密度函数.1X二、连续型随机变量badxxfbXaP)(}{概率密度函数性质.2xf),(,0)()1(xxf对任何1)()2(dxxfxdttfxXPxF)(}{)(分布函数.3xFxf}{GXPGxdxxf期望与方差.4dxxxfEX)(dxxfxgXgE)()()]([.2dxxfEXxDX22)(EXEXDX指数分布000)(xxexfx1EX21DX正态分布222)(21)(xexf2221)(xexEX2DX分布连续型随机变量函数的.5，的密度函数已知xfX}{)(yYPyFY}{yXgP)(yFyfYY。，分布函数的密度函数求yFyfYYY步骤：随机变量，设X随机变量XgY的函数，为xxgy。或分布函数xFX1）根据分布函数的定义，将FY(y)用FX(x)表示；2）根据分布函数与密度函数的关系，求出Y的概率密度.分布函数法}{GXP例1.设随机变量X的分布函数为0,10.4,110.8,131,3xxFxxx求X的概率分布.解:由F(x)形式知,F(x)在x=-1,1,3处有跳跃,即X在这些点处有大于0的概率.1110PXFF0.400.41110PXFF0.80.40.43330PXFF10.80.2因此,X的概率分布为:X-113P0.40.40.2例2.汽车沿街道行驶,需要通过三个均设有红绿信号灯的路口,每个信号灯为红或绿与其他信号灯为红或绿相互独立,且红绿两种信号显示的时间相等,以X表示汽车首次遇到红灯前已通过的路口个数.求X的概率分布.解:X的所有可能取值为0,1,2,3.用Ai(i=1,2,3)表示事件“汽车在第I个路口首次遇到红灯”,A1,A2,A3相互独立,且1,1,2,3.2iiPAPAi1102PXPA122112PXPAA1233122PXPAAA1233132PXPAAAX的概率分布为:X0123P1/21/41/81/8说明:要正确写出离散型随机变量X的概率分布须注意:(1)正确写出X的值域;(2)一一算出它们取值的概率,并验证11nnp例3.已知随机变量X的密度为,010,axbxfx其他15.28PX且111,;2.42abPX求计算1011,2fxdxaxbdxab解:由1121315.2828PXaxbdxab112ab1214111742232PXxdx10120xxfx其他例4.某人家住市区西郊,工作单位在东郊,上班有两条路线可选择,一条是横穿市区,路程近,花费时间少,但堵塞严重,所需时间服从N(30,100).另一条路线沿环城公路,路程远,花费时间多,但堵塞较少,所需时间服从N(40,16).问:(1)如果上班前50分钟出发,应选哪一路线?(2)若上班前45分钟出发,又应选哪一路线?解:选择路线的标准是使准时上班的概率越大越好.路上所化时间YX,(1)有50分钟可用,准时上班的概率分别为:按第一条路线N(30,100)3050305020.97721010XPXP按第二条路线N(40,16)405040502.50.993844YPYP故应选第二条路线.(2)只有45分钟可用,准时上班的概率分别为:按第一条路线N(30,100)304530451.50.93321010XPXP按第二条路线N(40,16)404540451.250.894444YPYP故应选第一条路线.例5.已知一年中某种保险人群的死亡率为0.0005,现该人群有10000个人参加人寿保险,每人交保险费5元,若未来一年中死亡,则赔偿5000元,试求:(1)未来一年中保险公司从该项保险中至少获利10000元的概率;(2)未来一年中保险公司从该项保险中亏本的概率.解:作为初步近似,可认为参加该项保险的人群中未来一年死亡人数X~B(10000,0.0005),记事件A=“保险公司至少获利10000元”,事件B=“保险公司亏本”,则A相当于“死亡人数8”,B相当于“死亡人数10”.81000010000080.00050.9995nnnnPAPXC10000100001000011100.00050.9995nnnnPBPXC利用泊松分布计算其概率.85058!nnPAPXen0.00670.06530.9319~(10000,0.0005),5,5XBnp~5XP(查附表二P313)10505101101!nnPBPXPXen10.98630.0137说明:当X~B(n,p)时,P(aXb)可用泊松分布近似计算,但要注意n一定要很大,p很小,使得np10,否