精选初中不定方程方程组练习题

初中数学竞赛专题讲座不定方程、方程组初中数学竞赛专题讲座第1页不定方程、方程组所谓天才人物指的就是具有毅力的人、勤奋的人、入迷的人和忘我的人．——————木村六一【知识纵横】不定方程（组）是指未知数的个数多于方程的个数的方程（组），其特点是解往往有无穷多个，不能惟一确定．对于不定方程（组），我们往往限定只求整数解，甚至只求正整数解，加上条件限制后，解就可确定．二元一次不定方程是最简单的不定方程，一些复杂的不定方程（组）常常转化为二元一次不定方程问题加以解决，与之相关的性质有：设dcba、、、为整数，则不定方程cbyax有如下两个重要命题：（1）若dba),(，且d不能被c整除，则不定方程cbyax没有整数解；（2）若00,yx是方程cbyax且1),(ba的一组整数解（称特解），则tatyybtxx(00为整数）是方程的全部整数解（称通解）．解不定方程（组），没有现成的模式、固定的方法可循，需要依据方程（组）的特点进行恰当的变形，并灵活运用以下知识与方法：奇数偶数、整数的整除性、分离整系数、因数分解、配方利用非负数性质、穷举、乘法公式、不等式分析等．【例题求解】例1（1）正整数nm,满足698mnnm，则m的最大值为_____________．（2）小纪念册每本5元，大纪念册每本7元．小明买这两种纪念册花了142元，则两种纪念册最少共买_______________本．例2如图，在高速公路上从3千米处开始，每隔4千米设一个速度限制标志，而且从10千米处开始，每隔9千米设一个测速照相标志，则刚好在19千米处同时设置这两种标志．问下一个同时设置这两种标志的地点的千米数是（）．例3（1）求方程65215yx的所有整数解．（2）求不定方程97875yx的正整数解的组数．（3）求方程65111zyx的正整数解．例4一个盒子里装有不多于200粒棋子，如果每次2粒，3粒，4粒或6粒地取出，最终盒内都剩一粒棋子；如果每次11粒地取出，那么正好取完，求盒子里共有多少粒棋子？例5中国百鸡问题：鸡翁一，值钱五，鸡母一，值钱三，鸡雏三，值钱一，百钱买百鸡，问鸡翁、鸡母、鸡雏各几何？初中数学竞赛专题讲座不定方程、方程组初中数学竞赛专题讲座第2页例6甲组同学每人有28个核桃，乙组同学每人有30个核桃，丙组同学每人31个核桃，三组的核桃总数是365个，问三个小组共有多少名同学？【学力训练】基础夯实1、已知zyx,,满足952yxyzyx及，则zyx32______________．2、已知22222275632),0(072,0634zyxzyxxyzzyxzyx那么的值为_____．3、用一元钱买面值4分、8分、1角的3种邮票共18张，每种邮票至少买一张，共有__________种不同的买法．4、购买5种数学用品54321AAAAA、、、、的件数和用钱总数列成下表：品名件数1A2A3A4A5A总钱数第一次购件数134561992（元）第二次购件数1579112984（元）5种数学用品各买一件共需_______________元．5、希望中学收到王老师捐赠的足球、篮球、排球共20个，其总价值为330元，这三种球的价格为分别是足球每个60元，篮球每个30元，排球每个10元，那么其中排球有_________________个．6、方程1)2()1(22yx的整数解有（）．A．1组B．2组C．4组D．无数组7、方程013yxx的整数解有（）．A．1组B．2组C．3组D．4组8、以下是一个六位数乘上一个数的竖式，fedcba、、、、、各代表一个数（不一定相同），则fedcba（）．efabcdabcdef4A．7B．24C．30D．无法确定9、求下列方程的整数解：（1）7511yx；（2）xyyx34；（3）求不定方程211137yx的正整数解．10、在车站开始检票时，有)0(aa名旅客在候车室排队等候检票进站．检票开始后，仍有旅客继续前来排队检票进站，设旅客按固定的速度增加，检票口检票的速度也是固定的，若开放一个检票口，则需30分钟才可将排队等候检票的旅客全部检票完毕；若开放两个检票口，则只需10分钟便可将排队等候检票的旅客全部检票完毕；如果要在5分钟内将排队等候检票的旅客全部检票完毕，以便后来到站的旅客能随到随检，至少要同时开放几个检票口？初中数学竞赛专题讲座不定方程、方程组初中数学竞赛专题讲座第3页11、司机小李驾车在公路上匀速行驶，他看到里程牌上的数是两位数，1小时后，看到里程牌上的数恰是第一看到的数的颠倒了顺序的两位数，再过一小时后，第三次看到里程牌上的数又恰好是第一见到的两位数字之间添上一个零的三位数，这三块里程牌上的数各是多少？【能力拓展】12、满足)19980(199719982222nmnm的整数对),(nm共有________对．13、方程2111yx的正整数解为______________________．14、1998年某人的年龄恰等于他的出生的公元年的数字之和，那么他的年龄是________．15、江堤边一洼池发生了管涌，江水不断地涌出，假定每分钟涌出的水量相等，如果用2台抽水机抽水，40分钟可抽完；如果用4台抽水机抽水，16分钟可抽完．如果要在10分钟内抽完水，那么，至少需要抽水机_______________台．16、有甲、乙、丙3种商品，某人若购甲3件、乙7件、丙1件共需24元；若购甲4件、乙10件、丙1件共需33元，则此人购甲、乙、丙各1件共需_____________元．17、一个布袋中装有红、黄、蓝三种颜色的大小相同的小球，红球上标有数字1，黄球上标有数字2，篮球上标有数字3，小明从布袋中摸出10个球，它们上面所标数字的和等于21，则小明摸出的球中红球的个数最多不超过_______________个．18、若干名游客要乘坐汽车，要求每辆汽车坐的人数相等．如果每辆汽车乘坐30人，那么，有一人未能上车；如果少一辆汽车，那么，所有游客正好能平均分到各辆汽车上．已知每辆汽车最多容纳40人，问有游客多少人？19、某人家的电话号码是八位数，将前四位数组成的数与后四位数组成的数相加得14405，将前三位数组成的数与后五位数组成的数相加得1690，求此人家的电话号码．综合创新20、当20x时，一个关于x的二次三项式的值等于694．若该二次三项式的系数及常数项都是绝对值小于10的整数，求满足条件的所有二次三项式．21、一支科学考察队前往某条河流上的上游去考察一个生态区．他们出发后以每天17㎞的速度前进，沿河岸向上游行进若干天后到达目的地，然后在生态区考察了若干天，完成任务后以每天25㎞的速度返回，在出发后的第60天，考察队行进了24㎞后回到出发点．试问：科学考察队在生态区考察了多少天？