研究生数值分析习题

1.五个节点的Newton-Cotes求积公式的代数精度为______，五个节点的求积公式最高代数精度为___________。（即Gauss型求积公式）2.已知数值求积公式为311()[(1)4(2)(3)]3fxdxfff，则其代数精度为______。3.数值积分公式1'12()[(1)8(0)(1)]9fxdxfff的代数精度为_________。4.要使求积公式11101()(0)()4fxdxfAfx具有2次代数精度，则1x___,1A___。5.在Newton-Cotes求积公式：()0()()()nbniiaifxdxbaCfx中，当系数()niC是负值时，公式的稳定性不能保证，所以实际应用中，当___________时的Newton-Cotes求积公式不能使用。()8()7()10()6AnBnCnDn6.若用复化梯形公式计算10xedx，要求误差不超过610，利用余项公式估计，至少用______个求积节点。7.对于Gauss型求积公式31()()()bkkakfxxdxAfx，其中()x为权函数，下列说法错误的是_________。（A）该求积公式一定是稳定的；（B）31()kkkAfxba；（C）该求积公式的代数精度为5；（D）2(35)()()0baxxxxdx，其中31()()kkxxx。8.0{()}kkx是区间[0,1]上权函数()xx的最高系数为1的正交多项式族，其中0()1x，则140()_______xxdx。9.构造代数精度最高的如下形式的求积公式，并求出其代数精度：10101()()(1)2xfxdxAfAf10.数值积分公式形如10()()(0)(1)(0)(1)xfxdxSxAfBfCfDf（1）试确定参数A、B、C、D，使公式的代数精度尽量高；（2）设4()[0,1]fxC，推导余项公式10()()()RxxfxdxSx，并估计误差。11.用8n的复化梯形公式和复化Simpson公式计算10xedx时，（1）试用余项估计其误差；（2）计算积分的近似值。12.选取5个等距节点的函数值，分别用复化梯形公式和复化Simpson公式计算积分1204xdxx的近似值（小数点后保留4位）。13.利用复化Simpson公式计算积分10sinxdxx的近似值，要求误差不超过50.510。14.取5个等距节点，分别用复化梯形公式和复化Simpson公式计算积分220112dxx的近似值（保留4位小数）。15.证明：高斯（Gauss）型求积公式0()()nbkkakfxdxAfx中的求积系数iA可表示为：2()()bbiiiaaAlxdxlxdx其中()ilx是n次拉格朗日(Lagrange)插值基函数，即0()(),0,1,2,,()njijijjixxlxinxx。