研究生数值分析试卷

2005~2006学年第一学期硕士研究生期末考试试题（A卷）科目名称：数值分析学生所在院：学号：姓名：注意：所有的答题内容必须答在答题纸上，凡答在试题或草稿纸上的一律无效。一、（15分）设求方程0cos2312xx根的迭代法kkxxcos3241(1)证明对Rx0,均有*limxxkk,其中*x为方程的根.(2)此迭代法收敛阶是多少?证明你的结论.二、（12分）讨论分别用Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法求解下列方程组的收敛性。.022,1,122321321321xxxxxxxxx三、（8分）若矩阵aaaaA000002，说明对任意实数0a，方程组bAX都是非病态的。（范数用）四、（15分）已知)(xfy的数据如下：ix012)(ixf026)(ixf1求)(xf的Hermite插值多项式)(3xH，并给出截断误差)()()(3xHxfxR。五、（10分）在某个低温过程中，函数y依赖于温度x（℃）的试验数据为ix1234iy0．81．51．82．0已知经验公式的形式为2bxaxy，试用最小二乘法求出a，b。六、（12分）确定常数a，b的值，使积分dxxbaxbaI2112),(取得最小值。七、（14分）已知Legendre(勒让德)正交多项式)(xLn有递推关系式：),2,1()(1)(112)()(,1)(1110nxLnnxxLnnxLxxLxLnnn试确定两点的高斯—勒让德（G—L）求积公式112211)()()(xfAxfAdxxf的求积系数和节点，并用此公式近似计算积分211dxeIx八、（14分）对于下面求解常微分方程初值问题00)(),(yxyyxfdxdy的单步法：),(),()2121(121211hkyhxfkyxfkkkhyynnnnnn（1）验证它是二阶方法；（2）确定此单步法的绝对稳定域。2005~2006学年第一学期硕士研究生期末考试试题（B卷）科目名称：数值分析学生所在院：学号：姓名：注意：所有的答题内容必须答在答题纸上，凡答在试题或草稿纸上的一律无效。一、（12分）讨论分别用Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法求解下列方程组的收敛性。.022,1,122321321321xxxxxxxxx二、（15分）设求方程0cos2312xx根的迭代法kkxxcos3241(1)证明对Rx0,均有*limxxkk,其中*x为方程的根.(2)此迭代法收敛阶是多少?证明你的结论.三、（8分）若矩阵aaaaA000002，说明对任意实数0a，方程组bAX都是非病态的。（范数用）四、（15分）已知)(xfy的数据如下：ix123)(ixf242)(ixf-1求)(xf的Hermite插值多项式)(3xH，并给出截断误差)()()(3xHxfxR。五、（10分）在某个低温过程中，函数y依赖于温度x（℃）的试验数据为ix1234iy0．81．51．82．0已知经验公式的形式为2bxaxy，试用最小二乘法求出a，b。六、（12分）确定常数a，b的值，使积分dxxbaxbaI2112),(取得最小值。七、（14分）对于求积公式：bankkkxfAdxxfx1)()()(,其中：)(x是区间),(ba上的权函数。（1）证明此求积公式的代数精度不超过2n-1次;（2）若此公式为Gauss型求积公式，试证明nkbakdxxA1)(八、（14分）对于下面求解常微分方程初值问题00)(),(yxyyxfdxdy的单步法：),(),()2121(121211hkyhxfkyxfkkkhyynnnnnn（3）验证它是二阶方法；（4）确定此单步法的绝对稳定域。2006~2007学年第一学期硕士研究生期末考试试题（B卷）科目名称：数值分析学生所在院：学号：姓名：注意：所有的答题内容必须答在答题纸上，凡答在试题或草稿纸上的一律无效。一、（12分）讨论分别用Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法求解下列方程组的收敛性。.022,1,122321321321xxxxxxxxx二、（8分）若矩阵aaaaA000002，说明对任意实数0a，方程组bAX都是非病态的。（范数用）三、（15分）设)(x导数连续，迭代格式)(1kkxx一阶局部收敛到点*x。构造新的迭代格式：)(1kkkxxx问如何选取常数及，使新迭代格式有更高的收敛阶，并问是几阶收敛。四、（15分）已知)(xfy的数据如下：ix123)(ixf242)(ixf-1求)(xf的Hermite插值多项式)(3xH，并给出截断误差)()()(3xHxfxR。五、（10分）在某个低温过程中，函数y依赖于温度x（℃）的试验数据为ix1234iy0．81．51．82．0已知经验公式的形式为2bxaxy，试用最小二乘法求出a，b。六、（12分）确定常数a，b的值，使积分dxxbaxbaI2112),(取得最小值。七、（14分）对于求积公式：bankkkxfAdxxfx1)()()(,其中：)(x是区间),(ba上的权函数。（3）证明此求积公式的代数精度不超过2n-1次;（4）若此公式为Gauss型求积公式，试证明nkbakdxxA1)(八、（14分）对于下面求解常微分方程初值问题00)(),(yxyyxfdxdy的单步法：),(),()2121(121211hkyhxfkyxfkkkhyynnnnnn（5）验证它是二阶方法；（6）确定此单步法的绝对稳定域。2006~2007学年第一学期硕士研究生期末考试试题（A卷）科目名称：数值分析学生所在院：学号：姓名：注意：所有的答题内容必须答在答题纸上，凡答在试题或草稿纸上的一律无效。一、（12分）设方程组bAx为37111221xx（1）用Doolittle分解法求解方程组；（2）求矩阵A的条件数)(ACond二、（12分）设A为n阶对称正定矩阵，A的n个特征值为n21，为求解方程组bAx，建立迭代格式)()()()1(kkkAxbxx，求出常数的取值范围，使迭代格式收敛。三、（12分）已知数据ix-2-1012iy01210试用二次多项式cbxaxxp2)(拟合这些数据。四、（14分）已知)(xfy的数据如下：ix123)(ixf2412)(ixf3（1）求)(xf的Hermite插值多项式)(3xH；（2）为求31)(dxxf的值，采用算法：RdxxHdxxf31331)()(试导出截断误差R五、（12分）确定常数a，b的值，使积分dxebaxbaIx210)(),(取得最小值。六、（12）确定常数iA，使求积公式)2()1()0()(32120fAfAfAdxxf的代数精度尽可能高，并问是否是Gauss型公式。七、（12分）设)(x导数连续，迭代格式)(1kkxx一阶局部收敛到点*x。对于常数，构造新的迭代格式：)(1111kkkxxx问如何选取，使新迭代格式有更高的收敛阶，并问是几阶收敛。八、（14分）对于下面求解常微分方程初值问题00)(),(ytyytfdtdy的单步法：)21,21(),(12121hkyhtfkytfkhkyynnnnnn（7）验证它是二阶方法；（8）确定此单步法的绝对稳定区域。2007~2008学年第一学期硕士研究生期末考试试题科目名称：数值分析学生所在院：学号：姓名：注意：所有的答题内容必须答在答题纸上，凡答在试题或草稿纸上的一律无效。一、（15分）给定方程01)1()(xexxf(1)分析该方程存在几个根；(2)用迭代法求出这些根，精确至2位有效数；(3)说明所用的迭代格式是收敛的.二、（15分）设线性方程组为0,,221122221211212111aabxaxabxaxa(1)证明用Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法解此方程组要么同时收敛,要么同时发散.(2)当同时收敛时比较其收敛速度.三、（10分）设A为非奇异矩阵，方程组bAx的系数矩阵A有扰动A，受扰动后的方程组为bxxAA))((，若1||||||||1AA，试证：||||||||1||||||||||||||||11AAAAxx四、（15分）已知)(xfy的数据如下：ix012)(ixf101)(ixf1求)(xf的Hermite插值多项式)(3xH，并给出截断误差)()()(3xHxfxR。五、（10分）已知数据i0123xi0123yi3247设2)1()(xbaxxf，求常数a,b,使得302min])([iiiyxf六、（15分）定义内积11)()(),(dxxgxfgf在},,1{2xxSpanH中求||)(xxf的最佳平方逼近元素.七、（10分）给定求积公式hhhCfBfhAfdxxf22)()0()()(试确定CBA,,,使此求积公式的代数精度尽可能高,并问是否是Gauss型公式.八、（10分）给定微分方程初值问题2)0(102yxydxdy用一个二阶方法计算)(xy在0.1,0.2处的近似值.取1.0h计算结果保留5位有效数字。2008~2009学年第一学期硕士研究生期末考试试题一、（本题共3小题，每题8分，共24分）解答下面各题：1)下表给出了函数f(x)在一些节点上的函数值：x0.00.10.20.30.40.50.60.70.8f(x)58630-3-335用复化Simpson求积公式近似计算函数f(x)在区间[0,0.8]上的积分。2)已知函数y=f(x)的观察值如下表所示，使用Newton插值法求其插值多项式。x0123y230-13)取初值为2，利用Newton迭代法求方程:在[0，2]中的近似解。要求迭代两次。（如果计算结果用小数表示，则最后结果应保留5位小数）。二、（本题15分）设常数a≠0，试求a的取值范围，使得用雅可比（Jacobi）迭代法求解下面线性方程组时是收敛的。21232131aaazyxaaa三、（本题16分）利用Hermite插值多项式构造下面的求积公式：)()0(121)()0(2)(2h0hffhhffhdxxf并导出其积分余项。四（14分）已知方程0410xex在0.2附近有解，建立用于求解此解的收敛的迭代公式。并问如何设置迭代终止条件可以保证计算结果具有4位有效数字（不计舍入误差）。五、（15分）对初值问题0)0('ybaxy导出改进Euler方法的近似解的表达式，并与准确解bxaxy221相比较。六（15分）设A为n阶对称正定矩阵，从方程组bAx的近似解)()0(kxy出发依次求得)(iy使得)(min)()1()(iititeyy，i=1,2,…,n,然后令)()1(nkyx。其中：ie为n阶单位矩阵的第i列，xbAxxxTT)2/1()(。请验证这样得到的迭代算法就是Gauss-Seidle迭代法。02)(2xxf