研究生数学建模_房地产行业的数学模型

-1-题目房地产行业的数学模型摘要:本文以商品房为例,建立了房地产行业住房需求的BP神经网络模型、住房供给的GM(1,1)模型、房地产行业与国民经济其他行业关系的灰色关联度模型和房价预测的Markov模型.对于住房需求问题,选取商品房年度销售面积作为反映住房需求的指标,把年底城镇总人口数等七个变量作为影响需求的因素,建立了BP神经网络模型,对住房需求进行了很好的预测.对于住房供给问题,选取商品房年竣工面积作为商品房当年的供给量,建立了GM(1,1)模型,并用残差、关联度和后验差对所得的模型进行了检验,最后对全国房地产市场2011-2015年的商品房年竣工面积进行了合理预测.对于房地产行业与国民经济其他行业关系问题,运用灰色关联度分析和信息熵对全国房地产市场与其他行业的关联度进行了定量分析,并按其关联性的强弱进行了排序.对于房价预测问题,首先用三次插值多项式对1991-2009年商品房年销售价格进行模拟,运用Markov过程得到状态转移概率矩阵,建立了Markov模型,并对2010年的商品房年销售价格进行了预测.然后通过房地产开发综合景气指数的变化对我国近几年房地产市场的发展态势进行了分析,再用房屋销售价格环比指数对房地产政策的成效进行了评价,提出了房地产政策严厉度对政策的严厉性进行量化.最后,对模型的优缺点进行了分析,并对模型进行了评价.关键词：BP神经网络GM(1,1)灰色关联度Markov预测一、问题重述房地产行业既是国民经济的支柱产业之一,又是与人民生活密切相关的行业之一,同时自身也是一个庞大的系统,该系统的状态和发展对国民经济的整个态势和全国人民的生活水平影响很大.近年来,我国房地产业发展迅速,不仅为整个国民经济的发展做出了贡献,而且为改善我国百姓居住条件发挥了决定性作用.但同时房地产业也面临较为严峻的问题和挑战,引起诸多争议,各方都坚持自己的观点,然而多是从政策层面、心理层面和资金层面等因素来考虑,定性分析多于定量分析.显然从系统的高度认清当前房地产行业的态势、从定量角度把握各指标之间的数量关系、依据较为准确的预见对房地产行业进行有效地调控、深刻认识房地产行业的经济规律进而实现可持续发展是解决问题的有效途径.因此通过建立数学模型研究我国房地产问题是一个值得探索的方向.利用附录中提供的及可以查找到的资料建立房地产行业的数学模型,建议包括1．住房需求模型;2．住房供给模型;3．房地产行业与国民经济其他行业关系模型;4．对我国房地产行业态势分析模型;5．房地产行业可持续发展模型;-2-6．房价模型等.并利用模型进行分析,量化研究该行业当前的态势、未来的趋势,模拟房地产行业经济调控策略的成效.希望在深化认识上取得进步,产生若干结论和观点.如果仅就其中几个问题建立模型也是适宜的,对利用附件给的天津市的数据建模并进行分析同样鼓励.研究房地产问题并不需要很多、很深的专业知识,问题也不难理解.作者也完全可以独立自主地提出自己希望解决的房地产中的新问题,建立相应的数学模型予以解决,所建的每个模型要系统、深入,至少应该自成兼容系统,数据可靠,结论和观点有较多的数据支撑、有较强的说服力、有实际应用价值.二、模型假设1.城镇房地产市场是中国房地产行业的主要部分;2.商品房本年竣工面积作为商品房当年的供给量;3.近期内没有经济危机影响房地产行业.三、符号说明符号符号说明iA影响住房需求的因素1,2,,7i0xi商品房年销售面积的原始序列值1,2,,20i0ˆxi商品房年销售面积的估计序列值1,2,,20i0yi商品房年竣工面积的原始序列值1,2,,17i0ˆyi商品房年竣工面积的估计序列值1,2,,17i1yi商品房年竣工面积原始值的累加生成序列1,2,,17ii原始序列0yi与估计序列0ˆyi的绝对误差1,2,,17ii原始序列0yi与估计序列0ˆyi的相对误差1,2,,17ii关联度系数1,2,,17i分辨率01r关联度0Y原始序列0yi的均值绝对误差i的均值iS方差1,2iC方差比P小误差概率0i参考序列与比较序列的绝对差值1,2,,13iiH信息熵1,2,,13iiw评价指标的熵权1,2,,13itp商品房年销售价格1,2,,19t-3-ˆtp商品房年销售价格预测值1,2,,19ti状态区域1,2,,4iV状态转移矩阵L房地产政策的严厉度四、模型的建立与求解房地产行业是一个庞大的系统,可以从微观和宏观两个角度进行分析,其中住房是房地产行业的核心部分.从微观角度看,房地产市场上存在住房需求与住房供给的经济运动.从宏观角度看,房地产行业作为国民经济的支柱产业,与整个国家的经济发展密切相关,政府的调控政策对房地产市场的发展也会产生一定影响.以下用住房需求、住房供给、房地产行业与国民经济其他行业关系和房价预测四个模型对房地产业进行分析.1.住房需求模型本节以商品房的住房需求为例,构建BP神经网络模型,并利用Matlab神经网络工具箱中的相关函数对住房需求进行预测.选取商品房本年销售面积0xi作为反映住房需求的指标,把年底城镇总人口数1A、城镇家庭平均每人可支配收入2A、人均国内生产总值(现价)3A、城镇新建住宅面积4A、城镇固定资产投资5A、城镇储蓄存款6A和城镇家庭平均每人全年实际收入7A七个变量作为影响住房需求的因素(具体数据见附录).其中人是住房的最终消费者,人口数量的增长必然会对住房的需求提出更高的要求,所以人口数量是决定住房需求的基本因素.城镇人均可支配收入指城镇居民家庭人均可用于最终消费支出和其它非义务性支出以及储蓄的总和,即居民家庭可以用来自由支配的收入,它从购买力方面影响住房需求.人均国内生产总值是一个国家核算期内实现的国内生产总值与这个国家的常住人口的比值,是衡量人民生活水平的一个标准,它从宏观层面影响住房需求.城镇新建住宅面积和城镇固定资产投资反映了国家的城镇化水平,是城镇吸引力的体现,具有较强吸引力的城镇会吸引周边地区乃至全国范围内的住房购买需求.城镇储蓄存款和城镇家庭平均每人全年实际收入反映了城镇家庭拥有财富的能力.购买住房就需要支出,所以住房需求受制于家庭的收入.神经网络是一种模仿人脑结构及其功能的信息处理方法,它通过对样本数据的反复训练实现对未知信息的推理.由于神经网络对数据没有特殊的要求,输出结果能够达到很高的精度,且非常适合用于预测.其预测原理为神经网络的训练是根据样本数据反复进行的,训练过程中,处理单元对数据进行汇总和转换,它们之间的连接被赋予不同的权值.当输出的结果在指定的精度级别上与已知结果相吻合时,对网络的训练就不再进行.通过对神经网络的训练和学习,使网络可以总结出内在的规律,从而对输出变量进行预测.本节所创建的BP神经网络的指标分别取:学习速率选取为0.01,网络输入变量为7,隐藏层神经元的个数选为13,网络输出误差精度设为0.001.[1]该神经网络图1所示.输入层隐藏层输出层商品房本年销售面积年底城镇总人口数城镇人均可支配收入人均国内生产总值城镇新建住宅面积-4-图1神经网络图假定输入层的第i个节点得到的输入为iA,输入到隐藏层的第h个节点的则为这些值的加权平均ihiiwA,最终通过传输函数f从输出层输出()ihiifwA,为隐藏层神经元的阈值.由于原始数据的单位不同,造成了指标量纲不统一的情况.为了加快网络的收敛速度,在训练前对数据做了标准化变换.标准化准则为*,ijjijjAAA其中11njijiAAn,11()()1njtiitjjtAAAAn.采用Levenberg-Marquardt算法对数据进行训练,由下面的训练结果图可以看出,网络训练6次后即可达到误差要求,预测值的均方误差达到了0.000054175,预测效果较好.图2训练结果图-5-下面对给定的商品房年销售面积的原始序列00001,2,,203025.5,4288.9,,104349Xxxx进行估计,得出的估计值0ˆxi如表1:表1销售面积的原始序列及估计序列(单位:万平方米)年度1991199219931994199519961997原始序列0xi3025.54288.966887230790679009010估计序列0ˆxi3703.35189.476608268873187629684年度1998199920002001200220032004原始序列0xi12185145571863722412268083371838232估计序列0ˆxi12767148751872922209263373324137544年度200520062007200820092010原始序列0xi5548661857773556597094755104349估计序列0ˆxi5401860408758396529092490100744图3展示了商品房年销售面积的原始序列及估计序列的曲线,从图中可以看出两个序列的拟合程度较高.19901992199419961998200020022004200620082010024681012x104时间（年）销售面积（万平方米）商品房本年销售面积模型估计值图3销售面积的原始值及估计值序列图本节对影响住房需求的影响因素进行了分析,采用BP神经网络建立了住房需求的预测模型,估计值与原始值之间的均方误差很小,证明了采用神经网络进行住房需求预测的有效性.2.住房供给模型-6-2.1GM(1,1)模型的建立根据全国房地产市场1994-2010年的年度商品房本年竣工面积的统计资料,下面采用灰色系统理论,建立灰色GM(1,1)预测模型,对未来五年的商品房销售价格做出合理预测.对给定的商品房竣工面积的原始序列00001,2,,1711637,14873.85,,75961Yyyy,作累加生成1—AGO序列101,1,2,,17.kiykyik详细数据见表2:表2原始序列及1—AGO生成序列(万平方米)年份199419951996199719981999原始序列0yi1163714873.8515356.7115819.717566.621410.8生成序列1yi1163726510.8541867.5657687.2675253.8696664.66年份200020012002200320042005原始序列0yi25104.929867.434975.841464.142464.953417生成序列1yi121769.56151636.96186612.76228076.86270541.76323958.76年份20062007200820092010原始序列0yi55830.960606.766544.872677.475961生成序列1yi379789.66440396.36506941.16579618.56655579.56图4为原始序列及1—AGO生成序列的散点图,图中清晰地展现了每年商品房的竣工面积及其累计和.-7-19941996199820002002200420062008201001234567x105时间（年）住房供给量（万平方米）原始序列生成序列图4竣工面积原始序列及1—AGO生成序列的散点图采用一阶单变量微分方程进行估计,得到白化形式的GM(1,1)模型11,dYaYudt(1)式中,au为待估计参数.求解白化方程(1),得到GM(1,1)模型的形式为10ˆ11,0,1,,16,aiuuyiyeiaa(2)还原后的预测模型为011ˆˆˆ1