系统微观状态数的研究性学习

1归纳方法在统计物理中的应用*王丽萍倪致祥(阜阳师范学院物理系，安徽阜阳236032)摘要：归纳法是科学研究的常用方法，本文给出了归纳法在统计物理教学中的几个典型应用。关键词：归纳法；微观状态数；配分函数；统计物理分类号：O411文献标识码：A文章编号：1．引言除了为学生打好必要的物理知识基础之外，大学的物理课程在培养学生科学的宇宙观和辩证唯物主义世界观，激发探索和创新精神，掌握科学方法和提高科学思维能力等方面，都有着其他课程不能替代的重要作用。因而，在物理教学中，我们在传授知识的同时，应着重培养学生掌握科学方法，提高他们的分析问题和解决问题的能力，努力实现知识、能力、素质的协调发展。在探求物理规律的众多科学方法中，归纳法是科学发现中的常用方法之一[1]，它是通过若干个例的比较而得到一般规律。在传统的教学中，这种方法常常被认为不够严格而被舍弃了，然而科学中的发现多数都是应用不严格的合情推理得到的。缺少了这方面的熏陶，学生就难以形成合理的知识能力结构，这是教学的一个重大缺陷。本文介绍了我们在统计物理教学中利用归纳方法开展教学内容改革的一些尝试。2．系统微观状态数的归纳统计物理是从系统的微观结构出发，应用统计规律来推求系统宏观性质的一收稿日期：2006-08-02基金项目：安徽省自然科学基金项目（050460201）和阜阳师范学院科学研究项目（2005LQ03）作者简介：王丽萍（1978-），女，硕士，讲师，研究方向：天体物理2门课程。因而，讨论不同系统的微观状态数是统计物理首先要解决的问题之一[2]。对于a个单粒子状态数为的近独立的全同粒子组成的系统，根据组成系统的粒子是否可以分辨以及粒子占据量子态的方式不同，可以将粒子分为定域子，玻色子和费米子，对应的系统分别称为定域子系统，玻色系统及费米系统（系统的状态数分别记做BM，BE及FD）。推求系统微观状态数的一般规律是统计物理中的重要内容，也是一个难点。传统的纯数学推导较为抽象，学生不易理解，下面，我们考虑从不同的角度来进行教学。当a=0时，三种情况相同，均为空粒子状态，可以认为BM=FD=BE=1；当a=1时，三种情况也相同，均为单粒子状态，可以算出BM=FD=BE=；当a=2时，三种情况开始出现不同。如=1，则容易得到BM=BE=1，FD=0；如=2，则容易得到BM=4，BE=3，FD=1；如=3，下图给出了三种情况系统所有可能的状态BMBEFDABOOABOOABOOABOOOOBAABOOOOBAABOOOOBA由此可以得到BM=9，BE=6，FD=3；…为了探求一般规律，对上面的结果重新整理如下：3aBMBEFD1011111112110201111222243138403011113332963327101对上表中的数据进行分析，可以归纳出一般的规律，1aaaMBBEaFDCC；；(1)从归纳的角度来进行系统微观运动状态的教学，不仅提高了学生的学习积极性、主动性，变被动学习为主动学习，还启发了学生的思维，有利于培养其科学探索的精神。3．玻尔兹曼统计中的配分函数配分函数在统计物理中起着联系微观与宏观的重要作用，它相当于热力学中的特征函数。在常温下，粒子平动和转动的能量往往可以近似看成连续的，这时在玻尔兹曼统计中的单粒子配分函数可以由下面的公式确定[3]0()zeDd(2)其中D()为状态数密度。在一维平动的情况下，可以算出配分函数为2//tzmLh；在二维平动的情况下，配分函数为222//tzmAh；在三维平动的情况下，配分函数为332//tzmVh，其中m为粒子的质量，L、A和V分别为长度、面积和4体积。如果我们把面积和体积分别表示为A=L2，V=L3，则上面的三个平动配分函数就可以归纳成一个统一的公式2/(/)fftzmLh(3)其中f为平动的自由度。考虑到L、A和V都是粒子在不同自由度情况下平动的范围，可以把它们用同一个符号R来表示，这样(3)式又可以表示成为2//fftzmRh(4)在平面转动的情况下，可以算出配分函数为2/2/rzmh；在空间转动的情况下[4]，配分函数为222/4/rzIh，其中I为粒子的转动惯量。考虑到平面转动的自由度为f=1，广义坐标的取值范围为R=2；空间转动的自由度为f=2，广义坐标的取值范围为R=4（立体角），则上面的二个转动配分函数就也可以归纳成一个统一的公式2//ffrzIRh(5)进一步考虑到质量m是粒子平动惯性的量度，转动惯量I是粒子转动惯性的量度，两者之间具有共同点，可以用同一个符号M来表示（不妨称为广义惯性系数）。这样，公式（4）和（5）又可以进一步归纳成为2//ffzMRh(6)虽然公式（6）并没有直接给出新的结果，但是它揭示了各种不同的配分函数之间的规律性，既便于学生记忆，又可以在适当的情况下进行推广。4．讨论与结论我们认为，适当地把归纳方法引入到教学之中不但不会影响学生思维的逻辑性，而且可以极大地激发学生思维的创造性。归纳是建立科学理论、推动科学前进的重要方法，长期的应试教育使得我们的学生几乎得不到这方面的训练。为了培养学生的创新精神和创新能力，教师应当在课堂教学的过程中有意识地引导学生去大胆地归纳和猜想。因此从教学改革的角度看，本文给出了几个具有启发性的例子，具有积极的意义。5参考文献[1][美]G.波利亚，数学与猜想，北京：科学出版社，2001，1-7[2]汪志诚，热力学·统计物理（第三版），北京：高等教育出版社，2003，226-231[3]马本堃，高尚惠等编，热力学于统计物理学（第二版），北京：高等教育出版社，1995，204-209[4]张启仁，统计力学，北京：科学出版社，2004，145-146TheapplicationofinductioninStatisticPhysicsWangLi-pingNiZhi-xiang(PhysicsDepartment,FuyangTeachersCollege,Fuyang236032，China)Abstract：Inductionisamostcommonmethodinscientificresearch.SomeapplicationofinductioninStatisticPhysicsteachingisintroducedinthispaper.Keywords：Induction，thenumberofmicrostates,partitionfunction,StatisticPhysics.