直线和圆锥曲线常见题型

第1页共69页目录直线和圆锥曲线经常考查的一些题型.....................................................................................................................2题型一数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系......................................................................................3题型二：弦的垂直平分线问题.........................................................................................................................4题型三：动弦过定点的问题.............................................................................................................................9题型四：过已知曲线上定点的弦的问题.......................................................................................................14题型五：共线向量问题...................................................................................................................................19题型六：面积问题...........................................................................................................................................28题型七：弦或弦长为定值问题.......................................................................................................................34题型八：角度问题...........................................................................................................................................39问题九：四点共线问题...................................................................................................................................47问题十：范围问题（本质是函数问题）.......................................................................................................50问题十一、存在性问题：...............................................................................................................................56第2页共69页直线和圆锥曲线经常考查的一些题型解决直线和圆锥曲线的位置关系的解题步骤是：（1）直线的斜率不存在，直线的斜率存在，（2）联立直线和曲线的方程组；（3）讨论类一元二次方程（4）一元二次方程的判别式（5）韦达定理，同类坐标变换（6）同点纵横坐标变换（7）xyk，，(斜率)的取值范围（8）目标：弦长，中点，垂直，角度，向量，面积，范围等等运用的知识：1、中点坐标公式：1212,22xxyyxy，其中,xy是点1122,,,AxyBxy的中点坐标。2、弦长公式：若点1122(,)(,)AxyBxy，在直线(0)ykxbk上，则1122ykxbykxb，，这是同点纵横坐标变换，是两大坐标变换技巧之一，2222221212121212()()()()(1)()ABxxyyxxkxkxkxx221212(1)[()4]kxxxx或者2222212121212122111()()()()(1)()ABxxyyxxyyyykkk2121221(1)[()4]yyyyk。3、两条直线111222:,:lykxblykxb垂直：则121kk，两条直线垂直，则直线所在的向量120vv4、韦达定理：若一元二次方程20(0)axbxca有两个不同的根12,xx，则1212,bcxxxxaa。第3页共69页题型一数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系例题1、已知直线:1lykx与椭圆22:14xyCm始终有交点，求m的取值范围思路点拨：直线方程的特点是过定点（0，1），椭圆的特点是过定点（-2，0）和（2，0），和动点0),4mm（，且。解：根据直线:1lykx的方程可知，直线恒过定点0,1，椭圆22:14xyCm过动点0),4mm（，且，如果直线:1lykx和椭圆22:14xyCm始终有交点，则14mm，且，即14mm且。规律提示：通过直线的代数形式，可以看出直线的特点：:10,1lykx过定点:(1)1,0lykx过定点:2(1)1,2lykx过定点证明直线过定点，也是将满足条件的直线整理成以上三种形式之一，再得出结论。练习：1、过点3,2P和抛物线232xxy只有一个公共点的直线有（）条。A．4B．3C．2D．1第4页共69页题型二：弦的垂直平分线问题弦的垂直平分线问题和对称问题是一种解题思维，首先弄清楚哪个是弦，哪个是对称轴，用到的知识是：垂直（两直线的斜率之积为1）和平分（中点坐标公式）。例题2、过点1,0T作直线l与曲线N：2yx交于A、B两点，在x轴上是否存在一点E(0x,0)，使得ABE是等边三角形，若存在，求出0x；若不存在，请说明理由。分析：过点1,0T的直线和曲线N：2yx相交A、B两点，则直线的斜率存在且不等于0，可以设直线的方程，联立方程组，消元，分析类一元二次方程，看判别式，运用韦达定理，得弦的中点坐标，再由垂直和中点，写出垂直平分线的方程，得出E点坐标，最后由正三角形的性质：中线长是边长的32倍。运用弦长公式求弦长。解：依题意知，直线的斜率存在，且不等于0。设直线:(1)lykx，0k，11(,)Axy，22(,)Bxy。由2(1)ykxyx消y整理，得2222(21)0kxkxk①由直线和抛物线交于两点，得2242(21)4410kkk，即2104k②由韦达定理，得：212221,kxxk121xx。则线段AB的中点为22211(,)22kkk。线段的垂直平分线方程为：221112()22kyxkkk令y=0,得021122xk，则211(,0)22EkABE为正三角形，211(,0)22Ek到直线AB的距离d为32AB。第5页共69页221212()()ABxxyy222141kkk212kdk22223141122kkkkk;解得3913k满足②式此时053x。思维规律：直线过定点设直线的斜率k，利用韦达定理法，将弦的中点用k表示出来，再利用垂直关系将弦的垂直平分线方程写出来，求出了横截距的坐标；再利用正三角形的性质：高是边长的32倍，将k确定，进而求出0x的坐标。例题3、已知椭圆1222yx的左焦点为F，O为坐标原点。（Ⅰ）求过点O、F，并且与2x相切的圆的方程；（Ⅱ）设过点F且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点G，求点G横坐标的取值范围。分析：第一问求圆的方程，运用几何法：圆心在弦的垂直平分线上，圆心到切线的距离等于圆心到定点的距离；第二问，过定点的弦的垂直平分线如果和x轴相交，则弦的斜率存在，且不等于0，设出弦AB所在的直线的方程，运用韦达定理求出弦中点的横坐标，由弦AB的方程求出中点的总坐标，再有弦AB的斜率，得到线段AB的垂直平分线的方程，就可以得到点G的坐标。解：(I)∵222,1ab，∴1,1,0:.(2),cFlx∵圆过点O、F,∴圆心M在直线12x上，设M1,2t，则圆半径：13()222r由OMr，得23)21(22t，解得2t，∴所求圆的方程为2219224xy.(II)由题意可知，直线AB的斜率存在，且不等于0,设直线AB的方程为10ykxk，第6页共69页代入22x+y2=1，整理得2222 124220kxkxk∵直线AB过椭圆的左焦点F，∴方程一定有两个不等实根,设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB中点N(x0，y0)，则21214,21kxxk2012212(),221kxxxk002(1)21kykxk∴AB垂直平分线NG的方程为)(100xxkyy令0y，得22002222121Ckkxxkykk2221121242kkk∵.021,0cxk∴点G横坐标的取值范围为（0,21）。技巧提示：直线过定点设直线的斜率k，利用韦达定理，将弦的中点用k表示出来，韦达定理就是同类坐标变换的技巧，是解析几何中解决直线和圆锥曲线问题的两大技巧之第一个技巧。再利用垂直关系将弦AB的垂直平分线方程写出来，就求出了横截距的坐标（关于k的函数）。直线和圆锥曲线中参数的范围问题，就是函数的值域问题。练习1：已知椭圆过点，且离心率。（Ⅰ）求椭圆方程；（Ⅱ）若直线与椭圆交于不同的两点、，且线段的垂直平分线过定点，求的取值范围。分析：第一问中已知椭圆的离心率，可以得到,ab的关系式，再根据“过点”得到,ab的第2个关系式，解方程组，就可以解出,ab的值，确定椭圆方程。第二问，设出交点坐标，联立方程组，转化为一元二次方程，通过判别式得出,km的不等式，再根据韦达定理，得出弦MN的中点的横坐标，利用弦的直线方程，得到中点的纵坐标，由中点坐标和定点，)0(1:2222babyaxC)23,1(21e)0(:kmkxylMNMN)0,81(Gk)23,1()0,81(G第7页共69页得垂直平分线的斜率，有垂直平分线的斜率和弦的斜率之积为-1，可得,km的等式，用k表示m再代入不等式，就可以求出k的取值范围。解：（Ⅰ）离心率，2213144ba，即2243ba（1）；又椭圆过点，则221914ab，（1）式代入上式，解得24a，23b，椭圆方程为22143xy。（Ⅱ）设1122(,),(,)MxyNxy，弦MN的中点A00(,)xy由223412ykxmxy得：222(34)84120kxmkxm，直线与椭圆交于不同的两点，2222644(34)(412)0mkkm，即2243mk………………（1）由韦达定理得：21212228412,3434mkmxxx