直线和圆锥曲线常见题型(精品)

直线和圆锥曲线经常考查的一些题型1题型五：共线向量问题解析几何中的向量共线，就是将向量问题转化为同类坐标的比例问题，再通过未达定理------同类坐标变换，将问题解决。此类问题不难解决。例题7、设过点D(0,3)的直线交曲线M：22194xy于P、Q两点，且DPDQl=uuuruuur,求实数l的取值范围。分析：由DPDQl=uuuruuur可以得到12123(3)xxyyllìï=ïïíï=+-ïïî，将P(x1,y1),Q(x2,y2),代人曲线方程，解出点的坐标，用l表示出来。解：设P(x1,y1),Q(x2,y2),QDPDQl=uuuruuur\(x1,y1-3)=l(x2,y2-3)即12123(3)xxyyllì=ïïïíï=+-ïïî方法一：方程组消元法又QP、Q是椭圆29x+24y=1上的点\22222222194()(33)194xyxylllìïï+=ïïïíï+-ï+=ïïïî消去x2，可得222222(33)14yyllll+--=-即y2=1356ll-又Q－2£y2£2，\－2£1356ll-£2解之得：155则实数l的取值范围是1,55。直线和圆锥曲线经常考查的一些题型2方法二：判别式法、韦达定理法、配凑法设直线PQ的方程为：3,0ykxk，由2234936ykxxy消y整理后，得22(49)54450kxkxP、Q是曲线M上的两点22(54)445(49)kk＝2144800k即295k①由韦达定理得：1212225445,4949kxxxxkk212121221()2xxxxxxxx222254(1)45(49)kk即22223694415(1)99kkk②由①得211095k，代入②，整理得236915(1)5，解之得155当直线PQ的斜率不存在，即0x时，易知5或15。总之实数l的取值范围是1,55。方法总结：通过比较本题的第二步的两种解法，可知第一种解法，比较简单，第二种方法是通性通法，但计算量较大，纵观高考中的解析几何题，若放在后两题，很多情况下能用通性通法解，但计算量较大，计算繁琐，考生必须有较强的意志力和极强的计算能力；不用通性通法，要求考生必须深入思考，有较强的思维能力，在命题人设计的框架中，找出破解的蛛丝马迹，通过自己的思维将问题解决。直线和圆锥曲线经常考查的一些题型3练习：已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，它的一个顶点恰好是抛物线241xy的焦点，离心率为552．（1）求椭圆C的标准方程；（2）过椭圆C的右焦点F作直线l交椭圆C于A、B两点，交y轴于M点，若AFMA1，BFMB2，求21的值．例八.如图，已知点F（1，0），直线l：x＝－1，P为平面上的动点，过P作直线l的垂线，垂足为点Q，且QPQFFPFQ（Ⅰ）求动点P的轨迹C的方程；（Ⅱ）过点F的直线交轨迹C于A、B两点，交直线l于点M，已知12,MAAFAFBF，求12的值。小题主要考查直线、抛物线、向量等基础知识，考查轨迹方程的求法以及研究曲线几何特征的基本方法，考查运算能力和综合解题能力.满分14分.解法一：直线和圆锥曲线经常考查的一些题型4（Ⅰ）设点()Pxy，，则(1)Qy，，由QPQFFPFQ得：(10)(2)(1)(2)xyxyy，，，，，化简得2:4Cyx.（Ⅱ）设直线AB的方程为：1(0)xmym.设11()Axy，，22()Bxy，，又21Mm，，联立方程组241yxxmy，，，消去x得：2440ymy，2(4)120m，故121244yymyy，．由1MAAF，2MBBF得：1112yym，2222yym，整理得：1121my，2221my，12122112myy直线和圆锥曲线经常考查的一些题型5121222yymyy2424mm0解法二：（Ⅰ）由QPQFFPFQ得：()0FQPQPF，()()0PQPFPQPF，220PQPF，PQPF所以点P的轨迹C是抛物线，由题意，轨迹C的方程为：24yx.（Ⅱ）由已知1MAAF，2MBBF，得120.则：12MAAFMBBF.…………①过点AB，分别作准线l的垂线，垂足分别为1A，1B，则有：11MAAAAFMBBBBF.…………②由①②得：12AFAFBFBF，即120.直线和圆锥曲线经常考查的一些题型6练习1：设椭圆)0(12:222ayaxC的左、右焦点分别为1F、2F，A是椭圆C上的一点，且0212FFAF，坐标原点O到直线1AF的距离为||311OF．（1）求椭圆C的方程；（2）设Q是椭圆C上的一点，过Q的直线l交x轴于点)0,1(P，较y轴于点M，若QPMQ2，求直线l的方程．练习2：双曲线C与椭圆22184xy有相同的焦点，直线y=x3为C的一条渐近线。（I）求双曲线C的方程；(II)过点P(0,4)的直线l，交双曲线C于A,B两点，交x轴于Q点（Q点与C的顶点不重合）。当12PQQAQB，且3821时，求Q点的坐标。练习3：已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，它的一个顶点恰好是抛物线24xy的焦点，离心率等于255。（1）求椭圆C的标准方程；（2）点P为椭圆上一点，弦PA、PB分别过焦点F1、F2，（PA、PB都不与x轴垂直，其点P的纵坐标不为0），若111222,PFFAPFFB，求12的值。题型六：面积问题直线和圆锥曲线经常考查的一些题型7例题9、已知椭圆C：12222byax（a＞b＞0）的离心率为,36短轴一个端点到右焦点的距离为3。（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设直线l与椭圆C交于A、B两点，坐标原点O到直线l的距离为23，求△AOB面积的最大值。解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c，依题意633caa，，1b，所求椭圆方程为2213xy。（Ⅱ）设11()Axy，，22()Bxy，。（1）当ABx⊥轴时，3AB。（2）当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为ykxm。由已知2321mk，得223(1)4mk。把ykxm代入椭圆方程，整理得222(31)6330kxkmxm，122631kmxxk，21223(1)31mxxk。22221(1)()ABkxx22222223612(1)(1)(31)31kmmkkk22222222212(1)(31)3(1)(91)(31)(31)kkmkkkk直线和圆锥曲线经常考查的一些题型82422212121233(0)34196123696kkkkkk≤。当且仅当2219kk，即33k时等号成立。当0k时，3AB，综上所述max2AB。当AB最大时，AOB△面积取最大值max133222SAB。练习1、如图，直线ykxb与椭圆2214xy交于A、B两点，记ABC的面积为S。（Ⅰ）求在0k，01b的条件下，S的最大值；（Ⅱ）当12，SAB时，求直线AB的方程。练习2、已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，椭圆的短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，两准线间的距离为4。直线和圆锥曲线经常考查的一些题型9(Ⅰ)求椭圆的方程；(Ⅱ)直线l过点P(0,2)且与椭圆相交于A、B两点，当ΔAOB面积取得最大值时，求直线l的方程。练习3、已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆的离心率为22，21,FF为其焦点，一直线过点1F与椭圆相交于BA,两点，且ABF2的最大面积为2，求椭圆的方程。题型七：弦或弦长为定值问题直线和圆锥曲线经常考查的一些题型10例题10、在平面直角坐标系xOy中，过定点C（0，p）作直线与抛物线x2=2py（p0）相交于A、B两点。（Ⅰ）若点N是点C关于坐标原点O的对称点，求△ANB面积的最小值；（Ⅱ）是否存在垂直于y轴的直线l，使得l被以AC为直径的圆截得弦长恒为定值？若存在，求出l的方程；若不存在，说明理由。（此题不要求在答题卡上画图）本小题主要考查直线、圆和抛物线等平面解析几何的基础知识，考查综合运用数学知识进行推理运算的能力和解决问题的能力.解法1：（Ⅰ）依题意，点N的坐标为N（0,-p）,可设A（x1,y1）,B（x2,y2），直线AB的方程为y=kx+p,与x2=2py联立得.22pkxypyx消去y得x2-2pkx-2p2=0.由韦达定理得x1+x2=2pk,x1x2=-2p2.于是21221xxpSSSACNBCNABN＝21221214)(xxxxpxxp＝.228422222kppkpp222min0pSkABN）时，（当.（Ⅱ）假设满足条件的直线l存在，其方程为y=a,AC的中点为为直与ACtO,径的圆相交于点P、Q，PQ的中点为H，则）点的坐标为（2,2,11pyxOPQHO直线和圆锥曲线经常考查的一些题型112121)(2121pyxACPO＝22121py.,221211pyapyaHO222HOPOPH=21221)2(41)(41pyapy＝),()2(1apaypa22)2(PHPQ=.)()2(42apaypa令02pa，得pPQpa此时,2为定值，故满足条件的直线l存在，其方程为2py，即抛物线的通径所在的直线.解法2：（Ⅰ）前同解法1，再由弦长公式得22222122122128414)(11pkpkxxxxkxxkAB＝.21222kkp又由点到直线的距离公式得212kpd.直线和圆锥曲线经常考查的一些题型12从而，,2212212212122222kpkpkkpABdSABN.22max02pSkABN）时，（当（Ⅱ）假设满足条件的直线t存在，其方程为y=a，则以AC为直径的圆的方程为,0))(())(0(11yypyxxx将直线方程y=a代入得).(1)2(4))((4,0))((121112apaypayapaxyapaxxx＝则设直线l与以AC为直径的圆的交点为P（x2,y2）,Q（x4,y4）,则有.)()2(2)()2(41143apaypaapaypaxxPQ令pPQpapa此时得,2,02为定值，故满足条件的直线l存在，其方程为2py.即抛物线的通径所在的直线。练习、（22）（本小题满分14分）设椭圆E:22221xyab（a,b0）过M（2，2），N(6,1)两点，O为坐标原点，（I）求椭圆E的方程；（II）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且OAOB？若存在，写出该圆的方程，并求|AB|的取值范围，若不存在说明理由。