二次函数与几何综合典题(含答案详解)

二次函数与几何综合典题题例1．已知抛物线)0(2acbxaxy的顶点坐标为（3，-2），且与x轴两交点间的距离为4，求其解析式。例2.已知二次函数)0(2acbxaxy的图像与x轴交于不同的两点A、B，点A在点B的左边，与轴交于点C，若△AOC与△BOC的面积之和为6，且这个二次函数的图像的顶点坐标为（2，-a），求这个二次函数的解析式。例3.已知二次函数)0(2acbxaxy的图像过点E（2，3），对称轴为x＝1，它的图像与x轴交于两点A10,)0(),0,(22212121xxxxxBx＜且。（1）求二次函数的解析式；（2）在（1）中抛物线上是否存在点P，使△POA的面积等于△EOB的面积？若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由。例4.如图，抛物线)0(2acbxaxy与x轴、y轴分别相交于A（-1，0）、B（3，0）、C(0，3)三点，其顶点为D。（1）求经过A、B、C三点的抛物线的解析式；（2）求四边形ABDC的面积；（3）试判断△BCD与△COA是否相似？若相似写出证明过程；若不相似请说明理由。例5：如图，已知抛物线4:21xyl的图像与X轴交于A、C两点。（1）若抛物线2l与1l关于x轴对称，求2l的解析式；（2）若点B是抛物线1l上一动点（B不与A,C重合），以AC为对角线，A，B，C三点为顶点的平行四边形的第四个顶点记为D，求证：点D在2l上；（3）探索：当点B分别位于1l在x轴上、下两部分的图像上时，平行四边形ABCD的面积是否存在最大值或最小值？若存在，判断它们是何种特殊平行四边形并求出它的面积；若不存在，请说明理由。例6.如图，已知：m，n是方程0562xx的两个实数根，且m＜n，抛物线cbxxy2的图像经过点A（m，0）、B（0，n）。（1）求这个抛物线的解析式；（2）设（1）中抛物线与x轴的另一交点为C，抛物线的顶点为D。试求出点C、D的坐标和△BCD的面积；（3）P是线段OC上一点，过点P作PH⊥x轴，与抛物线交于H点，若直线BC把△PCH分成面积之比为2：3的两部分，请求出P点坐标。答案：1．根据题意得：32ab，2442aba，44)(4)(22122121acabxxxxxx。联立以上三式得：21a，3b，25c。∴抛物线解析式为：253212xxy。另解：由顶点坐标（3，-2）可知，对称轴为：3x，又与x轴两交点间的距离为4，∴两交点坐标分别为（1,0）、（5,0）。设表达式为)5)(1(xxay，代入顶点坐标得：)53)(13(2a，解得：21a，∴253212xxy。※2.顶点坐标（2，-a）代入顶点坐标公式得：)3)(1()34(34)2(222xxaxxaaaxaxaxay，（太好了，一箭三雕！）∴ac3，点A、点B的坐标分别为：（1,0）、（3,0），∴AB=2.∵62333aa，∴1a，∴这个二次函数的解析式为343422xxyxxy或。3．（1）由题意知：cba243①，12ab②，又102)(2)(2212212221acabxxxxxx③。联立①②③式可得：3,2,1cba，∴解析式为：322xxy（2）存在这样的点P。由（1）可知4)1()1)(3(3222xxxxxy，∴点A的坐标为（0,1），点B的坐标为（3，0），顶点坐标（1，4）。设点P的坐标为（t，322tt），则△POA的高为322tt，底边OA=1。△EOB的底边为3，高为3，∴△EOB的面积=293321。令29321212tt，∴9322tt，∵9＞4，∴322tt=9，解得：131131或t。∴点P的坐标为（131，9）或（131，9）.4．（1）设抛物线的解析式为)1)(3(xxay，代入点C的坐标（0，3）得：)10)(30(3a，解得：1a。∴解析式为32)1)(3(2xxxxy。（2）由（1）可知4)1(3222xxxy，∴点D的坐标为（1,4）.作DE⊥AB，垂足为E，则点E的坐标为（1,0）。∴四边形ABDC的面积=9422124313121）（△梯形△BDEOCDEAOCSSS。（3）△BCD与△COA相似。理由如下：由A、B、C、D四点的坐标可得：OA=1，CO=3，CA=10312；BC=23332222OBOC，CD=21)34(22，BD=524)13(22。∵2OACDCOBCCABD，∴△BCD∽△COA。5．（1）∵2l与1l关于x轴对称，∴4)4(22xxy。（2）设点B的坐标为（4,2mm），∵四边形ABCD为平行四边形，点A、C关于原点O对称，∴点B和点D关于原点O对称，∴点D的坐标为（4,2mm）。代入2l的表达式可知左边等于右边，∴点D在2l上。（3）∵点A、C是抛物线42xy与x轴的交点，∴点A、C的坐标分别为（0,2）和（2,0），∴AC=4.平行四边形ABCD的面积=2△ABC的面积=1144212yy。①当点B在x轴上方时，14ySABCD四边形，ABCDS四边形随1y的增大而增大，∴此时ABCDS四边形既没有最大值也没有最小值；②当点B在x轴下方时，14ySABCD四边形，且041＜y，ABCDS四边形随1y的增大而减小，ABCDS四边形有最大值没有最小值。∴当1y取最小值4时，ABCDS四边形有最大值，最大值为16；此时点B、D在y轴上，AC⊥BD，平行四边形ABCD是菱形。综上所述，当点B在x轴下方时，平行四边形ABCD有最大面积16，此时的四边形为菱形。6．（1）解方程0562xx得：5,121xx，∵m＜n，∴5,1nm，∴点A、B的坐标分别为（1，0），（0，5）。把A、B的坐标代入cbxxy2得：501ccb解这个方程组，得5,4cb，抛物线的解析式为542xxy。（2）由（1）知9)2(5422xxxy，∴点D的坐标为（92，），抛物线对称轴为直线2x，∴点C的坐标为（05，）。由点B、C的坐标可知直线BC的表达式为5xy，过点D直线DE，交直线BC于点E（如图1），则点E的坐标为（3,2），∴线段DE=6，△BCD的面积=155621)(21CBxxDE.（3）如图2，设点P的坐标为（t，0），则点H的坐标为（t，542tt），若HP与直线BC交于点F，点F的坐标为（t，t+5）。若3:2:PCFHCFSS△△，则PCHPCFSS△△53，即PHPCPFPC215321，∴)54(5352ttt，解得：（舍去）5,3221tt；若2:3:PCFHCFSS△△，则PCHPCFSS△△52，)54(5252ttt，解得：（舍去）5,2321tt。综上所述，若直线BC把△PCH分成面积之比为2：3的两部分，则点P的坐标为（0,32）或（0,23）