第三章功和能

第三章功和能２１第三章功和能【基本内容】一、功、功率1、功功的定义：力对空间的累积。变力F使物体发生位移rd所作的功dsFrdFdWcos使物体由A沿路径L运动到B点作功：BArdFdW合力的功：合力之功等于各分力沿同一路径所作功的代数和。n212、一对力的功一对相互作用力2112FF，两物体的元位移分别为1rd和2rd，则121212122112221112)(rdFArdFrrdFrdFrdFdW任何一对力所做的总功只依赖于两物体之间的相对位移，与参照系的选择无关。3、功率——描述物体作功的快慢程度。平均功率：力F在ttt时间内所作的功W与时间t的比值。tWP瞬时功率：功对时间的一阶导数。dtdWP推论：cosFvvFP功率的单位：焦耳/秒（J/S）第三章功和能２２二、保守力、势能1、保守力：作功只与始末位置有关，与路径无关的力叫保守力。其数学表达式为0lrdf2、势能（1）势能的引入：保守力所的功等于势能增量的负值。PPAPBBAEEErdfW)(（2）几种常见的势能表达式重力势能：mghEP零点：h为0处。万有引力势能：rmMGEP零点：r为处。弹性势能：221kxEP零点：x为0处（自然状态自由端位置）。3、保守力与势能的关系保守力等于势能函数梯度的负值。PEf，梯度算符：kzjyix三、动能、动能定律1、质点的动能定理：合力对质点所作的功等于质点动能的增量。EEEWKAKBAB2、质点系的动能定理外力对质点系所作的功与内力对质点系所作的功之和等于质点系动能的增量。W外+W内=ΔEK内力改变系统的总动能，但不改变系统的总动量；若内力作用后，系统内各质点无相对位移，则有W内=0。四、刚体绕固定轴转动的动能定理1、刚体转动时，合外力矩的功：MddW21MdW当外力是恒量时，恒力矩作功：)(12MW2、刚体绕固定轴转动的动能定理第三章功和能２３刚体的动能：是组成刚体的各质元的动能之总和。221JEK刚体的动能定理：合外力矩对定轴转动刚体所作的功等于刚体转动动能的增量。1221222121KKEEJJW五、机械能守恒定律、能量守恒定律1、功能原理机械能——系统的动能与势能之和。E=EK+EP功能原理：系统外力与非保守内力所作功之和等于系统机械能的增量。W外+W非保内=ΔE2、机械能守恒定律：若只有保守内力对系统作功，则系统的动能和势能相互交换，使机械能保持不变。EK+EP=恒量【典型例题】【例题3-1】用铁锤将一铁钉打入木板，沿着铁钉方向木板对钉的阻力与铁钉进入木板的深度成正比。在铁锤击第一次时，能将铁钉击入1cm，若铁锤击钉的速度不变，问击第二次时，铁钉能被击入木板多少距离。【解】依题意知，摩擦力f＝－kx。铁锤打击铁钉后，使铁钉获得速度，并克服摩擦力作功，进入木板一定深度。由动能定理得第一次打击时11KEA即第一次打击后摩擦力的功等于铁钉动能的增量。设铁锤打击铁钉后铁钉获得的速度为v，又因f＝－kx201.00210)(mvdxkx（1）201.0210)(mvdxkxx（2）由(1)、(2)xdxkxdxkx01.001.00)()(解得x＝０．０１４m第三章功和能２４x－０．０１＝０．０１４－０．０１＝０．００４m小结：应用动能定理解题的关键是对物体进行受力分析，进而计算合外力的功。一般步骤为：第一步明确研究对象和研究过程，即问题涉及什么物体?初末态是什么?第二步分析力，把所有外力找出来；第三步按功的定义rdFA计算每个外力的功，然后求外力功的代数和；第四步选惯性参照系，写初末态动能，由动能定理列方程；第五步解方程。【例题3-2】用一倔强系数为k的弹簧将质量为m１和m２的两块木板连接起来，沿竖直方向放在地面上，如图例3-2（a）所示。今对上面的木板施加正压力F，以便在F力突然撤去，上面的木板跳起来时，能将下面的木板提离地面，问力F至少要多大?【解】能使m２提离地面的力，只有弹簧拉伸后向上施于它的弹性力。当F力撤去，m１受弹力作用升高时，如果弹簧的伸长量x能使弹力kx≥m２g，就能使m２提离地面。如图例3-2（b），设0点为弹簧自然状态自由端位置，加力F后弹簧的自由端被压缩到A点，B点为撤去外力后弹簧的自由端能达到的最高点，可得01kxgmF在撤去F后m１上升的过程中，对于包括地球在内的整个系统，只有重力和弹力作功，所以系统的机械能守恒。以A点为重力势能零点，则有)(212101220xxgmkxkx再加上m２的提离条件gmkx2gmmF)(21这就是能提离地面的F讨论：在含有多种保守内力的质点系中，系统的势能为各种势能的代数和。重力势能的0点可以任意选择，但弹性势能的0点一般选在自然状态自由端位置。【例3-3】将均匀链条放于水平桌面上，开始时，链条静止，其在桌面上和悬于桌面下的长度如图例3-3所示。设链条与桌面的摩擦系数为μ，质量为m。求：（1）到链条离开桌面的过程中，摩擦力对桌面作了多少功？（2）链条离开桌面时的速率。【解】（1）建立图示坐标系当链条竖直长度为x时，链条所受的摩擦力：lxlmgf摩擦力作功：lalmgdxlxlmgfdxWlalaf2)(2BBmP=v例3-2图(a)例3-4图M(b)m0A图3.1dxxVAV/2R0LvB例3-5图例3-4图Mm0dxxVAV/20l(b)例3-6图(a)lAv0例3-3图0x第三章功和能２５（2）以链条为研究对象，由动能定理0212mvWWfG重力作功lalmgdxlmgxWlaG2)(22，代入lalmgWf2)(2可得222)()(alallgv本题也可用功能原理求解，即摩擦力的功等于链条机械能的增量，以桌面为重力势能的0点，初态机械能mglaaglamE2220，末态机械能2212lmgmvE，有mglamglmvEEWf22121220代入fW可求得如上结果。讨论：比较动能定理和功能原理，前者对作功的力无任何要求，后者要排除保守力的功。【分类习题】【3-1】光滑水平面上，质量为m的物体在水平恒力F作用下，由静止开始运动。则在时间t内，F作的功为。一观察者B相对地以匀速0V与F反向运动，则此观察者得出在时间t内F作功为。【3-2】一力)(0jyixFF（0F为常量）作用在质点上，该质点从坐标原点开始，沿圆周逆时针运动到（0，2R）的过程中（图3-2），求力F对质点的功。提示：对平面运动，力的微功dyfdxfdAyx。【3-3】质点在多个力的作用下，由A点沿4/3圆周逆时针到达B点（图3-3）。求其中一恒力iFF0（0F为常量）所作的功。【3-4】质量为m的质点仅受力3/rrkF的作用（k为常量），r为从某一定点到质点的矢径。该质点在0rr处被静止释放，求它到达无限远处的速率。提示：积分路线选r的方向。例3-6图Av图3-7EAm图3-2图3-30BY0AxX第三章功和能２６【3-5】一质点在二恒力作用下位移)(83SIjir，在此过程中动能增量为J24，已知其中一恒力)(312SIjiF，求另一恒力的功。【3-6】下列说法正确的是：（1）保守力作正功时，系统相应的势能增加。（2）质点运动经一闭合路径，保守力对质点的功为0。（3）作用力与反作用力大小相等，方向相反，两者作功代数和必为为0。【3-7】轻弹簧一端固定在倾角为的光滑斜面底端E处，另一端固定质量为m的物体（图3-7）。O点为弹簧的自由端自然长度处，A点为物体的平衡位置。用一外力使物体由A缓慢移至B，求外力的功。【3-8】弹性系数为k的竖直弹簧，下端悬一质量为m的小球。先使下端接触地面而上端为弹簧原长处，再将上端缓慢提起，直到小球刚离开地面为止。求外力的功。【3-9】保守力作功的特点是，保守力的功与势能的关系是。【3-10】已知地球的质量为M、半径为R，质量为m的火箭从地面上升到距地面高度为R2处。求地球对火箭的功。【3-11】一陨石从距地面高为h处由静止开始落向地面，忽略空气阻力。求（1）陨石下落过程中，万有引力的功；（2）陨石落地时的速率。【3-1】mtFtFVmtF2/,2/22022【3-2】202RF【3-3】0FR【3-4】02mrk【3-5】J12【3-6】（（【3-7】sin20mgx【3-8】kgm222【3-9】与与路路径径无无关关，，PEA【3-10】RGMm32【3-11】)(hRRGMmh，，)(2hRRGMh图3-3Ax0图3-13xy/2v/2vyy0000图3-7EABmO